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裂项拆分证明数列不等式福建省晋江市侨声中学张润泽 邮编362271对于与前项和相关的数列不等式，我们往往采用对通项公式进行放缩的方法证明，但放缩时的尺度把握是比较困难的，有时放得过大，有时又缩得太小，这就需要我们不断对目标式进行研究再进行相应的调整放缩尺度，因此，这种题目常让我们绞尽脑汁，本文介绍一种从求证的目标式出发，先通过裂项拆分将前项问题转化为通项问题，再用分析法寻找解题思路，下面略举数例进行说明。例1 等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求的值；（2）当时，记（），证明：对任意，成立。(2009年山东卷)解：（1）由已知可求得（2）时，所求证不等式可化为（*）分析1 裂项拆分法 因为（*）左边是个式子的积，因此将右边拆分为 要证原不等式成立，只需证明 即证，亦即（*） 显然（*）式成立，故原不等式成立。分析2 利用单调性设，原不等式可转化为求最小值问题通过数列单调性寻找值最小的项 因为 所以又，所以即数列是一个递增数列，故分析3 构造对偶式 设 因为所以即，故例2 求证：证明：先对进行裂项拆分，得于是要证明原不等式，只需证（*）设函数则所以在为减函数，即故当时，有，即成立设函数则所以在为增函数，即故当时，有，即成立所以（*）式成立，故原不等式成立。注 本题先裂项拆分，将中间不等式转化为项，则原不等式的证明转化为（*）式的证明，再构造函数证明。对于常数又如何裂项拆分呢？请看下面式子：当时，若则若则如将3近似拆分为首项，公比都是的等比数列的前项和，则，得下面通过几个例题说明其应用：例3、已知数列满足，求证：分析 如要将近似拆分为首项，公比都是的等比数列的前项和，则，得欲求证原不等式，只需证即证 显然成立。综上，知原不等式成立。例4 已知满足，数列满足， 是数列的前项和，求证：分析 如要将3近似拆分为首项，公比都是的等比数列的前项和，则，得欲证，只需证所以又当， 当时，成立综上，知，恒成立故成立例5 已知函数，常数，数列满足满足，（1）求数列的通项公式； （2）求证：分析 （1）时，即数列是以为首项，为公比的等比数列，故，解得 （2）原不等式可化为如要把近似拆分为以为底的项，则，得欲证原不等
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