第8章 明渠中的恒定均匀流.doc

第8章 明渠中的恒定均匀流8.1知识要点8.1.1明渠均匀流的特点及产生的条件明渠均匀流的特点：1）过水断面的形状、尺寸及水深沿程不变，过水断面上的流速分布、断面平均流速沿程不变；2）流线为一组与渠底平行的直线，总水头线与水面线平行，水面坡度（即测压管水头线坡度）、水力坡度（即总水头线坡度）和底坡都相等，即；3）作用在水流上的重力在水流方向上的分量与渠床壁面上的摩擦阻力相等，即；4）沿程水头损失等于渠底高程的降低，即。 明渠均匀流产生的条件：1）明渠水流必须是恒定流，流量沿程保持不变；2）必须是底坡不变的正坡明渠，即；3）渠道必须是长直的棱柱体明渠，明渠表面的粗糙程度沿程不变；4）明渠中没有任何阻碍水流运动的建筑物（障碍物）。8.1.2明渠均匀流计算的基本公式在明渠均匀流中，水力坡降等于渠底纵坡，水深为正常水深，相应的过水断面面积为，水力半径为，则明渠均匀流的流量公式为 （8.1）或 （8.2）均匀流公式中的谢才系数通常用曼宁公式或巴甫洛夫公式计算。曼宁公式为 （8.3）巴甫洛夫公式为 （8.4）式中 当量粗糙度与粗糙系数n以及水力半径R0的关系为 （8.5）斯处克勒的粗糙系数和当量粗糙度的计算公式为 （8.6）粗糙系数n或当量粗糙度是影响明渠均匀流流量的主要因素，正确选择粗糙系数n或当量粗糙度是明渠均匀流计算中的一个关键问题。在初步计算时，粗糙系数n可按表8-1和表8-2选取。表8-1 各种材料明渠的粗糙系数n值明渠断面材料情况及描述表面粗糙情况较好中等较差1.土渠清洁、形状正常不通畅、并有杂草曲线略有弯曲，有杂草挖泥机挖成的土渠砂砾渠道细砾石渠道土底、石砌坡的岸渠不光滑的石底、有杂草的土坡渠0.0200.0270.0250.02750.0250.0270.0300.0300.02250.0300.0300.0300.0270.0300.0330.0350.0250.0350.0330.0330.0300.0330.0350.0402.石渠清洁的、形状正常的凿石渠粗糙的断面不规则的凿石渠光滑而均匀的石渠精细开凿的石渠0.0300.0400.0250.0330.0450.0350.020.0250.0350.0403.各种材料护面的渠道三合土（石灰、沙、煤灰）护面浆砌石护面条石砌面浆砌块石砌面干砌块石护面0.0140.0120.0130.0170.0230.0160.0150.0150.02250.0320.0170.0170.0300.0354.混凝土渠道抹灰的混凝土或钢筋混凝土护面无抹灰的混凝土或钢筋混凝土护面喷浆护面0.0110.0130.0160.0120.0140.0150.0180.0130.0170.0215.木质渠道抛光木板未抛光的板0.0120.0130.0130.0140.0140.015注：此表来自许荫椿、胡德保、薛朝阳主编的水力学（第三版）科学出版社，1990年8月.表8-2 天然河道的粗糙系数n值河道类型及情况最小值正常值最大值一、小河（洪水位的水面宽度小于30米）1.平原河流（1）清洁、顺直、无浅滩深潭（2）石块多、杂草多（3）清洁、弯曲、有浅滩深潭（4）有石块杂草（5）水深较浅，河底坡度多变、平面上回流区较多（6）同（4）但石块多（7）多杂草、有深潭、流动缓慢的河段（8）多杂草的河段、深潭多或林木滩地上的过洪2.山区河流（河滩无草树、河岸较陡、岸坡树丛过洪时淹没）（1）河底为砾石、卵石、间有孤石（2）河底为砾石和大孤石0.0250.0300.0330.0350.0400.0450.0500.0750.0300.0400.0300.0350.0400.0450.0480.0500.0700.1000.0400.0500.0320.0400.0450.0500.0550.0600.0800.1500.0500.070二、大河（洪水位的水面宽度大于30米）相应与上述小河的各种情况，由于河岸阻力相对较小，n值略小。1.断面规则整齐、无孤石或丛木2.断面不规则整齐、床面粗糙0.0250.0350.0600.100三、洪水时期滩地漫流1.草地、无树丛（1）短草（2）长草2.耕地（1）未熟庄稼（2）已熟成行庄稼（3）已熟密植庄稼3.矮树丛（1）稀疏、多杂草（2）不密、夏季情况（3）茂密、夏季情况4.树木（1）平整田地、干树无枝（2）干树多新枝（3）密林、树下植物多、洪水位在枝下（4）洪水位淹没树枝0.0250.0300.0200.0250.0300.0350.0400.0700.0300.0500.0800.1000.0300.0350.0300.0350.0400.0500.0600.1000.0400.0600.1000.1200.0350.0500.0400.0450.0500.0700.0800.1000.0500.0800.1200.160注：此表来自清华大学水利学教研组主编的水力学.高等教育出版社，1984年8月.8.1.3几种明渠断面的水力要素 矩形、梯形、圆形和U形渠道的水力要素见表8-3。表 8-3 矩形、梯形、圆形和U型渠道的水力要素断面形状水面宽度B0过水断面面积A0湿周水力半径R08.1.4渠道设计中的几个问题1.水力最佳断面 水力最佳断面是指渠道的过水断面面积、粗糙系数和渠底纵坡一定的条件下，使渠道所通过的流量最大，则水力半径必须最大，也就是湿周最小。1）梯形断面梯形断面水力最佳断面的宽深比为 (8.7)最佳水力半径为 (8.8)最佳水深公式为 (8.9)最佳边坡系数 （8.10） 2）矩形断面对于矩形断面，则 （8.11）由此得矩形渠道水力最佳断面的底宽是水深的2倍，即。3.）U形断面4U形渠道的断面见图8-1，设渠道的半径为，圆心半角为，外倾角为，渠道的底坡为，正常水深为，粗糙系数为。当渠中水深时，水面处于梯形或矩形图8-1（）断面内，这时为一常数，过水断面面积、湿周用下式计算 （8.12） （8.13）水力最佳断面为 （8.14）2.允许流速为使渠道在正常运用过程中不发生冲淤现象，就需对渠道平均流速的上限和下限值作出规定，这种保证渠道正常工作的限制流速称为允许流速。允许流速的上限，要保证渠槽不遭受冲刷，称为不冲流速。不冲流速主要与渠床材料性质、水力半径大小等因素有关。不同土壤和砌护条件下，渠道的最大允许不冲流速见表8-4、8-5和8-6。在渠道设计中，渠道的平均流速应小于不冲流速，即 （8.15）对黄土地区，浑水渠道的不冲流速可以按陕西省水利科学研究所的经验公式计算 （8.16）式中，为系数。对于粉质土壤，；对于沙壤土，。表8-4均质粘性土壤渠道（水力半径R=1m）最大允许不冲流速值土壤种类干容重（N/m3）(m/s)轻壤土中壤土重壤土粘 土12740166601274016660127401666012740166600.60.80.650.850.701.00.750.95表8-5均质无粘性土壤渠道（水力半径R=1m）最大允许不冲流速值土壤种类粒径（mm）(m/s)极细沙细沙和中沙粗 沙细砾石中砾石粗砾石小卵石中卵石0.050.100.250.500.502.002.005.005.0010.0010.0020.0020.0040.0040.0060.000.350.450.450.600.600.750.750.900.901.101.101.301.301.801.802.20表8-6岩石和人工护面渠道最大允许不冲流速值岩石或护面种类流量（m3/s）10（m/s）（m/s）（m/s）软质水成岩（泥灰岩、页岩、软砾岩）中等硬质水成岩（多孔石灰岩、层状石灰岩、白云石灰岩等）硬质水成岩（白云沙岩、沙质石灰岩）结晶岩、火成岩单层块石铺砌双层块石铺砌混凝土护面（水流中不含沙和卵石）2.53.55.08.02.53.56.03.04.256.09.03.54.58.03.55.07.010.04.05.010.0注：表8-4、8-5、8-6来自许荫椿、胡德保、薛朝阳主编的水力学（第三版）科学出版社，1990年8月. 说明：当渠道水力半径R1m时，表8-4、8-5、8-6中的值应乘以，对于沙、砾石、卵石以及疏松的沙壤土、粘土，对中等密实的沙壤土，壤土、粘土，。允许流速的下限，要保证含沙水流的挾沙不致在渠道中淤积，称为不淤流速。渠道中的允许流速应大于不淤流速。不淤流速的确定有以下几种方法：（1）如果渠道水流不含泥沙或含的泥沙量很低，只是为避免渠道中滋生杂草而降低过水能力，一般对于大型渠道应大于0.5m/s；对于小型渠道应大于0.3m/s.（2）如果渠道水流含有一定的泥沙，应使渠道设计流速不小于能挟带来流含沙量的流速，可用下面的经验公式计算 （8.17）式中，为根据渠道水流中泥沙性质而定的一个系数，其值可查表8-7。（3）对于北方寒冷地区，为防止冬季渠水结冰，流速应保证大于0.6m/s。表8-7系数C值泥沙性质C粗颗粒泥沙中颗粒泥沙细颗粒泥沙很细颗粒泥沙0.650.770.580.640.410.450.370.41 注：表8-7来自许荫椿、胡德保、薛朝阳主编的水力学（第三版）科学出版社，1990年8月.3.复式断面明渠均匀流的水力计算深挖高填的大型渠道，如果水深变化较大，常采用复式断面，如图8-3所示。由图中可以看出，当流量较小时，水流集中在较深的部分，称为深槽；当流量较大时，水流溢出深槽而漫及渠堤，一部分水流从滩地上流过。对复式断面明渠进行水力计算时，可以将复式断面分成几个单式断面，如图8-3中的（1）、（2）、（3）。各个单式断面都有各自的过水断面面积、湿周、水力半径和粗糙系数，但对各单式断面来说，底坡是相同的。各个单式断面的流量可用下式计算 图8-3 （8.18）由叠加原理得 （8.19）在计算湿周长度时注意不要把垂直分界线考虑在内。4.断面周界上粗糙系数不同的水力计算有时渠底和壁面材料或土质不同，因而断面周界上各段的粗糙系数n不同。在此情况下，可以采用综合粗糙系数或等效粗糙系数来进行水力计算。综合粗糙系数有不同的计算方法。1）巴甫洛夫综合粗糙系数公式 （8.20）2）别洛康和爱因斯坦公式 （8.21）3）加权平均法公式 （8.22）8.2习题解析8.1试从理论上证明，明渠恒定均匀流的基本公式可采用。38解：明渠均匀流是指运动要素沿程不变的流动，所以明渠均匀流动的水面坡度、水力坡度和底坡相等，即 明渠均匀流既然是一种等速直线运动，没有加速度，则作用在水体上沿流动方向的力必然是平衡的，如图所示。取出断面1-1和2-2之间的水体进行分析，作用在水体上的力有重力、阻力，两端断面上的水压力和，沿流动方向写力的平衡方程得 习题8.1图 对于均匀流动，过水断面面积、水深、断面平均流速沿程不变，故，因为没有加速度，上式可写成重力，阻力为，代入上式得 由上式得 因为均匀流的，令，代入上式得 8.2导出矩形明渠均匀流正常水深与流量的关系式。已知矩形渠道的宽度，粗糙系数，流量，求底坡解： 设矩形渠道的宽度为，正常水深为习题8.2图，底坡为，粗糙系数为。过水断面面积为，湿周为，水力半径为，谢才系数为，则流量为 （1）上式即为矩形断面均匀流流量的计算公式，由上式可得正常水深的迭代公式为 （2） （3）8.3已知矩形渠道底宽，粗糙系数，流量，底坡，试用流速分布的对数律求渠道的正常水深。解： 流速分布的对数律表示的流量公式为 （1）式中，代入式（1）得 （2）由上式得正常水深的迭代式为 （3）将，i=1/800，代入上式得。8.4试用水力最佳断面推求矩形断面的宽度与正常水深的关系。已知矩形渠道的底坡，通过的流量，粗糙系数，试用水力最佳断面设计渠道的宽度和高度（要求超高0.4m）。解：（1）求矩形断面的水力最佳断面矩形断面的面积为 （1）湿周为 （2）对式（1）和式（2）求导得 （3） （4）由式（4）得，代入式（3）得 （5）（2）用水力最佳断面设计渠道的宽度和高度矩形断面渠道的流量公式为 由上式得 将式（5）代入上式得 解得m，m，渠高为m。8.5有一钢筋混凝土渠道，通过的流量，渠道底坡，粗糙系数，宽深比，求均匀流的水深及渠底宽度。解：因为，代入上式整理得依题意，代入上式得解得，8.6有两条矩形断面渡槽，如图所示。其过水断面面积均为，粗糙系数，渠道底坡，问这两条渡槽中水流作为均匀流时，其通过的流量是否相等？如不等，流量各为多少？习题8.6图解：已知，则，由于，所以流量。其流量各为 由此题可以看出，虽然渠道的过水断面面积相同，粗糙系数相同，底坡相同，但由于水力半径不同，其流量也是不同的。8.7试导出梯形断面明渠均匀流的流量公式和正常水深的迭代式。解：由梯形断面的几何形状得 习题8.7图 将、代入上式得 写成迭代式得 8.8有一干渠通过的流量，渠道底坡，粗糙系数，边坡系数，已知渠道正常水深m，求干渠的底宽b。解：由上式解得解得m。8.9有一坚实粘土的梯形渠道，已知底宽m，正常水深m，粗糙系数，渠道底坡，通过的流量，试求渠道的边坡系数。解：由上式解出由上式迭代求出。8.10有一梯形断面渠道，已知底宽m，边坡系数，粗糙系数，渠道底坡，通过的流量，试求渠道中的正常水深。解：由题8.7得将已知数据代入得 由上式迭代求得m。8.11一梯形土渠，按均匀流设计。已知正常水深m，底宽m，边坡系数，粗糙系数，底坡。试用谢才公式和流速分布的对数律公式求渠道的流速和流量。解：m按谢才公式求流速和流量 按对数律公式求流速和流量8.12梯形渠道的流量，底坡，边坡系数，粗糙系数，渠道的宽深比，求正常水深和底宽。解：由题8.7得解得m。m。8.13某干渠断面为梯形，底宽m，边坡系数，底坡，粗糙系数，计算水深为2.15m时输送的平均流速及流量。如底坡不变，粗糙系数变为，流量有什么变化？如粗糙系数不变，底坡变为，流量又有什么变化？解：（1）计算流量和平均流速m （2）底坡不变，粗糙系数变为 （3）粗糙系数不变，底坡变为 由以上计算可以看出，如底坡不变，粗糙系数增大，流量减小；如粗糙系数不变，底坡增大（变陡），流量增大。如本题的流量增大为，可见正确地选择粗糙系数是至关重要的。8.14有一梯形断面渠道，流动为均匀流。今欲测定该渠道的粗糙系数，在站号1+780.00处测得水面高程为，在3+10.00处为，渠底宽度m，边坡系数，正常水深m，流量，试求粗糙系数n。解：桩号1+780.00至桩号3+10.00的距离为 L=220+1000+10=1230m水面差为 。水力坡降为 m 由上式求得。8.15实测某小河的一段河道，二测站控制的河段长度，当在二测站通过的流量时，由水文站测得水位分别为，过水断面面积分别为，湿周分别为，试求该河段的粗糙系数。解：该河段的平均面积、平均湿周和平均水力半径分别为 8.16做洪水调查时，在一清洁平直的河段上，发现一次洪水两处的洪痕相距为2000m，分别测的洪痕高程、，过水断面面积分别为、，湿周分别为、，试求洪水的洪峰流量。解： 对于清洁、顺直的河道，粗糙系数查表8-2得，则这次洪水的最大流量为 8.17试导出梯形渠道水力最佳断面宽深比的关系，并证明其水力最佳断面的水力半径。解：梯形断面的面积和湿周为 （1） （2）根据水力最佳断面的条件 由以上二式消去，得 （3）上式即为梯形断面的水力最佳断面宽深比的关系式。将式（3）代入式（1）和式（2）分别得 （4）8.18有一梯形断面明渠，已知渠中通过的流量，边坡系数，底坡，粗糙系数，试按水力最佳断面设计明渠（要求超高0.5m）。解：由上题已得梯形渠道的水力最佳断面的宽深比为水力半径为。由上式得，渠高为8.19一梯形断面渠道，边坡系数，粗糙系数，通过的流量，水流为均匀流。由于航运要求，取正常水深，为防止渠道淤积，取平均流速，试求渠底宽度b和比降。解： 解得。8.20有一梯形断面渠道，底坡，边坡系数，粗糙系数，过水断面面积，求水力最佳断面及相应的最大流量。如改为矩形断面，仍欲维持原流量，且其粗糙系数和底坡均不变，问其最佳尺寸如何。解：对于梯形断面，水力最佳断面的宽深比为mmm对于矩形断面，则 解得,8.21使用拉格朗日法证明梯形渠道水力最佳断面的边坡系数是最佳边坡系数。证：梯形明渠的过水断面面积和流量可以分别表示为 （1） （2） （3）（4）对于梯形断面，其水力最佳断面为 （5）将式（5）代入式（1）和式（4）得 （6） （7） 欲求函数在条件=0下的可能极值点，按照拉格朗日乘数法则，可用一常数乘以而与相加得函数 （8）分别求函数对、的一阶偏导数，并使之为零，然后与式（6）、（7）联立得 （9） （10） （11）式中， （12）将式（12）代入式（7）、（8）得 （13） （14）将式（13）、（14）和式（7）写在一起整理得 （15） （16） （17）由式（15）得，即，解之得 （18）8.22某梯形渠道，要求通过的流量，粗糙系数，底坡，边坡系数，按水力最佳断面设计渠道断面尺寸。如果改用，求流量不变时渠道的过水断面面积与原设计渠道过水断面面积之比。解：由上式解出，则渠底宽度和过水断面面积为如果改用边坡系数，则由上式解出，则渠底宽度和过水断面面积为 改用后，过水断面面积为原设计的渠道面积的。8.23试证明，当梯形断面的边坡一定时，时的梯形渠道是水力最佳断面。证：习题8.23图梯形断面的面积和湿周为 （1） （2）由式（1）得 （3） 将式（3）代入式（2）得 （4）根据水力最佳断面的定义，当过水断面面积为常数，湿周最小时，通过的流量最大，则有 （5）将式（1）代入上式得 （6）因为，代入上式得 （7）8.24试证明，梯形渠道断面的两侧壁边坡未被指定时，水力最佳断面是正六边形的下半部分。证：已知梯形渠道水力最佳断面的宽深比为 （1） 习题8.24图过水断面面积为 （2） 将式（1）代入式（2）得 （3） 湿周为 （4）将式（1）代入得 （5）由式（3）得 （6）将式（6）代入式（5）得 （7）对上式求导得 （8）解得，则。由上题已得，对于正六边形，所以。由图中的几何关系得，所以。由此证的水力最佳断面是正六边形的下半部分。8.25求边坡系数分别为和的不对称梯形断面的水力最佳断面的条件。解：不对称梯形断面的过水断面面积为 习题8.25图 （1） 湿周为 （2）对式（1）和式（2）求导得 （3） （4）由式（4）得 （5）将上式代入式（3）得 （6）上式即为不对称梯形断面的水力最佳断面的条件。8.26试导出三角形渠道均匀流的水力计算公式。已知底坡，边坡系数，粗糙系数，正常水深，试求三角形渠道通过的流量。 习题8.26图解：设三角形断面如图所示。两边坡的夹角为，边坡系数为，底坡为，粗糙系数为，则 （1） （2） （3） （4） 流量为 （5）由上式可解出为 （6）如果用流速分布的对数率，则 （7）将式（3）代入得 （8）求三角形断面通过的流量。将，代入式（5）得如果用对数率公式，则由式（3）得 由式（7）得8.27试证明三角形渠道的水力最佳断面的边坡系数。证明： （1） （2）由式（1）得 （3） 将式（3）代入式（2）得 （4）为了求使湿周最小的值，对上式求导并令其等于零，则 由上式解得，因为边坡系数不能取负值，所以，证毕。8.28已知三角形渠道，边坡系数，底坡，粗糙系数，设计流量，求渠道的正常水深和过水断面面积；如果取边坡系数，求渠道的正常水深和过水断面面积。解：由上题的公式（6）得 取边坡系数，则由计算可以看出，当底坡、粗糙系数、流量相同时，用水力最佳断面计算的面积小，本习题用两种算法求得的面积相差了8.74%。8.29如图所示圆形断面，设圆的半径为r，水深所对应的圆心角为，渠道中的水深为，底坡为，粗糙系数为，试导出流量的计算公式。解：由图中的几何关系可得习题8.29图 （1） （2） （3） （4） （5） （6）水面宽度为 （7） 8.30一无压引水隧洞直径，通过的流量，粗糙系数，底坡，求渠道的正常水深解：由上题的流量计算公式将代入上式得 解上式得。 水面宽度为 8.31试绘制圆管的水力特性曲线。并根据绘制的曲线计算习题8.30的流量。解：圆管的水力特性曲线是为了简化计算而绘制的查图曲线。其绘制方法为：设圆管的直径为d，渠道的底坡为，粗糙系数为，先计算出满管时的流量、流速、水力半径、断面面积，再求出各不同水深时的流量、流速、水力半径、断面面积，做出、关系曲线，供计算时查算。由上题已知 （1） （2）相对湿周为 （3）相对面积为 （4） 相对水力半径为 （5）相对流速为 （6）相对流量为 （7）计算时，假设不同的，由式（2）求出，然后由式（3）、（4）、（5）、（6）、（7）计算、，计算结果如下表所示，绘制与上述参数的关系见下图所。圆形断面水力特性计算表（）（rad）0.10.20.30.40.50.60.70.80.90.9573.740106.260132.844156.926180.000203.074227.156253.740286.260308.3161.2871.8552.3192.7393.1423.5443.9654.4294.9965.3810.2050.2950.3690.4360.5000.5640.6310.7050.7950.8560.0520.1420.2520.3740.5000.6260.7480.8580.9480.9810.2540.4820.6840.8571.0001.1111.1851.2171.1921.146.0.4010.6150.7760.9021.0001.0721.1201.1401.1241.0950.0210.0870.1960.3370.5000.6710.8380.9781.0661.074 习题8.31计算图对于习题8.30，也可以用上面的计算图进行计算。首先计算满管流动时的流量。 在图中的横坐标找出0.865，作垂直于横坐标的直线交曲线，在此曲线上作平行于横坐标的直线交于纵坐标轴，求得，则。8.32混凝土圆管直径，粗糙系数，底坡，求水深、和时的流量。解：圆形管道的流量计算公式为将、代入上式分别得、180、240，将此角度代入流量公式分别得：当时，。8.33有一条混凝土下水管道，已知直径，粗糙系数，底坡，试求：（1）满管时的流速及流量；（2）充满度时的流速及流量；（3）充满度时，欲使管中通过的流量，选择管径。解：（1）求满管时的流速及流量 （2）求充满度时的流速及流量 （3）当时，欲使管中通过的流量，求管径 解得，管径为。8.34在直径的圆形混凝土下水道中，为了使通过雨水的水深为0.85d，下水道中的底坡应为多少？取粗糙系数。解： 8.35试证明圆形断面的流速和流量在某一小于直径（即不满流时）的水深处达到最大值。证明：已知曼宁公式的流速表达式为 （1） （2）将式（2）代入式（1）得 （3）上式中，当、一定时，v只是的函数。对上式求导并令其等于零，即可得时的角满足的条件由上式解出 （4）由上式解出（或4.49335rad）。即。对于流量，可类似证明如下：已知流量公式为 对上式求导得 整理上式得 由上式解得，相应的水深为即。8.36某灌区大力推广U形渠道，其断面形式如图所示。试推导U形渠道明渠均匀流的计算公式。解：设U形渠道的断面形式如图所示，渠道的半径为，圆心半角为，粗糙系数为，底坡为，水深为。由图中可以看出，当水深时，水面处于圆弧内，这时渠道的过水断面面积、湿周和水力半径为 习题8.36图 式中，圆形半角和水深的关系为当时，水面处于梯形或矩形断面内，这时为一常数，渠道的过水断面面积、湿周和水力半径为 当时，即水面处于矩形断面内，则8.37钢筋混凝土薄壳渡槽断面为U形，底部为半圆，直径，上面接铅直侧墙，高为0.65m（包括超高0.35 m），如图所示。渡槽的粗糙系数，通过的流量，求渡槽的底坡。解：习题8.37图渡槽中的水深为 m2mm由上式解得。8.38某U形渠道，已知底坡，粗糙系数，圆形半角，半径，正常水深，求U形渠道通过的流量。解：，水流处于梯形断面内。如果用流速分布的对数律，则8.39某灌区用U形渠道灌溉农田，已知渠道的半径，底坡，粗糙系数，圆形半角，通过的流量，试求渠道的正常水深。解：因为渠道的正常水深未知，先假定渠道水深，即计算的流量小于设计流量，说明渠中水深。这时将、代入上式整理得设几个不同的，代入上式试算如下：设，作关系曲线如图所示。由图中可以看出，当时，。将代入流量公式验证得。所以正常水深。流量与水深关系8.40求U形渠道水力最佳断面的条件。解：对于U形渠道，当时，水流处于圆弧内，圆形断面本身就是水力最佳断面。现在讨论当水深时，水面处于梯形或矩形（）断面内，这时为一常数，过水断面面积、湿周用下式计算 （1） （2）对以上二式求导数得 由以上二式解出，并令其相等得 （3）上式即为U形渠道水力最佳断面水深与半径的比值关系，此比值仅是圆心半倾角的函数。由上式可以看出，当时，即半圆是水力最佳断面。由式中还可以看出，随着的减小，增大，这时虽然湿周有所增加，但这对渠道稳定是必要的。U形渠道的圆心半角一般在7090之间，陕西省的U形渠道圆心半角大多数为76，设计时可供参考。8.41某U形渠道，已知渠道的半径，底坡，粗糙系数，设计流量，要求按水力最佳断面设计渠道，试求圆心半角和渠道的正常水深。解：已知U形渠道的水力最佳断面的条件为 （1）由习题8.36已知流量的计算公式为 （2）将式（1）代入式（2）得 （3）或写成 （4）将、代入上式得 （5）用试算法，设、代入上式分别求得等式左面为52.683、6.231、3.052、2.474、2.095。作与求得值的关系如图所示，由图中可得。渠道中水深为8.42某U形渠道，已知设计流量，