因式分解技巧十法.doc

因式分解技巧这里介绍了10种因式分解的技巧，若将这些技巧全部掌握，在解决因式分解问题上必然有质的提升。首先提取公因式，然后考虑用公式。十字添拆要合适，待定主元要试试。几种方法反复试，最后必是连乘式。一、提取公因式法 多项式中所有的项都含有的因式称为它们的公因式。例1：分解因式 12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2 解：仔细观察，其中3abcx2y2 是它们的公因式 所以 原式=3abcx2y2(4acy-3bx+1)技巧：先提取每一项的系数的公因数，再逐个将每个字母的最低次提取出来。注意其中符号的变化以及不能遗漏其中的“1”。例2：分解因式 3x2y(a+b)(b+c)+3xy2(a+b)(b+c) 若在求解过程中将(a+b)(b+c)展开，则在后面的分解过程中会有很大的麻烦，应该观察到每一项都含有(a+b)(b+c)，将其看成一个整体，不做变化。 解：含有公因式3xy(a+b)(b+c) 所以 原式=3xy(a+b)(b+c)(x+y)技巧：在分解过程中，利用好整体思想。二、 公式法 利用常见的公式进行因式分解。常用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=(a+b)2a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2补充公式 当n为正奇数时有 an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)当n为正整数时，有 an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)例3：分解因式16(m+x)2-9(n+y)2 解：16(m+x)2=(4m+4x)2 9(n+y)2=(3n+3y)2 原式=(4m+4x)2-(3n+3y)2 =(4m+3n+4x+3y)(4m-3n+4x-3y)技巧：应该先观察，若先进行展开，将会非常麻烦。例4：分解因式 -1-2x-x2+y2 解：原式=y2-(x2+2x+1) =y2-(x+1)2 =(y+x+1)(y-x-1)例5：分解因式 9x2-24xy+16y2 解：原式=(3x)2-24xy+(4y)2 =(3x-4y)2例6：分解因式 a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca 解：原式=（a2+2ab+b2）-2(a+b)c+c2 =(a+b)2-2(a+b)c+c2 =(a+b-c)2例7：分解因式 x3+1 解：原式=x3+13=(x+1)(x2-x+1) 注意“1”的妙用。例8：分解因式 x6-y6 方法一、原式=(x2)3-(y2)3 =(x2-y2)(x4+x2y2+y4) =(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)(x2+xy+y2) 方法二、原式=(x3)2-(y3)2 =(x3+y3)(x3-y3) =(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)例9：分解因式 x3+3x2+3x+1 方法一、利用完全立方公式有 原式=(x+1)3 方法二、原式=x3+1+3x(x+1) =(x+1)(x2-x+1)+3x(x+1) =(x+1)(x2+2x+1) =(x+1)3例10：在实数范围内分解因式x4+y4 解：原式=x4+2x2y2+y4-2x2y2 =(x2+y2 )2-( 2xy)2 =(x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2)例11：分解因式 x5-1 方法一、利用公式求解 方法二、原式=x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1 =(x-1)x4+(x-1)x3+(x-1)x2+(x-1)x+x-1 =(x-1)(x4+x3+x2+x+1)三、分组分解法 对多项式的项进行适当的分组使之能够提取公因式或应用公式。要求做到高瞻远瞩。例12：分解因式 ax-by-bx+ay 解：原式=ax+ay-bx-by =a(x+y)-b(x+y) =(a-b)(x+y)例13：分解因式 x3+x2-y3-y2 解：原式=x3-y3+x2-y2 =(x-y)(x2+xy+y2)+(x-y)(x+y) =(x-y)(x2+xy+y2+x+y) 注：若将x3，x2分成一组，将y3，y2分成一组，则无法进行分解.四、添项与拆项分解法 仔细观察多项式的特点，添加适当的项或将其中的项进行适当的拆分，使解题思路变得清晰。注意在添项与拆项过程中进行的是恒等变形。例14：分解因式 a3-b3 解：原式=a3-ab2+ab2-b3 =a(a2-b2)+b2(a-b) =a(a-b)(a+b)+b2(a-b) =(a-b)(a2+ab+b2)例15:分解因式 x3-2x+1 解：原式=x3-x-x+1 =x3-x2+x2-2x+1 =x(x-1)(x+1)-(x-1) =x2(x-1)+(x-1)2 =(x-1)(x2+x-1) =(x-1)(x2+x-1)例16：分解因式 a4+a2b2+b44 解：原式=a4+2a2b2+b4-a2b2 =(a2+b2)2-(ab)2 =(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)五、十字相乘法与长十字相乘法 类似x2+(a+b)x+ab的式子可以分解为(x+a)(x+b).例17：分解因式 x2+5x+6 解：原式=x2+(2+3)x+6 =(x+2)(x+3) 技巧：将常数项拆成两项相乘，这两项之和为一次项的系数。例18：因式分解 6x2-7x+2 解：将6x2拆成2x与3x,将分解为-1与-2，进行适当的组合有 原式=(2x-1)(3x-2)六、换元法 适用于次数较大或式子比较复杂的情况。例19：因式分解 x6-28x3+27 解：令t=x3 则 原式=t-28t+27 =(t-1)(t-27) =(x3-1)(x3-27) =(x-1)(x-3)(x2+x+1)(x2+3x+9)注意：在结果中不能出现题目中没有出现的字母。例20：分解因式 (x2+3x+3)2+(x2+3x+1)2-2 解：令t=x2+3x+2 则 原式=(t-1)2+(t+1)2-2 =2t2 =2(x+3x+2)2 =2(x+1)2(x+2)2七、主元法 当多项式中含有多个元时，若在因式分解过程中感觉比较复杂，可以选择其中一个元作为主元进行分解，往往有意想不到的效果。例21：分解因式 y4+(x-1)y3+(x+1)y+x2-1 分析：此多项式是以y降幂排列的，整体比较复杂，继续观察，发现可以按照x降幂排列。 解：原式=x2+(y3+y)x+y4-y3+y-1 =x2+(y3+y)x+(y3+1)(y-1) =(x+y3+1)(x+y-1)技巧：选取主元时，一般选择字母指数最低的作为主元。八、求根公式法 一般应用于形如ax2+bx+c (a0) 的多项式的因式分解。 若ax+bx+c=0有两个根x1,x2 则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 利用一元二次方程的求根公式可以求出方程的两个根。 求根公式 x=-bb2-4ac2a例22：分解因式 3x2+6x+2 解：令3x2+6x+2=0 解得 x1 x2 原式=（3x+3+1）（3x+3-1）九、待定系数法 先设定多项式等于含有待定系数的因式的乘积，再利用多项式的恒等式定理求得待定系数，从而完成多项式因式分解的方法称为待定系数法。待定系数法在其它许多数学问题中有较大的作用。主要思路：1. 要根据多项式的特征，假设它能够分解出含有待定系数的某种可能的因式。2. 把假设的各因式展开并整理为与多项式类似的形式。3. 根据恒等式的性质列出方程组，解方程组求出待定系数。4. 使待定系数的值适合方程组中的每一个方程。5. 将求出的待定系数代入假设中，从而将多项式因式分解。例23：分解因式 x2+3y2-2z2+4xy-xz+yz 解：设原式=(x+y+az)(x+3y+bz)其中a、b为整数 方法一、采用系数比较法。因为x2+3y2-2z2+4xy-xz+yzx2+3y2+abz2+4xy+(a+b)xz+(3a+b)yz 有ab=-2 a+b=-1 解得a=1 b=-2 3a+b=1 所以 原式=(x+y+z)(x+3y-2z)方法二、采用数值代入法。1) 取x=y=1,有ab+4a+2b=-22) 取x=z=1,y=-1有ab-2a=-43) 解得a=1,b=-2 所以 原式=(x+y+z)(x+3y-2z)技巧：确定待定系数一般有两种方法：一是系数比较法，利用多项式恒等定理，通过比较对应项系数，列出有关待定系数得方程组；二是数值代入法，利用多项式恒等定理，通过代入几组字母的特殊值，列出有关待定系数得方程组。十、赋值试探法 将x取一个特殊值c代入多项式，若多项式得值为0，则x-c 为多项式得一个因式。当然，我们选择代入得数字式有一定的规律的。对于多项式anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x1+a0 来说赋值常是 c=q/p,其中p是a的因数，q是a得因数，正得或负的。例24：分解因式 f(x)=2x3