数学运算——不定方程问题.pdf

91UP数学运算考点精讲之不定方程问题 91UP 公务员考试网最新巨献 公务员考试考点精讲 帮助你将行测下的每一个考点精确细分 按照 知识框架 夯实基础 核心点拨 进阶训练 核心精练的流程一步步引导 轻松搞定每个考点 更多内容敬请关注 知识框架 知识框架 数学运算问题一共分为十四个模块十四个模块 其中一块是计算问题计算问题 不定方程问题不定方程问题是是计算问题计算问题 中算式计算里面的一种 中算式计算里面的一种 公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型一般只有三种类型 解答不定方程时 一定要找出题中明明 显或隐含的限制条件显或隐含的限制条件 从而利用数的奇偶性 数的质合性 数的整除特性 尾数法 特殊值 法 代入排除法等技巧去解 理清解题思路 掌握解题方法 就能轻松 搞定 不定方程问 题 核心点拨 核心点拨 1 题型简介 未知数个数多于方程个数的方程 组 叫做不定方程 组 通常只讨论它的整数解或 正整数解 在各类公务员考试中 最常出现的是二元一次方程 其通用形式为 ax by c 其中 a b c 为已知整数 x y 为所求自然数 在解不定方程问题时 我们需要利用整数的奇偶性 自 然数的质合性 数的整除特性 尾数法 特殊值法 代入排除法等多种数学知识来得到答案 2 核心知识 形如xy4 xyz3 11 1 xy 的方程叫做不定方程 其中前两个方程又 叫做一次不定方程 这些方程的解是不确定的 我们通常研究 a 不定方程是否有解 b 不定方程有多少个解 c 求不定方程的整数解或正整数解 1 二元一次不定方程 对于二元一次不定方程问题 我们有以下两个定理 定理 1 二元一次不定方程ax byc A 若其中 abc 则原方程无整数解 B 若ab1 则原方程有整数解 C 若abc 则可以在方程两边同时除以ab 从而使原方程的一次项系数 互质 从而转化为 B 的情形 如 方程 2x 4y 5 没有整数解 2x 3y 5 有整数解 定理 2 若不定方程1axby 有整数解 0 0 yy xx 则方程ax byc 有整数解 0 0 cyy cxx 此解 称为特解 方程ax byc 的所有解 即通解 为 akcyy bkcxx 0 0 k为整数 2 多元一次不定方程 组 多元一次不定方程 组 可转化为二元一次不定方程求解 例 2132 10 zyx zyx 消去 x 得 y 2z 11 的通解为 kz ky 5 21 k 为整数 所以 x 10 y z 4 k 当 k 0 时 x 最大 此时 y 1 z 5 3 其他不定方程 3 核心知识使用详解 解不定方程问题常用的解法 1 代数恒等变形 如因式分解 配方 换元等 2 不等式估算法 利用不等式等方法 确定出方程中某些变量的范围 进而求解 3 同余法 对等式两边取特殊的模 如奇偶分析 缩小变量的范围或性质 得出不定方程的 整数解或判定其无解 4 构造法 构造出符合要求的特解 或构造一个求解的递推式 证明方程有无穷多解 5 无穷递推法 6 特殊值法 已知不定方程组 在求解含有未知数的等式的值时 在该等式是定值的情况下 可以 采用特殊值法 且可以设为特殊值的未知数的个数 未知数的总个数 方程的个数 精选例题 精选例题 夯实基础夯实基础 解法九成熟 题目精挑细选 考试中 60 的基础题 基本搞定 1 二元一次不定方程 例例 1 1 2008 2008 云南 云南 小明在商店买了若干块 5 分钱的糖果和 1 角 3 分钱的糖果 如果他恰好用了 1 块钱 问 他买了多少块 5 分钱的糖果 A 6 B 7 C 8 D 9 考查点考查点 二元一次不定方程二元一次不定方程 关键关键词词 整除整除的的性质性质 题钥题钥 假设若干个未知数 由给定的条件列出不定方程 解析解析 根据题意 设小明分别买了 5 分钱的糖果和 1 角 3 分钱的糖果 x y 块 则有 5x13yl00 13y1005x 13y520 x 5x 和 100 都能被 100 整除 则 13y 100 8x 92 可知总人数大于 92 人 每组人数比预定人数少 每组人数比预定人数少 1 1 人 那么学员总数将不到人 那么学员总数将不到 9090 人 人 即 8 x 1 90 8x 98 可知总人数小于 98 人 92 98 范围内能被被 8 8 整除整除 x 为非负整数 故 8x 是 8 的倍数 的数只有 96 故每组有学员 96 8 12 人 因此 选 D 答案答案 D D 进阶训练进阶训练 解法九成熟 剩下 35 的中等题也能搞定 考试成功更进一步 1 二元一次不定方程 例例 5 5 2010 2010 浙江 浙江 工人甲一分钟可生产螺丝 3 个或螺丝帽 9 个 工人乙一分钟可生产螺丝 2 个或螺丝帽 7 个 现在两人各花了 20 分钟 共生产螺丝和螺丝帽 134 个 问生产的螺丝比螺丝帽多几个 A 34 个 B 32 个 C 30 个 D 28 个 考查点考查点 二元一次不定方程二元一次不定方程 关键关键词词 代入排除法代入排除法 题钥题钥 假设甲生产螺丝帽 x 分钟 生产螺丝 x 分钟 则 xx 20 得 x 20 x 同理 y 20y 在列不定方程时 即可使用 20 x 来代替x 从而简化方程 减少未知数个数 降低 题目难度 解析解析 设工人甲生产螺丝帽 x 分钟 工人乙生产螺丝帽 y 分钟 则有 3x 9x2y 7y134 即 3 20 x9x2 20y7y134 化简得6x5y34 x y 均为非负整数 经检验 代入排除法代入排除法 只有 x 4 y 2 符合条件 则生产的螺丝比螺丝帽多 32049 422027234 个 因此 选 A 答案答案 A 2 多元一次不定方程组 例例 6 6 在 1500 年前的 张立建算经 里曾提出了 百钱买百鸡 这个有名的数学问题 今 有鸡翁一值钱五 鸡母一值钱三 鸡雏三值钱一 凡百钱买百鸡 问鸡翁 鸡母 鸡雏各几 何 鸡翁 鸡母 鸡雏的个数均不为 0 则共有几种情况 A 0 B 1 C 2 D 3 考查点考查点 多元一次不定方程组多元一次不定方程组 关键词关键词 奇偶性奇偶性 题钥题钥 根据条件列方程 组 然后再根据数的奇偶性进行判断 解析解析 设鸡翁 鸡母 鸡雏各设鸡翁 鸡母 鸡雏各 x x y y z z 只 只 则有 53100 3 100 z xy xyz 3 得 7x 4y 100 数字的奇偶性可知数字的奇偶性可知 100 4y 均为偶数 则 7x 必为偶数 即 x 必为偶数 根据题意 根据题意 x x y y z z 均为非负整数均为非负整数 由方程 可得 3 z 是整数 即 z 能被 3 整除 由 7x 4y 100 可知 x 的取值范围在 0 15 之间 根据根据 x y z 100 x y z 100 经验证 代入法 共有 经验证 代入法 共有 3 3 组正整数解 分别为组正整数解 分别为 4812 18 11 4 788184 xxx yyy zzz 因此 选 D 答案答案 D D 3 其他不定方程 例例 7 7 2005 2005 山东 山东 甲 乙 丙三个班向希望工程捐赠图书 已知甲班有 1 人捐 6 册 有 2 人各捐 7 册 其 余各捐 11 册 乙班有 1 人捐 6 册 有 3 人各捐 8 册 其余各捐 10 册 丙班有 2 人各捐 4 册 6 人各捐 7 册 其余人各捐 9 册 已知甲班捐书总数比乙班多 28 册 乙班比丙班多 101 册 各班捐书总数在 400 550 之间 那么 甲 乙 丙三个班各有多少人 A 48 50 53 B 49 51 53 C 51 53 49 D 49 53 51 考查点考查点 其他其他不定方程不定方程 关键词关键词 代入代入排除排除法法 不等式问题不等式问题 题钥题钥 不定方程组问题的求解 往往不需要全部求得每个方程的解 利用某个方程的解即可推 断出其它方程的解 利用代入法代入法也可快速排除选项 解析解析 根据题意可知 甲班捐赠的图书最多 丙班捐赠的图书