高考数学复习的思考.pdf

关于数学复习的思考关于数学复习的思考 下面 把我对高考复习的思考以及怎样组织复习向大家做一个汇 报 也乐意与大家交流 回答老师们提出的问题 下面 把我对高考复习的思考以及怎样组织复习向大家做一个汇 报 也乐意与大家交流 回答老师们提出的问题 教师多一分思考 多一分准备 多一分辛劳 学生就省一分力气 增强一分效果 教师多一分思考 多一分准备 多一分辛劳 学生就省一分力气 增强一分效果 大量的练习是必要的 但能否少做一些题 效果也不差 这是因 为学生的负担太重了 尽可能减轻些学生的负担 大量的练习是必要的 但能否少做一些题 效果也不差 这是因 为学生的负担太重了 尽可能减轻些学生的负担 精讲多练 而不是傻练 多练习但又不是搞 题海 精讲多练 而不是傻练 多练习但又不是搞 题海 研究高考 研究复习 提高复习水平 研究高考 研究复习 提高复习水平 我与一位其他学校高三学生的交谈 我与一位其他学校高三学生的交谈 这样的复习课可能并不少见 这样的复习可能不行 这样的复习课可能并不少见 这样的复习可能不行 学生已经做过了 有准备了 学案 这样的课该怎么上 学生已经做过了 有准备了 学案 这样的课该怎么上 从两个例子的教学过程看怎样复习好 从两个例子的教学过程看怎样复习好 例例 1 1 矩形 矩形 ABCD 内接于半径为内接于半径为 r 的圆 求矩形面积最大值 的圆 求矩形面积最大值 2 矩形 矩形 ABCD 内接于半径为内接于半径为 r 的半圆 求矩形面积最大值 的半圆 求矩形面积最大值 N PQ B OAM 3 如图 矩形 如图 矩形 ABCD 内接于半径为内接于半径为 r 的扇形 的扇形 AOB 3 求矩形面积最大值 求矩形面积最大值 1 对于 对于 1 学生给出了 学生给出了 5 种解法 在学生已经给出种解法 在学生已经给出 5 种解法之后 教师该怎么办 种解法之后 教师该怎么办 学生画了龙 教师要未点睛 学生画了龙 教师要未点睛 点 关键 点 出思想 点 出规律 点 关键 点 出思想 点 出规律 问一问 你是怎么想到的 挖掘背后的思维过程 而这体现的 是函数的本质 对应的思想 问一问 你是怎么想到的 挖掘背后的思维过程 而这体现的 是函数的本质 对应的思想 归纳出解决一类问题 建立函数模型 求解应用问题 的步骤 归纳出解决一类问题 建立函数模型 求解应用问题 的步骤 1 弄清影响函数变动的原因 选择自变量 弄清影响函数变动的原因 选择自变量 2 用自变量的代数式表示函数式中要用到的量 用自变量的代数式表示函数式中要用到的量 3 列出函数式 明确定义域 列出函数式 明确定义域 4 求出最大 最小值 并指出相应的自变量的值 求出最大 最小值 并指出相应的自变量的值 5 答 回答实际问题的解决办法 解等 答 回答实际问题的解决办法 解等 圆的内接矩形面积最大值的思维过程 用浅显的例子说明深刻的 道理 圆的内接矩形面积最大值的思维过程 用浅显的例子说明深刻的 道理 活中找死 形成定势 规律性的 活中找死 形成定势 规律性的 对于 对于 3 经过分析 较好的方法是设 经过分析 较好的方法是设 AOP 0 3 对于 对于 3 如果出了下面的解法 怎么办 如果出了下面的解法 怎么办 设设 OM x x 0 r S 3x r2 3x2 x 怎么办 怎么办 判别式法 判别式法 12x4 2 3S 3r2 x2 S2 0 0 得 得 3r4 4 3Sr2 12S2 0 3r2 2S 3r2 6S 0 2 S 3 6 r2 等号在 等号在 x 3 6 r 0 r 时成立 时成立 三角换元法 设三角换元法 设 x r 3cos 0 2 S 3 3 r2sin 2 6 3 6 r2 当当 3 x 3 6 r 时 时 Smax 3 6 r2 这样 教育作用就大多了 这样 教育作用就大多了 比如 面对比如 面对 2008 年江苏高考年江苏高考 17 题所列出的函数 除了导数还有 他法 题所列出的函数 除了导数还有 他法 1 求函数 求函数 y 20 10sin cos 10 0 4 的最大值 的最大值 不用求导也可以得到结果 不用求导也可以得到结果 方法多样 思路开阔 方法多样 思路开阔 10sin ucos 20 得 得 u2 100 400 u 10 3 y 10 3 10 等号在等号在 10sin 10 3cos 20 6 0 4 时成立 时成立 2 求函数 求函数 y x 2 x2 20 x 200 0 x 10 的最大值 的最大值 用判别式法 化简成用判别式法 化简成 3x2 2 y 40 x 800 y2 0 0 得 得 y 10 2 300 y 10 10 3 y 10 舍去 舍去 y 10 10 3 等号在等号在 x 1 3 40 y 1 3 30 10 3 10 10 3 3 0 10 时成立 时成立 3 例例 2 已知圆已知圆 C x2 y2 2x 4y 4 0 是否存在斜率为 是否存在斜率为 1 的直 线 的直 线 l 使得 使得 l 被圆被圆 截得的弦截得的弦 AB 为直径圆经过原点 若存在 求出 直线 为直径圆经过原点 若存在 求出 直线 l 的方程 若不存在 请说明理由 的方程 若不存在 请说明理由 1 交流解法 交流解法 解法一 提供的答案 圆解法一 提供的答案 圆 C x 1 2 y 2 2 9 若存在以若存在以 AB 为直径的圆为直径的圆 M 满足条件 则设圆圆心 满足条件 则设圆圆心 M a b M 是是 AB 的中点 的中点 CM l 则 则 kCM b 2 a 1 即 即 b a 1 又因为直线又因为直线 l y x b a 所以 所以 CM b a 1 2 因为以因为以 AB 为直径的圆经过原点 所以为直径的圆经过原点 所以 MA MB OM 又因为又因为 MB 2 CB 2 CM 2 所以 所以 OM 2 CB 2 CM 2 于是于是 a2 b2 9 b a 1 2 2 由 得由 得 2a2 a 3 0 解得 解得 a 3 2 或 或 a 1 存在经过存在经过 A B 的圆 直径的圆 直径 l 的方程分别是的方程分别是 x y 4 0 x y 1 0 解法二解法二 设设 A x1 y1 B x2 y2 直 线 直 线 l 的方程为的方程为 y x b 有以有以 AB 为直径的圆经过原点 为直径的圆经过原点 得得 OA OB 所以所以 x1x2 y1y2 0 因为因为 y1 x1 b y2 x2 b 所以 所以 2x1x2 b x1 x2 b2 0 4 由由 y x b x2 y2 2x 4y 4 0 消去消去 y 得 得 2x2 2 b 1 x b2 4b 4 0 所以所以 x1 x2 b 1 x1x2 b 2 4b 4 2 代入 得 代入 得 b2 3b 4 0 解得 解得 b 1 或 或 b 4 当当 b 1 时 方程 成为时 方程 成为 2x2 4x 1 0 有实数根 有实数根 当当 b 4 时 方程 成为时 方程 成为 x2 3x 2 0 有实数根 有实数根 所以 存在符合条件的直线所以 存在符合条件的直线 l 它们的方程分别是 它们的方程分别是 x y 4 0 x y 1 0 解法三解法三 由由 y x b x2 y2 2x 4y 4 0 求出交点求出交点 A B 的坐 标 利用勾股定理 的坐 标 利用勾股定理 AB 2 OA 2 OB 2 求出 求出 b 2 分析各解法的特点 分析各解法的特点 各种解法分别各种解法分别有哪些步骤组成 有哪些步骤组成 有哪几个层次 帮助学生有哪几个层次 帮助学生理出头 绪来 形成规律 形成好的认知结构 便于迁移 理出头 绪来 形成规律 形成好的认知结构 便于迁移 条件怎么用的 条件怎么用的 条件如何使用不能不加选择 这是关键 条件如何使用不能不加选择 这是关键 解法一的特点是对图形的解法一的特点是对图形的几何特征几何特征加以分析 加以分析 解法二是把与解法二是把与交点坐标有关的问题交点坐标有关的问题转化转化为方程的根与系数之间 的关系问题 为方程的根与系数之间 的关系问题 解法三解出了交点坐标 解法三解出了交点坐标 任务怎样转化的 任务怎样转化的 确定直线是否存在 条件是直线在确定直线是否存在 条件是直线在 y 轴上的截轴上的截 5 距距 b 存在 找出对存在 找出对 b 的约束条件 典型的待定系数法 的约束条件 典型的待定系数法 关键是如何使用题设条件 不同的使用方法就产生了不同的解法 关键是如何使用题设条件 不同的使用方法就产生了不同的解法 3 评价解法 哪种好 为什么 评价解法 哪种好 为什么 第二种解法好 具有一般性 体现了解析几何用代数方法研究几 何问题的特点 第二种解法好 具有一般性 体现了解析几何用代数方法研究几 何问题的特点 解析几何的解题特点 解析几何的解题特点 1 加强对几何图形结构的分析 加强对几何图形结构的分析 2 如 何与方程打交道 这是因为曲线关系的问题 就是方程组有无实数解 的问题 求解方程 找出交点坐标 还是另辟他径 韦达定理 如 何与方程打交道 这是因为曲线关系的问题 就是方程组有无实数解 的问题 求解方程 找出交点坐标 还是另辟他径 韦达定理 4 再用类似的练习 及时巩固 再用类似的练习 及时巩固 比如把圆换成抛物线 比如把圆换成抛物线 5 拓展变化 拓展变化 把圆换成椭圆呢 甚至把直线换成另一个圆呢 把圆换成椭圆呢 甚至把直线换成另一个圆呢 尊重各种不同特点的思维 找出有价值的成分 尊重各种不同特点的思维 找出有价值的成分 借题发挥 借题发挥 发挥一道题所能够发挥的所有作用 发挥一道题所能够发挥的所有作用 不只是为了 一个答案 不只是为了 一个答案 题设中有条件题设中有条件 f x 1 f 1 x 若改成 若改成 f x 1 f 1 x f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 函数具有什么 性质呢 函数具有什么 性质呢 带领学生带领学生提出问题 研究问题提出问题 研究问题 使得复习一道题就起到它的作用 使得复习一道题就起到它的作用 老师 你有哪些疑虑 时间不够 不会 现在没有一个学校的课 时不超过 老师 你有哪些疑虑 时间不够 不会 现在没有一个学校的课 时不超过 9 课时 没有一个学校的高三不利用星期六 假期补课 甚 至星期天 课时 没有一个学校的高三不利用星期六 假期补课 甚 至星期天 学生到底缺少什么 我们到底要给学生什么 学生到底缺少什么 我们到底要给学生什么 6 不要图省事 不要以为 我已经告诉了你 你就应该会做了 这 是不现实的 还必须他的亲自动手 亲自体验 真正理解了 不要图省事 不要以为 我已经告诉了你 你就应该会做了 这 是不现实的 还必须他的亲自动手 亲自体验 真正理解了 把提高分析问题 解决问题能力的培养落到实处 提高学生的把提高分析问题 解决问题能力的培养落到实处 提高学生的各 方面能力 各 方面能力才能从根本上解决问题 才能从根本上解决问题 一 重视基础 不钻难题 一 重视基础 不钻难题 1 重视基础 扎扎实实 重视基础 扎扎实实 惟有抓好基础 才能以不变应万变 惟有抓好基础 才能以不变应万变 基础知识 要熟悉 基本技能 要熟练 基础知识 要熟悉 基本技能 要熟练 基本思想 要领会 基本方法 要掌握 基本思想 要领会 基本方法 要掌握 决不能以高考卷最后两题的难度组织复习 决不能以高考卷最后两题的难度组织复习 谁钻难题 谁整垮自己 谁钻难题 谁整垮自己 没有几个人能听懂的题 讲了又有什么用 没有几个人能听懂的题 讲了又有什么用 坚决做好填空题 坚决做好填空题 70 分 立足基础题 中低档题 降低复习 重心 分 立足基础题 中低档题 降低复习 重心 难题 得分率很低的题等于没有出 难题 得分率很低的题等于没有出 2003 年第年第 22 满分 满分 14 分 的得分率是分 的得分率是 0 03 共 共 3 个小题 分别 是 个小题 分别 是 0 08 0 0 复习时不要心里老惦记着这些题 有些考生考完是哭 着走出考场的 复习时不要心里老惦记着这些题 有些考生考完是哭 着走出考场的 2006 年的最后一题 第年的最后一题 第 21 题 题 14 分 据说分 据说 30 几万考生只有几万考生只有 8 人做出来 是因为你教的结果吗 人做出来 是因为你教的结果吗 设数列设数列 an bn cn 满足 满足 7 bn an an 2 cn an 2an 1 3an 2 n 1 2 3 证明 证明 an 为等差数列的充分必要条件是为等差数列的充分必要条件是 cn 为等差数列且为等差数列且 bn bn 1 n 1 2 3 自从江苏自主命题以来 最后两题 翘尾巴 体现考试的选拔性 基本上是个规律 自从江苏自主命题以来 最后两题 翘尾巴 体现考试的选拔性 基本上是个规律 会做最后两题的同学可能也不是老师教出来的 反过来 如果我 们的复习定位在最后两题 那么大多数人在陪练 会做最后两题的同学可能也不是老师教出来的 反过来 如果我 们的复习定位在最后两题 那么大多数人在陪练 二 必须重视能力培养二 必须重视能力培养 教师要经常想一想 学生离开不怎么办 教师要经常想一想 学生离开不怎么办 要始终把对能力培养与提高放在十分重要的位置 尤其是思维能 力 要经常想一想 学生离开你怎么办 不是自己的知识是无用的知 识 要始终把对能力培养与提高放在十分重要的位置 尤其是思维能 力 要经常想一想 学生离开你怎么办 不是自己的知识是无用的知 识 你讲得再好 可能还是你的 想想怎样才能成为学生的 你讲得再好 可能还是你的 想想怎样才能成为学生的 怎样提高能力 怎样提高能力 绝知此事要躬行 一定要让学生参与到教学过程中来 绝知此事要躬行 一定要让学生参与到教学过程中来 参与解 题策略制定的过程 让学生暴露思维的过程 要民主 不要越俎代庖 不要让学生成为 书记员 参与解 题策略制定的过程 让学生暴露思维的过程 要民主 不要越俎代庖 不要让学生成为 书记员 让学生讲 尤其对于学生已经有了准备的问题 让学生讲 尤其对于学生已经有了准备的问题 让学生板演 板演可以暴露许多问题 包括表达是否规范 让学生板演 板演可以暴露许多问题 包括表达是否规范 让学生之间开展交流 搞成讨论班怎么样 讲的人 听的人都受 益 让学生之间开展交流 搞成讨论班怎么样 讲的人 听的人都受 益 提高思维能力 其中一个做法是挖掘学生解题背后的思维过提高思维能力 其中一个做法是挖掘学生解题背后的思维过 8 程 当然教师也要暴露自己的思维过程 要不放过一切可能提高思 维能力的材料 经常问一问 程 当然教师也要暴露自己的思维过程 要不放过一切可能提高思 维能力的材料 经常问一问 你是怎么想到的 你凭什么这么 说 你是怎么想到的 你凭什么这么 说 不要 自古华山一条路 要尊重各种思路 给出客观的评价 尤其要注意它的合理性 不要 自古华山一条路 要尊重各种思路 给出客观的评价 尤其要注意它的合理性 变式教学是培养思维能力的有效途径 学生在这个过程构建起自 己的经验体系 变式教学是培养思维能力的有效途径 学生在这个过程构建起自 己的经验体系 培养主动学习的习惯 先让学生想一想 做一做 尝试尝试 不 要把题目往黑板上一写教师就开始分析起来 那是你教师在分析 学 生可能很难分析起来 不要用教师的过早的 引导 限制 代替学生 的思维 可以师生共做 要先让学生熟悉题意 重视思维过程的指导 暴露如何想 怎样做 谈来龙去脉 在方法的选择中 重视通性通法 的运用 培养主动学习的习惯 先让学生想一想 做一做 尝试尝试 不 要把题目往黑板上一写教师就开始分析起来 那是你教师在分析 学 生可能很难分析起来 不要用教师的过早的 引导 限制 代替学生 的思维 可以师生共做 要先让学生熟悉题意 重视思维过程的指导 暴露如何想 怎样做 谈来龙去脉 在方法的选择中 重视通性通法 的运用 题目写完后 学生就开始写起来 画起来 那是主动学习的表现 若抬着头等你讲 那是思维懒惰的表现 题目写完后 学生就开始写起来 画起来 那是主动学习的表现 若抬着头等你讲 那是思维懒惰的表现 只有喜欢思考的人才能学好数学 只有喜欢思考的人才能学好数学 也不要题目刚写好就请学生回答 舍得留时间 也不要题目刚写好就请学生回答 舍得留时间 讲方法 讲原理 而不仅是 解题术 授人以 鱼 教人以 渔 讲方法 讲原理 而不仅是 解题术 授人以 鱼 教人以 渔 把 思考问题的原理 解决问题的出发点教给学生 老虎吃天从何下口 不仅是 解题术 把 思考问题的原理 解决问题的出发点教给学生 老虎吃天从何下口 不仅是 解题术 讲题型 去套 讲题型 去套 多让学生感到自然 与你共鸣 少让学生感到突然 强加于学生 多让学生感到自然 与你共鸣 少让学生感到突然 强加于学生 努 力使学生觉得 你老师想得到 我也差不多能想到 少让学生感到 努 力使学生觉得 你老师想得到 我也差不多能想到 少让学生感到 9 只有你老师想得到 我怎么搞也想不到 使学生真正理解你的教学 否则教学是无效的 学生总觉得 老师真聪明 我怎么总想不到 这不是好事情 只有你老师想得到 我怎么搞也想不到 使学生真正理解你的教学 否则教学是无效的 学生总觉得 老师真聪明 我怎么总想不到 这不是好事情 三 帮助学生形成良好的认知结构三 帮助学生形成良好的认知结构 通过复习 做到 清清楚楚几条线 而不是模模糊糊一大片 通过复习 做到 清清楚楚几条线 而不是模模糊糊一大片 以图 表等形式 构建知识网络 形成良好的知识结构与经验体 系 对于新课程更要如此 形成网络 相互支撑 利于理解 记忆与 掌握 便于迁移与运用 以图 表等形式 构建知识网络 形成良好的知识结构与经验体 系 对于新课程更要如此 形成网络 相互支撑 利于理解 记忆与 掌握 便于迁移与运用 10 注意打歼灭战 段段清 某一章或者一部分内容复习完了 学生 能够脱离课本 笔记本说出这一章 这一节主要讲了一些什么 哪些 概念 哪些主要内容 哪些重要方法 等等 让学生用举例的方法来 说明问题 有载体 老师要 引导学生 整理 归纳 使学生能从整 体上把握所复习的内容 重要数学思想 方法 形成良好的知识结构 与能力结构 注意打歼灭战 段段清 某一章或者一部分内容复习完了 学生 能够脱离课本 笔记本说出这一章 这一节主要讲了一些什么 哪些 概念 哪些主要内容 哪些重要方法 等等 让学生用举例的方法来 说明问题 有载体 老师要 引导学生 整理 归纳 使学生能从整 体上把握所复习的内容 重要数学思想 方法 形成良好的知识结构 与能力结构 知识形成的主要过程虽然在高一 高二已经完成 但是 未必理 解 未必掌握牢固 尤其缺少对所学知识的前后联系 缺少对知识的 系统认识 因此 复习中要经常注意加强前后知识之间的联系 加强 不同学科 包括数学内部 知识之间的联系 知识形成的主要过程虽然在高一 高二已经完成 但是 未必理 解 未必掌握牢固 尤其缺少对所学知识的前后联系 缺少对知识的 系统认识 因此 复习中要经常注意加强前后知识之间的联系 加强 不同学科 包括数学内部 知识之间的联系 做三件事 做三件事 澄清概念 归纳方法 教会思考 澄清概念 归纳方法 教会思考 1 要重视概念复习 要重视概念复习 例例 1 若椭圆经过原点 且焦点为若椭圆经过原点 且焦点为 F1 1 0 F2 3 0 则其 离心率为 则其 离心率为 A 3 4 B 2 3 C 1 2 D 1 4 考查椭圆概念 离心率的概念 考查椭圆概念 离心率的概念 教育部考试中心命题时 提倡教育部考试中心命题时 提倡 多想少算 多想少算 这些都是典型的 多 想少算 题 这些都是典型的 多 想少算 题 填空题中 往往使用一下概念 经过简单的计算就可以得到答案 填空题中 往往使用一下概念 经过简单的计算就可以得到答案 概念是思维的细胞 判断的依据 解题的指导 对解题方案的制 定 解题的过程有直接的指导作用 概念是思维的细胞 判断的依据 解题的指导 对解题方案的制 定 解题的过程有直接的指导作用 数学概念属于陈述性知识 要弄清形成过程 讲发生 讲发展 数学概念属于陈述性知识 要弄清形成过程 讲发生 讲发展 11 讲理解 讲清楚 讲理解 讲清楚 概念复习要抓住六个字 准确 完整 理解 概念复习要抓住六个字 准确 完整 理解 例例 2 设设 f x lg 2 1 x a 是奇函数 则使 是奇函数 则使 f x 0 的的 x 的取值范围是的取值范围是 A A 1 0 B 1 1 C 0 D 0 1 例例 3 已知矩阵已知矩阵 A 1 2 c 1 的一个特征值为的一个特征值为 是 是 A 的属于的属于 的一个特征向量 则的一个特征向量 则 A 1 南京测试题 南京测试题 0 1 关键是求关键是求 c 条件怎么用 条件怎么用 特征方程特征方程 1 2 c 1 1 2 2c 0 的一个根是的一个根是 1 0 是是 A 的属于的属于 的一个特征向量的一个特征向量 反映的信息是方程组 反映的信息是方程组 1 x 2y 0 cx 1 y 0 有一个解是 有一个解是 m 0 即 即 y 0 时 时 x 可以取任 意值 这样 可以取任 意值 这样 c 0 是解决问题的关键 是解决问题的关键 会求会求 1 2 0 1 的逆矩阵的逆矩阵 1 2 0 1 这道题充分说明了这道题充分说明了概念对解题的指导作用概念对解题的指导作用 讲概念要讲理解 在 理解 二字上下功夫 讲概念要讲理解 在 理解 二字上下功夫 例例 4 已知函数已知函数 y f x 的图像 画出函数 的图像 画出函数 y f x 1 的 图像 的 图像 不要死记 要搞请为什么 不要死记 要搞请为什么 12 可以组织系列小题 让学生通过正确运用 产生失误等各种方式 达到对概念理解的目的 可以组织系列小题 让学生通过正确运用 产生失误等各种方式 达到对概念理解的目的 讲概念要讲联系 讲概念要讲联系 比如 倾斜角 斜率 方向向量 选修比如 倾斜角 斜率 方向向量 选修 2 1 都是用来刻画坐标系中直线的倾斜程度的 既然是用来刻画同一件事 物的 因此 它们本质上是一致的 要揭示这一本质 打通它们之间 的关系 知道其中一个 要能够根据需要立即转换成另一个 都是用来刻画坐标系中直线的倾斜程度的 既然是用来刻画同一件事 物的 因此 它们本质上是一致的 要揭示这一本质 打通它们之间 的关系 知道其中一个 要能够根据需要立即转换成另一个 讲概念 要讲必要性 合理性 讲形成过程 即讲发生 发展 讲概念 要讲必要性 合理性 讲形成过程 即讲发生 发展 为什么要定义倾斜角 刻画倾斜程度还有哪些概念 范围为什 么是 为什么要定义倾斜角 刻画倾斜程度还有哪些概念 范围为什 么是 0 直线与平面所成角的概念 它的范围为什么是 直线与平面所成角的概念 它的范围为什么是 0 2 二面角的范围为什么是 二面角的范围为什么是 0 等等 等等 复习时 要在基础知识的 理解 上下功夫 读死书 死读书 是不行的 复习时 要在基础知识的 理解 上下功夫 读死书 死读书 是不行的 概念复习形式多样化 以问题为载体复习 这样学生感受比较深 以后想起这个概念时就可能想道了某道题 做辨析练习 做概念运用 小题 选择或填空 教师归纳讲解 帮助学生理解概念的题不要弯 弯绕多 求难 干扰对本质的理解 达不到目的 概念复习形式多样化 以问题为载体复习 这样学生感受比较深 以后想起这个概念时就可能想道了某道题 做辨析练习 做概念运用 小题 选择或填空 教师归纳讲解 帮助学生理解概念的题不要弯 弯绕多 求难 干扰对本质的理解 达不到目的 2 做到 段段清 做到 段段清 系统的知识 容易理解与掌握 对每一个所复习过的问题必须做 到到位 教师要帮助学生整理 规范 使得对每一个问题都有一个明 晰的答案 系统的知识 容易理解与掌握 对每一个所复习过的问题必须做 到到位 教师要帮助学生整理 规范 使得对每一个问题都有一个明 晰的答案 比如数列 比如数列 1 等差数列与等比数列 定义 通项公式 求和公式 中项 等差数列与等比数列 定义 通项公式 求和公式 中项 13 性质 等 性质 等 2 数列求和的各种方法 来历 何时用 怎样用 注意什么 倒序 错位相减 分解 裂项 分类 归纳 等 数列求和的各种方法 来历 何时用 怎样用 注意什么 倒序 错位相减 分解 裂项 分类 归纳 等 3 数列与函数 不等式 数列与函数 不等式 4 数列的应用 数列的应用 5 递推问题 高考常考 递推问题 高考常考 3 专题复习 打好歼灭战 练好基本功 专题复习 打好歼灭战 练好基本功 如图象及其变换 如图象及其变换 例例 5 熟悉下列函数图象 性质以及有关它们的处理方法吗 熟悉下列函数图象 性质以及有关它们的处理方法吗 y cx d ax b ad bc y mx 2 nx p ax2 bx c y ax b x a 0 b 0 y ax2 bx c y Ax B ax b y x m x n 等等 等等 2008 山东山东 4 设函数 设函数 f x x 1 x a 的图象关于直 线 的图象关于直 线 x 1 对称 则对称 则 a 的值为的值为 A 3 B 2 C 1 D 1 2008 江苏 江苏 20 g x x p1 x p2 当当 p1 p2时 时 122 122 211 2 1 ppxp g xxpppxp ppxp 四 重视数学思想方法的复习 归纳方法 四 重视数学思想方法的复习 归纳方法 14 命题意向 能力为中心 知识为平台 方法为通道 命题意向 能力为中心 知识为平台 方法为通道 充分展现 充分展现 三基三基 即基本知识 基本方法 基本观念 思想 即基本知识 基本方法 基本观念 思想 数形结合 分类讨论 函数与方程 化归与转化 数形结合 分类讨论 函数与方程 化归与转化 分析法 综合法 消元法 降次法 配方法 换元法 比较法 归纳法 反证法 同一法 待定系数法 分析法 综合法 消元法 降次法 配方法 换元法 比较法 归纳法 反证法 同一法 待定系数法 归纳与猜想归纳与猜想 合情与逻辑 有限与无限 精确与估计 随机与确定 合情与逻辑 有限与无限 精确与估计 随机与确定 等 等 内容是载体 方法是核心 内容是载体 方法是核心 数与形 第一法 数与形 第一法 例例 1 2008 江苏 江苏 13 满足条件 满足条件 AB 2 AC 2BC 的三角形的三角形 ABC 的面积最大值是的面积最大值是 用用解析法解析法的意识并不强 的意识并不强 例例 2 设函数设函数 f x x 1 x x R 区间 区间 M a b a b 集合 集合 N y y f x x M 则使 则使 M N 成立的实数对 成立的实数对 a b 有 有 A 0 个个 B 1 个个 C 2 个个 D 无数多个 无数多个 化归与转化 化归与转化 例例 3 2007 江苏 江苏 10 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 已知平面区域 已知平面区域 A x y x y 1 且 且 x 0 y 0 则平面区域 则平面区域 B x y x y x y A 的面积为的面积为 A 2 B 1 C 1 2 D 1 4 函数与方程 函数是统帅 函数与方程 函数是统帅 15 许多方程 不等式的问题其实是函数的问题 许多方程 不等式的问题其实是函数的问题 比如 含参数的不等式恒成立 求参数范围的方法 比如 含参数的不等式恒成立 求参数范围的方法 例例 4 设函数设函数 f x x 1 ln x 1 若对所有的 若对所有的 x 0 都有都有 f x ax 成立 求实数成立 求实数 a 的范围 本质是函数的最值问题 的范围 本质是函数的最值问题 1 2006 全国理科第全国理科第 20 题 题 例例 5 2008 江苏江苏 14 设函数 设函数 f x ax3 3x 1 x R 若 对于任意 若 对于任意 x 1 1 都有 都有 f x 0 成立 则实数成立 则实数 a 的值为的值为 求求 f x 在 在 1 1 的最小值 的最小值 f x 3ax2 3 a 0 不符合要求 所以不符合要求 所以 a 0 f x 0 有 有 x 1 a f 1 a 0 f 1 a 0 f 1 0 f 1 0 a 4 换元法 换元法 例例 6 函数函数 y 3 1 x 4 1 x的最大值是的最大值是 1 x t y 3t 4 2 t2 再三角代换 再三角代换 讲方法 要讲 何时用 怎样用 讲方法 要讲 何时用 怎样用 特别要重视教材内容所体现的思想和方法 特别要重视教材内容所体现的思想和方法 比如等差数列求和的倒序求和 分解求和 错位相减等比如等差数列求和的倒序求和 分解求和 错位相减等 解析几何中的降维 定比分点公式的推导 点到直线距离等 解析几何中的降维 定比分点公式的推导 点到直线距离等 把思考问题的原理教给学生 把思考问题的原理教给学生 16 讲具体的方法 更要讲原理 讲思维的出发点 讲具体的方法 更要讲原理 讲思维的出发点 比如轨迹问题思维出发点 比如轨迹问题思维出发点 1 找出动点所满足的不变的几何条 件 找出动点所满足的不变的几何条 件 2 找出引起动点变动的原因 而不仅是直接法 代点法等等 要这些方法的源于什么 找出引起动点变动的原因 而不仅是直接法 代点法等等 要这些方法的源于什么 讲通性通法 淡化特殊技巧 讲通性通法 淡化特殊技巧 例例 7 设设 1 2x 1 y 1 x y 0 求 求 x y 的范围 的范围 解法一 消元 解法一 消元 y 2x 2x 1 x 1 2 立即明确范围 立即明确范围 W x y x 2x 2x 1 x 1 1 2x 1 分式函数的处理方法 分 离常数 使分子的次数低于分母 分式函数的处理方法 分 离常数 使分子的次数低于分母 1 2 2x 1 1 2x 1 3 2 2x 1 0 用不等式要检查是否符 合条件 用不等式要检查是否符 合条件 3 2 2 等号在等号在 x 1 2 2 y 1 2取到 落到实处 凡是求函数的最 大最小值都必须指出相应的自变量的值 取到 落到实处 凡是求函数的最 大最小值都必须指出相应的自变量的值 解法二 三角代换 由解法二 三角代换 由 1 2x 1 y 1 设设 1 2x cos2 1 y sin2 提高 三角代换 换元的意识 提高 三角代换 换元的意识 x y 1 2sec 2 csc2 1 2tan 2 cot2 3 2 以下略 以下略 熟悉最基本的三角公式 熟悉最基本的三角公式 解法三 判别式法 设解法三 判别式法 设 x y w 把 把 y w x 代入代入 1 2x 1 y 1 得 得 17 到到 1 2x 1 w x 1 化成 化成 x 的一元二次方程的一元二次方程 2x2 2w 1 x w 0 由 由 2w 1 2 8w 0 得得 4w 2 12w 1 0 w 3 2 2 2 0 w 3 2 2 或者 或者 w 3 2 2 舍去 因为 舍去 因为 w 1 2 舍去也要说明理由 舍去也要说明理由 等号在等号在 x1 x2 2w 1 4 1 2 2 大于 大于1 2 时成立 判别式必须查 等号是否成立 时成立 判别式必须查 等号是否成立 解法四 整体使用 因为解法四 整体使用 因为 1 2x 1 y 1 x y 0 所以 所以 x y 1 2x 1 y x y 3 2 y 2x x y 3 2 2 解法五 柯西不等式 解法五 柯西不等式 1 2x 1 y x y 2 2 1 2 3 2 2 第四 五两个方法技巧性强 不必宣扬 第四 五两个方法技巧性强 不必宣扬 注重通性通法 淡化解题技巧 不在学生面前卖弄解题技巧 注重通性通法 淡化解题技巧 不在学生面前卖弄解题技巧 解法六 数形结合 画出函数解法六 数形结合 画出函数 y 2x 2x 1 x 1 2 的图 像 画出函数把 的图 像 画出函数把 y x w 在 在 y 轴上的截距变化 的图像 改变截 距观察两个图像交点的情况 轴上的截距变化 的图像 改变截 距观察两个图像交点的情况 江苏 江苏 2008 11 设 设 x y z 为正实数 满足为正实数 满足 x 2y 3z 0 则 则 xz y2 的最小值是的最小值是 消元 基本方法 消元 基本方法 五 必须教学生学会思考 形成良好的解题习惯五 必须教学生学会思考 形成良好的解题习惯 教学生学会思考 单尊教授说 教学生学会思考 单尊教授说 中小学 开设数学课程的主要 目的是教会学生如何思考 中小学 开设数学课程的主要 目的是教会学生如何思考 18 你读过波利亚的数学名著 怎样解题 或者单尊教授写的 解题 研究 吗 建议你认真读一读 你读过波利亚的数学名著 怎样解题 或者单尊教授写的 解题 研究 吗 建议你认真读一读 读题一遍不要 动笔出错好笑 看到成绩心跳 失分原因之一 是解题习惯不好 而不仅是数学知识掌握的缺陷 读题一遍不要 动笔出错好笑 看到成绩心跳 失分原因之一 是解题习惯不好 而不仅是数学知识掌握的缺陷 哪些是教师要做的 哪些该让学生去做 要想清楚 哪些是教师要做的 哪些该让学生去做 要想清楚 想 给学生听 做给学生看 想 给学生听 做给学生看 主动的是有效的 教师讲的未必有效 主动的是有效的 教师讲的未必有效 让学生让学生先想一想 做一做 尝试教学法 先想一想 做一做 尝试教学法 让学生掌握与数学题打交道的招招式式 看到题目不怕 从题海 中解脱出来 让学生掌握与数学题打交道的招招式式 看到题目不怕 从题海 中解脱出来 1 弄清问题 分析条件 弄清问题 分析条件 1 读题多遍 弄清题意 读题多遍 弄清题意 2 数一数题设中有几个条件 揭示每一个条件的本质 数一数题设中有几个条件 揭示每一个条件的本质 3 注意条件之间的联系 注意条件之间的联系 4 选择一个 认为 恰当的条件使用方法 选择一个 认为 恰当的条件使用方法 2 明确任务 制订策略 明确任务 制订策略 5 明确任务 明确 干什么 突出 目标意识 明确任务 明确 干什么 突出 目标意识 6 能否化归为另一个任务 能否分解为几个小的任务 能否化归为另一个任务 能否分解为几个小的任务 7 为什么不画个图 列个表呢 为什么不画个图 列个表呢 8 与已知条件之间的关系 与已知条件之间的关系 9 见过类似的问题吗 见过类似的问题吗 3 规范表达 实施计划 规范表达 实施计划 19 10 运算准确 推理严密 不跳步骤 运算准确 推理严密 不跳步骤 11 规范的表述 完整的步骤 规范的表述 完整的步骤 4 验算结果 回顾反思 验算结果 回顾反思 12 有无归纳 总结性语言 有无归纳 总结性语言 13 是否利用了所有条件 或者发现多余条件 是否利用了所有条件 或者发现多余条件 14 验证结论 结论合理吗 验证结论 结论合理吗 15 有没有其他更简便的方法 有没有其他更简便的方法 16 你最多能给出几种解法 你最多能给出几种解法 认真审题 弄清有什么 明确任务 弄清干什么 选择方法 弄 清怎样干 认真审题 弄清有什么 明确任务 弄清干什么 选择方法 弄 清怎样干 例例 1 2007 年 江苏年 江苏 20 16 分 已知分 已知 an 是等差数列 是等差数列 bn 是公比为是公比为 q 的等比数列 的等比数列 a1 b1 a2 b2 a1 记 记 Sn为数列为数列 bn 的前的前 n 项和 项和 1 若 若 bk am m k 是大于是大于 2 的正整数 求证 的正整数 求证 Sk 1 m 1 a1 4 分 分 2 若 若 b3 ai i 是某个正整数 求证 是某个正整数 求证 q 是整数 且数列是整数 且数列 bn 中 的每一项都是数列 中 的每一项都是数列 an 中的项 中的项 8 分 分 3 是否存在这样的正数 是否存在这样的正数 q 使等比数列 使等比数列 bn 中有三项成等差数列 若存在 写出一个 中有三项成等差数列 若存在 写出一个 q 的值 并加以说明 若不存在 请说明理由 的值 并加以说明 若不存在 请说明理由 4 分 分 带领学生思考带领学生思考 20 有什么 有什么 an a1 a2 a3 an a1 n 1 d a2 a1 d bn a1 a2 b3 bn a1qn 1 a2 a1q d a1 q 1 联结两个数列的联结两个数列的最关键的条件 最关键的条件 先看第 先看第 1 小题 小题 bk am是什么 揭示它 是什么 揭示它 a1qk 1 a1 m 1 d a1qk 1 a1 m 1 a1 q 1 qk 1 1 m 1 q 1 干什么 干什么 求求 Sk 1 a 1 1 qk 1 1 q 怎么干 怎么干 由由 qk 1 1 m 1 q 1 得 得1 qk 1 1 q m 1 再看第 再看第 2 小题 小题 有什么 有什么 a1q2 a1 i 1 d a1q2 a1 i 1 a1 q 1 干什么 干什么 证证 q 是整数 表示出来看一看 是整数 表示出来看一看 q 1 i 1 i 3 还要干什么 还要干什么 证明 数列证明 数列 bn 中的每一项都是数列中的每一项都是数列 an 中的项 中的项 a1qn 1 a1 m 1 d 能找出这样的整数能找出这样的整数 m 就行 就行 m 3 这是任务 这是任务 21 a1qn 1 a1 m 1 a1 q 1 m 1 1 qn 1 1 q 1 q q2 qn 2 对公式的从右到左的认识对公式的从右到左的认识 q 是整数 是整数 m 2 q q2 qn 2 是整数吗 当然是 是整数吗 当然是 再看第 再看第 3 小题 小题 a1 a2 b3行不行 行不行 a1 a1q2 2a1q q2 2q 1 0 q 1 不行 早该知道 不行 早该知道 a1 a2 b4行不行 行不行 a1 a1q3 2a1q q3 2q 1 0 有一个根是有一个根是 1 q 1 q2 q 1 0 q2 q 1 0 取 取 q 5 1 2 找到了一个 找到了一个 讲思路 订策略 讲思路 订策略 不是做给学生看 而是 想 给学生 听 与学生一道分析问题 找到解决问题的思路 把解决问题的钥匙交给学生 不是做给学生看 而是 想 给学生 听 与学生一道分析问题 找到解决问题的思路 把解决问题的钥匙交给学生 画个图 列个表 画个图 列个表 例例2 某顾客第一次在商店买某顾客第一次在商店买x件商品花去件商品花去y元 第元 第2次再去买该商 品时发现该商品已经降价 且 次再去买该商 品时发现该商品已经降价 且120件正好降价件正好降价8元 因此他比第一次多 买了 元 因此他比第一次多 买了10件 一共花去件 一共花去2元 若顾客第一次花去的不少于元 若顾客第一次花去的不少于1元 那么他第 一次至少买商品多少件 元 那么他第 一次至少买商品多少件 列张表 列张表 22 件数件数 单价单价 金额金额 第一次第一次 x y x y 1 第二次第二次 x 10 y x 8 120 y x 8 120 x 10 2 根据 根据 y x 8 120 x 10 2 y 1 解得 解得 x 5 难题变得容易了 难题变得容易了 审题是及其重要的一个环节 审题是及其重要的一个环节 六 精选多练 讲练得法六 精选多练 讲练得法 精选例题 提高针对性 精选例题 提高针对性 1 源于课本 高于课本 变换背景 改变图形位置 增减题 设或结论 高考试题特点是 情景新颖 高于课本 源于课本 高于课本 变换背景 改变图形位置 增减题 设或结论 高考试题特点是 情景新颖 高于课本 2 历届高考题仍然是训练的最好选题 陈题新解 熟题重温 历届高考题仍然是训练的最好选题 陈题新解 熟题重温 3 各地市高三测试题 各地市高三测试题 4 体现概念理解 知识覆盖 思想方法 体现概念理解 知识覆盖 思想方法 5 自编题 自编题 易迷惑 易出错的问题 会而不对 对而不全 的题 与前面内 容有联系的题 易迷惑 易出错的问题 会而不对 对而不全 的题 与前面内 容有联系的题 坚决摒弃 偏 怪 奇 的题 高考绝对不会考的题 如 三角 形三边长 坚决摒弃 偏 怪 奇 的题 高考绝对不会考的题 如 三角 形三边长 a b c 分别是分别是 8 10 12 求 求 tanA 2tan C 2 再如 判断 再如 判断 y x 3 1 x是否为函数 细枝末节 是否为函数 细枝末节 注意知识的交汇点 注意知识的交汇点 23 要注意知识的交汇点 跨学科 代数 几何 三角 要注意复 习后面内容时附带着前面的内容 要注意知识的交汇点 跨学科 代数 几何 三角 要注意复 习后面内容时附带着前面的内容 例例 1 设函数设函数 f x cos 3x 0 若 若 f x f x 是奇函数 则 是奇函数 则 小综合 小综合 就是好题目 简单综合了导数 函数的奇偶性 甚至简单三角方 程 等 就是好题目 简单综合了导数 函数的奇偶性 甚至简单三角方 程 等 开放条件 死题变活 开放条件 死题变活 例例 2 两相同的正四棱锥组成同底的几何体 可放棱长为两相同的正四棱锥组成同底的几何体 可放棱长为 1 的正 方体内 使正四棱锥的底面 的正 方体内 使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行 且 各顶点 与正方体的某一个平面平行 且 各顶点 均在正方体的面上 则这样的几何体体积的可能值有均在正方体的面上 则这样的几何体体积的可能值有 A 1 个 个 B 2 个个 C 3 个 个 D 无穷多个 无穷多个 江苏 江苏 2006 高考题 高考题 给出错解 分析错因 给出错解 分析错因 例例 3 椭圆椭圆x 2 a2 y 2 b2 1 a b 0 上哪个点 上哪个点 P 到顶点到顶点 B 0 b 的距离最远 的距离最远 先指出下列解答的错误之处 再解答本题 先指出下列解答的错误之处 再解答本题 错解 由椭圆方程错解 由椭圆方程x 2 a2 y 2 b2 1 与与 x2 y b 2 r2消去消去 x 得 得 a2 b2 y2 2b3y b2r2 a2b2 b4 0 由由 y R 方程 根的判别式 方程 根的判别式 0 得 得 r2 a2 b2 a4 即有 即有 r a 2 c a2 b2 c2 24 错误在于 当错误在于 当 r a 2 c 时 方程 的两根相等 即有时 方程 的两根相等 即有 y1 y2 b3 a2 b2 而注意到变量 而注意到变量 y 的取值范围是 的取值范围是 b y b 要使 要使 0 中等号 成立必须 中等号 成立必须 b b3 a2 b2 0 即必须 即必须 a 2b a b 但未必但未必 a 2b 正确解答是由正确解答是由x 2 a2 y 2 b2 1 与与 x2 y b 2 r2消去消去 x 把 把 r2表示为表示为 y 的二次函数来研究 或者三角代换转化为三角函数的值域问题 的二次函数来研究 或者三角代换转化为三角函数的值域问题 应该彻底弄清楚 判别式法的本质是什么 怎样发现使用它发生 了错误 发生错误又怎样纠正 应该彻底弄清楚 判别式法的本质是什么 怎样发现使用它发生 了错误 发生错误又怎样纠正 改变条件 提醒方法局限性 改变条件 提醒方法局限性 例例 4 已知方程已知方程 x2 mx m 1 0 的两个根为一个三角形两内 角的正切值 试求