初中数学竞赛定理.doc

正弦定理定理概述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径） 这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径 证明步骤1. 在锐角ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CHAB垂足为点H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以D等于C. 所以c/sinCc/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。 扩展三角形面积公式1.海伦公式: 设P=(a+b+c)/2 S=根号下P(P-a)(P-b)(P-c) 解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=p(p-a)(p-b)(p-c) 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 2. SABC=(ab/2)sinC=(bc/2)sinA=(ac/2)sinB=abc/(4R)R为外接圆半径 3.SABC=ah/2 正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; （条件同上） 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinCc/sinD=BD=2R 设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 余弦定理性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质 (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a2、b2、c2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a2=b2+c2-2*b*c*CosA b2=a2+c2-2*a*c*CosB c2=a2+b2-2*a*b*CosC CosC=(a2+b2-c2)/2ab CosB=(a2+c2-b2)/2ac CosA=(c2+b2-a2)/2bc 余弦定理证明 平面几何证法： 在任意ABC中 做ADBC. C所对的边为c，B所对的边为b，A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角； (2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边. 例如：已知ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角. 解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1. 由三角形中大边对大角可知：A为最大的角.由余弦定理 cos A=- 所以A=120. 再如ABC中，AB=2,AC=3,A=3,求BC之长. 解 由余弦定理可知 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A =4+9-223=7， 所以BC=7. 以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用. 其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。斯特瓦尔特(stewart)定理 设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有 AB²DC+AC²BD-AD²BCBCDCBD。 证明：在图26中，作AHBC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有 AC²=AD²DC²-2DCDH，（1）AB²=AD²+BD²+2BDDH。 （2） 用BD乘(1)式两边得 AC²BD=AD²BD+DC²BD-2DCDHBD，（1） 用DC乘(2)式两边得 AB²DC=AD²DCBD²DC2BDDHDC。（2） 由（1）+（2）得到 AC²BD+AB²DC=AD²(BDDC)+DC²BDBD²DC =AD²BC+BDDCBC。 AB²DCAC²BD-AD²BC=BCDCBD。 或者根据余弦定理得 AB²=PB²+PA²-2PBPAcosAPB AC²=PA²+PC²-2PAPCcosAPC 两边同时除以PBPAPC得 AC²PB+AB²PC=(PB²+PA²)PC+(PA²+PA²)PB 化简即可（注：图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC)梅涅劳斯（Menelaus）定理简介梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一：过点A作AGBC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证明二：过点C作CPDF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 梅涅劳斯(Menelaus)定理证明三：过ABC三点向三边引垂线AABBCC， 所以AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 证明四：连接BF。 （AD：DB）（BE：EC）（CF:FA) =（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF） =（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF） =1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆： 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是L、M、N三点共线的充要条件是=1。 第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若E，F，D三点共线，则 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 记忆ABC为三个顶点，DEF为三个分点 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 实际应用为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。 例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。 另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。 从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明： 方案 从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。 按照这个方案，可以写出关系式： （AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。 从A点出发的旅游方案还有： 方案 可以简记为：ABFDECA，由此可写出以下公式： （AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有： 方案 ACEDFBA，由此可写出公式： （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最后一个方案： 方案 AECDBFA，由此写出公式： （AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。 不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。 还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1. 现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。塞瓦定理简介塞瓦（Giovanni Ceva，16481734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的直线论一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。 具体内容塞瓦定理 在ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ADC被直线BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 而由ABD被直线COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1 :即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （）也可以利用面积关系证明 BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB AF/FB=SAOC/SBOC 得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*ctgA）/(CD*ctgB）*(AE*ctgB)/(AE*ctgC)*(BF*ctgC)/(BF*ctgA)=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是=-1） 塞瓦定理推论1.设E是ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。托勒密定理定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质 证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形ABCD中，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD 因为ABEACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 又有比例式AB/AC=AE/AD 而BAC=DAE 所以ABCAED相似. BC/ED=AC/AD即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=ABCD+ADBC 又因为BE+EDBD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c) = (a c)(b d) ，两边取模，运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角BAC = BDC，而在AB上，ADB = ACB。 在AC上取一点K，使得ABK = CBD； 因为ABK + CBK = ABC = CBD + ABD，所以CBK = ABD。 因此ABK与DBC相似，同理也有ABD KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AKBD = ABCD，且CKBD = BCDA； 两式相加，得(AK+CK)BD = ABCD + BCDA； 但AK+CK = AC，因此ACBD = ABCD + BCDA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)已知：圆内接四边形ABCD，求证：ACBDABCDADBC 证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=2，又3=4，ACDBCP得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC 。又ACB=DCP，5=6，ACBDCP得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD 。得 AC(BPDP)=ABCDADBC即ACBD=ABCDADBC 推论1.任意凸四边形ABCD，必有ACBDABCD+ADBC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形外接于一圆、 推广托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式ACBD|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=ABCD+BCAD 注意： 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则ADBC+ABCD=ACBD西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 西姆松定理说明相关的结果有： （1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 （3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 证明证明一： ABC外接圆上有点P，且PEAC于E，PFAB于F，PDBC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是FDP=ACP ，（都是ABP的补角） 且PDE=PCE 而ACP+PCE=180 FDP+PDE=180 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由可见A、B、P、C共圆. 证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分别四点共圆，有 PBN = PLN = PLM = PCM. 故A、B、P、C四点共圆。 若A、B、P、C四点共圆，则PBN = PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有 PBN =PLN =PCM=PLM. 故L、M、N三点共线。 相关性质的证明连AH延长线交圆于G, 连PG交西姆松线与R,BC于Q 如图连其他相关线段 AHBC,PFBC=AG/PF=1=2 A.G.C.P共圆=2=3 PEAC,PFBC=P.E.F.C共圆=3=4 =1=4 PFBC =PR=RQ BHAC,AHBC=5=6 A.B.G.C共圆=6=7 =5=7 AGBC=BC垂直平分GH =8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =HQ/DF =PM=MH 第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。 则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。 那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直线上，并且 HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中点。 三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆半径比为1:2 所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的反位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是正位似中心(相似点在位似中心的同一边). 所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上.如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质： （1）同弧所对的圆周角相等 （2）圆内接四边形的对角互补 （3）圆内接四边形的外角等于内对角 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。 四点共圆证明四点共圆的基本方法证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆 方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆 （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。） 方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆 方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆(根据托勒密定理的逆定理) 方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆 上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明 判定与性质： 圆内接四边形的对角和为,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=，B+D=， 角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。 角CBE=角ADE（外角等于内对角） ABPDCP（三个内角对应相等） AP*CP=BP*DP（相交弦定理） 四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（割线定理） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理） （切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy） 证明四点共圆的原理四点共圆 证明四点共圆基本方法： 方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆 方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆 四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。 四点共圆的定理：四点共圆的判定定理：方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆 （可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那末这二点和线段二端点四点共圆） 方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆 （可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆） 反证法证明现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那末这四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后） 已知：四边形ABCD中，A+C= 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆） 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内， 若C在圆外，设BC交圆O于C，连结DC，根据圆内接四边形的性质得A+DCB=， A+C= DCB=C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。广勾股定理 勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了 广勾股定理： 在任一三角形中， (1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍 (2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍 证明： 设ABC中，BC是锐角A的对边(图24)作CHAB于H， 根据勾股定理：BC2 = BH2 + CH2 而 BH = AB-AH , CH2 = AC2 - AH2 带入后有：BC2 = (AB-AH)2 + AC2 - AH2 简化后：BC2 = AB2 AC2 -2ABAH 式（1） 同理： BC2 = AB2AC2 -2ACAH 同理可证明钝角时的结论。 推广（高中余弦定理的导出）： 设：CosA = AH/AC 则：AH = ACCosA 代入式（1）则有： BC2 = AB2 AC2 -2ABACCosA斐波那契数列斐波那契数列的定义“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 奇妙的属性随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么6465？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。 斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2）的其他性质： 1.f(0)+f(1)+f(2)+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+f(2n-1)=f(2n) 3.f(2)+f(4)+f(6)+f(2n) =f(2n+1)-1 4.f(0)2+f(1)2+f(n)2=f(n)f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-+(-1)nf(n)=(-1)nf(n+1)-f(n)+1 6.f(m+n)=f(m-1)f(n-1)+f(m)f(n) 利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。 7.f(n)2=(-1)(n-1)+f(n-1)f(n+1) 8.f(2n-1)=f(n)2-f(n-2)2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)f(2n)+f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m) nm-1,且n1 斐波那契数列在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、 斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8翠雀花 13金盏 21紫宛 34、55、89雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。 斐波那契数列与黄金比1/1=1，2/1=2，3/2=1.5，5/3=1.6，8/5=1.6，89/55=1.61818，233/144=1.618055 相关的数学问题1.排列组合有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法 1，2，3，5，8，13所以，登上十级，有89种走法。 2.数列中相邻两项的前项比后项的极限当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？ 这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。 3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式 由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。 斐波那契数列别名斐波那契数列又因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对； 依次类推可以列出下表： 经过月数：-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12 兔子对数：-1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144 表中数字1，1，2，3，5，8构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在算盘全书中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/5）*(1+5/2)n-(1-5/2)n（n=1,2,3.） 斐波那契数列公式的推导斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、 如果设F(n)为该数列的第n项(nN+)。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n3) 显然这是一个线性递推数列。 通项公式的推导方法一：利用特征方程 线性递推数列的特征方程为： X2=X+1 解得 X1=(1+5)/2,，X2=(1-5)/2 则F(n)=C1*X1n + C2*X2n F(1)=F(2)=1 C1*X1 + C2*X2 C1*X12 + C2*X22 解得C1=1/5，C2=-1/5 F(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n（5表示根号5） 通项公式的推导方法二：普通方法 设常数r，s 使得F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2) 则r+s=1， -rs=1 n3时，有 F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2) F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3) F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4) F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1) 将以上n-2个式子相乘，得： F(n)-r*F(n-1)=s(n-2)*F(2)-r*F(1) s=1-r，F(1)=F(2)=1 上式可化简得： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) 那么： F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*F(n-2) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r3*F(n-3) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)*F(1) = s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1) （这是一个以s(n-1)为首项、以r(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和） =s(n-1)-r(n-1)*r/s/(1-r/s) =(sn - rn)/(s-r) r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+5)/2，r=(1-5)/2 则F(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n 迭代法 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n=3),求数列an的通项公式 解 :设an-a(n-1)=(a(n-1)-a(n-2) 得+=1 =-1 构造方程x²-x-1=0,解得=(1-5)/2,=(1+5)/2或=(1+5)/2,=(1-5)/2 所以 an-(1-5)/2*a(n-1)=(1+5)/2*(a(n-1)-(1-5)/2*a(n-2)=(1+5)/2(n-2)*(a2-(1-5)/2*a1)1 an-(1+5)/2*a(n-1)=(1-5)/2*(a(n-1)-(1+5)/2*a(n-2)=(1-5)/2(n-2)*(a2-(1+5)/2*a1)2 由式1,式2,可得 an=(1+5)/2(n-2)*(a2-(1-5)/2*a1)3 an=(1-5)/2(n-2)*(a2-(1+5)/2*a1)4 将式3*(1+5)/2-式4*(1-5)/2,化简得an=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n斐波那契数列的应用数学游戏 一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方 形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！ 这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？ 实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。 斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名