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第一章第一章习题解答习题解答 1 在下列各对数中 在下列各对数中 X 是精确值是精确值 的近似值 的近似值 1 1 x 3 1 x 3 1 2 2 1 7 1 7 x 0 143x 0 143 3 3 1000 1000 x 0 0031 x 0 0031 4 4 100 7 100 7 x 14 3x 14 3 试估计试估计 x x 的绝对误差和相对误差 的绝对误差和相对误差 解 解 1 1 e e 3 13 1 0 04160 0416 r r e e x x 0 01430 0143 2 2 e e 0 1430 143 1 71 7 0 0143 0 0143 r r e e x x 0 10 1 3 3 e e 0 00310 0031 10 100000 0 0279 0 0279 r r e e x x 0 90 9 4 e 4 e 14 314 3 100 7100 7 0 0143 0 0143 r r e e x x 0 0010 001 2 已知四个数 已知四个数 x x1 1 26 3 26 3 x x2 2 0 0250 0 0250 x x3 3 134 25134 25 x x4 4 0 001 0 001 试估计各近似数的有效位 试估计各近似数的有效位 数和误差限 并估计运算 数和误差限 并估计运算 1 1 x x1 1 x x2 2 x x3 3和 和 1 1 x x3 3 x x4 4 x x1 1的相对误差限 的相对误差限 解 解 x x1 1 26 3 26 3 3 3 x x1 1 0 05 0 05 r rx x1 1 x x1 1 x x1 1 0 19011 0 19011 1010 2 2 x x 2 2 0 0250 0 0250 3 3 x x2 2 0 00005 0 00005 r rx x2 2 x x2 2 x x2 2 0 2 0 2 1010 2 2 x x3 3 134 25 134 25 5 5 x x3 3 0 005 0 005 r rx x3 3 x x3 3 x x3 3 0 372 0 372 1010 4 4 x x4 4 0 001 0 001 1 1 x x4 4 0 0005 0 0005 r rx x4 4 x x4 4 x x4 4 0 5 0 5 由公式 由公式 e er r e e 1 1 n n i 1i 1 f f x xi i x xi i e er r 1 1 1 1 1 1 x x2 2 x x 3 3 x x1 1 x x1 1 x x 3 3 x x2 2 x x1 1 x x 2 2 x x3 3 0 34468 88 269275 0 34468 88 269275 0 0039049 0 0039049 e er r 2 2 1 1 2 2 x x3 3 x x 4 4 x x 2 2 1 1 x x1 1 x x 4 4 x x1 1 x x3 3 x x3 3 x x 1 1 x x4 4 0 49707 0 49707 3 设精确数设精确数 0 0 x x 是 的近似值 是 的近似值 x x 的相对误差限是的相对误差限是 0 20 2 求 求 x x 的相对误差限 的相对误差限 解 解 r r n n i 1i 1 f f x xi i x xi i 1 1 x x 1 x1 x x x r rx x x 0 2 x 0 2 x x 即 即 r r 0 2 0 2 x x 4 长方体的长宽高分别为长方体的长宽高分别为 50cm50cm 20cm20cm 和和 10cm10cm 试求测量误差满足什么条件时其表面积的 试求测量误差满足什么条件时其表面积的 误差不超过误差不超过 1cm1cm 2 2 解 解 S 2S 2 xy yz zxxy yz zx r rS S x y x y z y z z y z x z x x z x y y xy yz zxxy yz zx x x y y z z r rz z x y z x y z x x xy yz zxxy yz zx 1 1 x 17 6x 17 6 1 06251 0625 5 432 10 0 200 10 0 0500 10 0 00500 10 0 00100p xxxxx 已知 已知 10 11 3 pCond f x用秦九韶法计算计算用 位有效数字 并求此问题的条件数用秦九韶法计算计算用 位有效数字 并求此问题的条件数 2 10 10 10 10 0 200 0 0500 0 0500 0 00100 10 11 0 11 0 11 0 11 0 110 200 0 0500 0 0500 0 00100 0 00146760 147 10 10 11 10 11 10 11 p xxxxx p xfx Condf x f x p Condp 解 故 解 故 0 6291 10 11 p 6 6 改变下列表达式 使计算结果更准确 改变下列表达式 使计算结果更准确 1 1 1 1xxx 2 2 11 1 121 x x xx 3 3 1cos 0 1 x xx x 4 4 11 1xxx xx 解 1 1 1 1 1 xx xx 2 2 2 112 121 12 1 xx xxxx 3 3 2 1cos sin 1cos xx xxx 4 4 22 112 11 xx xx xxx 7 7 计算 计算 6 21 的近似值 取的近似值 取21 414 利用以下四种计算格式 试问哪一种算法误差 利用以下四种计算格式 试问哪一种算法误差 最小 最小 1 1 6 1 21 2 2 3 32 2 3 3 3 1 32 2 4 4 9970 2 解 计算各项的条件数解 计算各项的条件数 xfx cond f x f x 111 4146 1 20 4804 1 x fxcond fx x 3 221 414 32 49 3256 x fxxcond fx 331 4143 1 49 4448 32 x fxcond fx x 441 414 9970 4949 x fxx cond fx 由计算知 第一种算法误差最小 由计算知 第一种算法误差最小 1 1 8 n n 考虑无穷级数它是微积分中的发散级数 在计算机上计算该级数的部分和 会得 到怎样的结果 为什么 考虑无穷级数它是微积分中的发散级数 在计算机上计算该级数的部分和 会得 到怎样的结果 为什么 解 在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数 因为随着解 在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数 因为随着n的增大 会出现大数吃的增大 会出现大数吃 小数的现象 小数的现象 9 通过分析浮点数集合通过分析浮点数集合 F 10 3 2 2 在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情 在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情 况 况 解 浮点数集合解 浮点数集合 F 10 3 2 2 在数轴上离原点越近 分布越稠密 离原点越远 在数轴上离原点越近 分布越稠密 离原点越远 分布越稀疏 一般浮点数集的分布也符合此规律 分布越稀疏 一般浮点数集的分布也符合此规律 10 试导出计算积分 试导出计算积分 1 0 1 2 3 4 14 n n x Idxn x 的递推计算公式的递推计算公式 1 1 1 4 nn II n 用此递 用此递 推公式计算积分的近似值并分析计算误差 计算取三位有效数字 推公式计算积分的近似值并分析计算误差 计算取三位有效数字 解 解 1111 111 1 0000 141 14414414 nnnnn n n xxxxx Idxdxxdxdx
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