高考中的排列组合总结.doc

排列组合常用解题方法姓名：*学号：*班级：*摘要：排列组合是中学数学教学中的难点,它因其内容抽象,解题方法独特且灵活多变,使学生学起来困难,教师教起来也困难。针对学生对排列组合问题难理解、难解答这一问题 ,这些方法解决较复杂的排列组合问题也许还不够全面,但对解决常见的排列组合问题使用起来比较方便,希望能够给读者一些参考和借鉴。关键词：排列组合，解题方法，加法原理，乘法原理。一、“捆绑”法当遇到有元素必须相邻的条件时,可适用此法例: 将4个学生和2个教师排成一排,若要两个教师必须相邻,则有多少种排法?解: 因为两个教师必须排在一起,因此可把两人看作一个元素,将四个学生看作四个元素,共有五个元素作全排列。然后把两个教师对换位置,共有PP种排法。二、“插位”法当遇到有元素不相邻问题时,可适用此法例: A、B、C、D、E,5个字母排成一排,如果A、B不相邻,则不同的排列方法有多少种?解: 可先将C、D、E,3个字母进行排列,有P种排法,然后在3个字母的两个空位及两端的两个位置中选取2个位置给A、B(有次序),也即A、B插在这4个位置中的2个,有P种“插法”,故A、B不相邻的排法共有PP=72种。三、“化归”法即将抽象变为具体,将陌生变为熟悉例: 空间有20个点,任取其中4个点,问最多可以构成几对异面直线?解: 一个四面体确定了3对异面直线,这样问题就自然转化变更为在20个点中任4个点,最多可构成几个不同四面体的简单具体问题,这时最多能构成C个四面体。故最多共可构成3 C对异面直线。四、“数形结合”法即借助于图形,展开思维,用此种方法例: 一条直线和圆相离,这条直线上有六个点。圆上有四个点,通过其中任意二点作直线,问最少可作几条直线?解:B1，B2，B3，B4四点共圆,四点中无三点共线,当过B1，B2，B3，B4中任意二点的直线,正好分别过A1，A2，A3，A4，A5，A6中的某一点,则直线条数最少。故共有CC+C+1-2 C=19条。五、“间接”法即正面解题困难(或繁琐)则从问题的反面来解答例: 现有5双不同尺码的鞋子各两只(一左、一右),今任取其中5只鞋子,至少有两只配成一双的取法有几种?这一问题正面解决显然困难很大,然而教师若能引导学生先看问题的反面,即研究“5只鞋子中无两只配成一双的取法有几种?”问题就容易的多了,这时则有CCCCC=32种不同的取法,而全部的取法共有C。故至少有两只配成一双的取法共有C-32=220种。六、“分类讨论”法此种方法的解题实质是加法原理的灵活运用例: 用数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字,并且比13000大的自然数?解: 3P+3P=P-P=114共有114个七、“概率相等”法当元素出现的机会相等时适用此法例: A、B、C、D、E,5个字母排成一排,要求A排在B的左边,则不同的排列方法有多少种?解:“A排在B的左边”,与“B排在A的左边”是等可能的,概率相等,所以两种排列数应均匀分配。故A排在B的左边的不同排列方法有:P=60种。八、“主元分析”法即在众多元素(或变量)中,确定某一适当的元素(或变量)作为主元素(或变量)来研究问题的方法。例: 现在有3封不同的信,要投入4个不同的信箱,问共有几种不同的投信方法?解法1: 选择“信箱”为主要元素进行分析:若3封信都投入一个信箱,则有C种投法;若3封信中有2封信投入一个信箱,另一封信投入另一个信箱时,则有CP种投法,若3封信分别投入三个信箱时,则有CP种投法。依加法原理有,CC+CP+CP=64种投法。解法2: 选择“信”为主要元素进行分析:第一封信投寄的方法有4种,第二封信,第三封信也是如此,依乘法原理,共有444=64种不同的投信方法。九、“多排问题一排”法即将元素排为排成多排的问题可先按一排考虑,排列完再进行分段处理例:将8个人排成前后两排,每排4人。其中甲、乙必须在前排,丙必须在后排,问共有多少种不同排法?解: PPP=5760种。十、“枚举归纳”法即针对命题先找出一个例子分析清楚,再将一个问题推广到全部,即“举一反三”例:8名男同学进行乒乓球双打比赛,有几种配组方法?解: 任选4名男生有C42=3(种)方法,则8名男生进行乒乓球双打比赛共有C C=3C种方法。以上所讲的十种方法,都是“加法原理”、“乘法原理”、“排列”、“组合”在解题中的应用。在解排列组合问题时,我们要注意命题中所给的条件,针对不同的问题可采用相应的解题方法。但数学问题也讲究具体问题具体分析。重视知识的运用并不是忽视书本知识的掌握,反而加深了对书本知识的理解于掌握。排列组合问题中的许多题都是和现实生活密切相关的,我们在上面的例子中也能看到这一点。不但要理解和掌握书本知识的结论,还要掌握结论的推导过程,更要理解和掌握所学的数学知识与那些社会生产生活实践相联系,以便更好的学以致用。参考文献：1. 中学数学教材法分论M.北京：高等教育出版社，1990.2. 王兴旺.高考完全解读数学M北京：中国青年出版社，2002:1143.