1993考研数学全试题及答案.pdf

郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 1 页 1993 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学 试卷一 学 试卷一 一 填空题 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 函数 0 1 2 1 xdt t xF x 的单调减少区间为 1 0 4 答 1 0 4 也对 2 由曲线 22 3212 0 xy z 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点 0 2 3 处的指向外侧 的单位法向量为 1 0 2 3 5 3 设函数 2 f xxx x的傅里叶级数展开式为 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 则其中系数 3 b的值为 3 2 4 设数量场 222 lnuxyz 则 div gradu 222 1 xyz 5 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零 且 A 的秩为 n 1 则线性方程组 AX 0 的通解为 1 1 1 T k 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 设 sin 234 0 sin x f xt dt g xxx 则当 x 0 时 f x是 g x的 B A 等价无穷小 B 同阶但非等价无穷小 C 高阶无穷小 D 低阶无穷小 2 双纽线 22222 yxyx 所围成的区域面积可用定积分表示为 A A 2 4 0 2cos d B 4 4 0 2cos d C 2 d 4 0 2cos D 2 1 4 0 2 2cos d 3 设直线 1 8 2 5 1 1 1 zyx l与 32 6 2 zy yx l 则 1 l与 2 l的夹角为 C A 6 B 4 C 3 D 2 4 设曲线积分ydyxfydxexf x L cos sin 与路径无关 其中 f x具有一阶连续 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 2 页 导数 且 0 0f 则 f x等于 B A 2 xx ee B 2 xx ee C 1 2 xx ee D 2 1 xx ee 5 已知 Q 963 42 321 t P 为三阶非零矩阵 且满足 PQ 0 则 C A 6t 时 P 的秩必为 1 B 6t 时 P 的秩必为 2 C 6t 时 P 的秩必为 1 D 6t 时 P 的秩必为 2 三 三 本题共本题共 3 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 15 分分 1 求 21 lim sincos x x xx 解 解 因 0 21ln sin2cos lim ln sincos lim xt tt x xxt 2 分 0 2cos2sin lim2 sin2cos t tt tt 4 分 所以原式 2 e 5 分 2 求 dx e xe x x 1 解 解 令 1 x ue 则 2 2 2 ln 1 1 u xudxdu u 从而 22 2 1 ln 1 2 1 1 x x xeuuu dxdu uu e 2 分 2 2 ln 1 u du 2 22 2 4 2 ln 1 2 ln 1 44 1 u uuduuuuarctguC u 4 分 214141 xxx x eearctg eC 5 分 3 求微分方程 22 yxyyx 满足初始条件1 1 x y的特解 解一解一 2 2 yxy y x 令yxu 有 22 2xuuuu xuuu 2 分 分离变量得 2 2 dudx uux 积分得 1 1 ln 2 ln ln 2 uuxC 即 2 2u Cx u 亦即 2 2yx Cx y 4 分 由 1 1 x y 得1C 故所求特解为 2 2yx x y 即 2 2 1 x y x 5 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 3 页 解二解二 2 2 22 111 1 1 xx yzx zxzzz yyyxx 令有 2 分 解得 3 11 2 zxdxCCx xx 4 分 即 2 2 1 2 x y Cx 由 1 1 x y 得 1 2 C 故所求特解为 2 2 1 x y x 5 分 四 四 本题满分本题满分 6 分分 计算 dxdyzyzdzdxxzdydz 2 2 其中 是由曲面 22 yxz 与 22 2yxz 所围立体的表面外侧 解 解 2 2 2 2 PQRPQR Pxz Qyz Rzzzzz xyzxyz 因故 根据奥 高公式 2 2xzdydzyzdzdxz dxdyzdxdydz 2 分 22 3 4 000 sincosddr dr 5 分 2 6 分 五 五 本题满分本题满分 6 分分 求级数 0 2 2 11 n n n nn 的和 解 解 2 000 1 1 11 1 222 n nn n nnn nn n n 1 分 其中 1 0 2 112 213 n n 2 分 设 2 2 1 1 1 n n S xn nxx 则 2 00 2 1 xx n n x S x dx dxx x 故 2 3 2 1 1 x S x xx 2 3 0 2 1 1 1 1 n n x n nxx x 5 分 于是 0 14 1 227 n n n n 6 分 2 0 1 1 4222 227327 n n n nn 所以 7 分 六 六 本题共本题共 2 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 10 分分 1 设在 0 上函数 f x有连续导数 且 f x 0 k 0 0f 证明 f x在 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 4 页 0 内有且仅有一个零点 证证 在 0 上 由 fxk 得 00 xx fx dxkdx 即 0 f xkxf 11 0 0 0 0 0 ff xf xkf kk 取有 2 分 1010 0 0 0 0 0f xfxxf x 因由题设根据零点定理故必存在使 4 分 又因 0fxk 故 f x严格单调增加 f x在 0 内有且仅有一个零点 5 分 2 设bae 证明 ab ba 证证 要证 ab ba 只需证lnln baab 令 lnln f xxaax xa 2 分 因为 ln10 aa fxaxa xx 所以 f x在xa 时单调增加 3 分 于是 当ba 时 0f bf a 即有lnlnbaab 5 分 七 七 本题满分本题满分 8 分分 已知二次型 02332 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf通过正交变换化成标准形 2 3 2 2 2 1 52yyyf 求参数a及所用的正交变换矩阵 解 解 二次型f的矩阵 200 03 03 a a A 1 分 特征方程为 22 200 03 2 69 0 03 aa a IA 2 分 由题设 知A的特征值为 123 1 2 5 将1 或5 代入特征方程 得 2 40 2aa 又0a 故取2a 这时 200 032 023 A 当 1 1 时 由 IA x0 即 1 2 3 100 0220 022 x x x 解得对应的特征向量 1 0 1 1 当 2 2 时 由 2 IA x0 解得对应的特征向量为 2 1 0 0 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 5 页 当 3 5 时 由 5 IA x0 解得对应的特征向量为 3 0 1 1 7 分 将 123 单位化 得 000 123 010 11 1 0 1 22 101 故所用的正交变换矩阵为 010 1 20 1 2 1 20 1 2 T 8 分 八 八 本题满分本题满分 6 分分 设 A 是n m 矩阵 B 是m n 矩阵 其中nm I 是 n 阶单位矩阵 若 AB I 证明 B 的列向量组线性无关 证一 证一 设 12 n B 其中 1 2 i in 是B的列向量 若 1 122 0 nn xxx 即 1 2 12 0 n n x x BX x 2 分 两边左乘 A 则得0ABX 即0I X 亦即0X 5 分 所以 12 n 线性无关 6 分 证二 证二 因为 r Bn 1 分 又 r Br ABr In 4 分 故 r Bn 5 分 所以 12 n 线性无关 6 分 九 九 本题满分本题满分 6 分分 设物体 A 从点 0 1 出发 以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运 动 物体 B 从点 1 0 与 A 同时出发 其速度大小为 2v 方向 始终指向 A 试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程 并写出 初始条件 解 解 设在时刻t B 位于点 x y处 则 1 dyyvt dxx 2 分 两边对x求导得 2 2 d ydt xv xdx 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 6 页 由 2 21 dsdydx v dtdxdt 得 2 1 1 2 dtdy dxvdx 代入 式得到所求的微分方程为 2 2 2 1 1 0 2 d ydy x xdx 5 分 其初始条件为 11 0 1 xx yy 6 分 十 十 填空题填空题 本题共本题共 2 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 6 分分 1 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品 任意抽取两次 每次抽一个 抽出后不放回 则 第二次抽出的是次品的概率为1 6 2 设随机变量X服从 0 2 的均匀分布 则随机变量 2 YX 在 0 4 内概率分布密度 Y fy 1 4 y 十一 十一 本题满分本题满分 6 分分 设随机变量X的概率分布密度为 1 2 x f xex 1 求X的数学期望 EX 和方差 DX 2 求X与X的协方差 并问X与X是否不相关 3 问X与X是否相互独立 为什么 解 解 1 0EXxf x dx 1 分 22 0 02 x DXx f x dxx e dx 2 分 2 cov 00XXE XXEX E Xx x f x dx 3 分 故X与X不相关 4 分 3 对给定0a 显然 XaXa 故 P Xa XaPXa 又易见 1P Xa 0PXa 所以 P XaPXaPXa 因此 P Xa XaP XaPXa 因此 X 与X不独立 6 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 7 页 数数 学 试卷二 学 试卷二 一一 三三 同数学一 第一 三题 四 四 本题共本题共 3 小题 每小题小题 每小题 6 分分 满分 满分 18 分分 1 设 3 x y xyfxz f具有连续二阶偏导数 求 2 2 y z y z 及 yx z 2 解解 42 12 z x fx f y 2 分 2 53353 11122122111222 2 2 z x fx fx fxfx fx fxf y 3 分 2 3422 1111222122 42 z x fx yfx yfxfx yfyf x y 34 121122 42x fxfx yfyf 6 分 2 同数学一 第四题 3 已知 3 R的两个基为 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 3 1 2 1 1 4 3 2 2 3 4 3 3 求由基 3 2 1 到基 3 2 1 的过渡矩阵 解 解 设由基 123 到基 123 的过渡矩阵为C 则 1 2 31 2 3 C 1 分 故 1 1 2 31 2 3 C 其中 1 1 1 2 3 111 100 11 1 010 11 0 22 11 1 22 3 分 于是 234 010 101 C 5 分 五五 九 九 同数学一 第五 九题 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 8 页 数数 学 试卷学 试卷三三 一 填空题 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 0lnlim 0 xx x 2 函数 yy x 由方程 0sin 222 xyeyx x 所确定 则 dx dy 222 22 2 cos 2 cos 2 x yexxy yxyxy 3 同数学一 第一 1 题 4 2 coscos tgx dxc xx 5 已知曲线 yf x 过点 1 0 2 且其上任一点 x y处的切线斜率为 2 ln 1 xx 则 f x 22 1 ln 1 1 2xx 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 当 x0 时 变量 xx 1 sin 1 2 是 D A 无穷小 B 无穷大 C 有界的 但不是无穷小量 D 无界的 但不是无穷大 2 设 f x 1 2 1 1 1 2 x x x x 则在点1x 处函数 f x A A 不连续 B 连续 但不可导 C 可导 但导数不连续 D 可导 且导数连续 3 已知 f x 2 01 112 xx x 设 1 02 x Fxftd tx 则 F x为 D A 21 10 3 1 3 xx xx B 21 10 3 1 3 1 3 xx xx C 211 10 3 1 3 xx xx D 211 10 3 1 3 1 3 xx xx 4 设常数0k 函数k e x xxf ln 在 0内零点个数为 B 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 9 页 A 3 B 2 C 1 D 0 5 若 f xfx 且在 0内0 xf 0 xf 则 f x在 0 内 C A 0 0 xfxf B 0 0 xfxf C 0 0 xfxf D 0 0 xfxf 三 三 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分分 1 设 2 sin yf x 其中f具有二阶导数 求 2 2 dx yd 解 解 22 2 cos dy xfxf x dx 2 分 2 222222222 2 2 cos 2 cos 2 sin d y fxf xx fxf xxfxf x dx 22222222 2 cos 4 cos sin fxf xxfxf xfxf x 5 分 2 求 2 lim 100 x xxx 解 解 原式 2 100 lim 100 x x xx 1 分 2 100 lim 100 11 x x 4 分 50 5 分 3 求 dx x x 4 0 2cos1 解 解 原式 44 2 00 1 tan 2cos2 x dxxdx x 1 分 44 0 0 1sin tan 2cos x xxdx x 3 分 4 0 11 lncos ln2 2 484 x 5 分 4 求 dx x x 0 3 1 解 解 原式 3 0 1 1 1 x dx x 1 分 232 0 0 1111 lim 1 1 12 1 b b dx xxxx 3 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 10 页 1 2 5 分 5 求微分方程0 cos2 1 2 dxxxydyx满足初始条件1 0 x y的特解 解 解 原方程可化为 22 2cos 11 dyxx y dxxx 1 分 此一阶线性微分方程的通解为 22 22 11 2 cos 1 xx dxdx xx x yeedxC x 3 分 即 2 sin 1 xC y x 4 分 由 0 1 x y 得1C 故满足初始条件的特解是 2 sin1 1 x y x 5 分 四 四 本题满分本题满分 9 分分 设二阶常系数线性微分方程 x eyyy 的一个特解为 xx exey 1 2 试确 定常数 并求该方程的通解 解一 解一 由题设特解知原方程的特征根为 1 和 2 2 分 所以特征方程为 1 2 0rr 即 2 320rr 于是 3 2 5 分 将 1 x yxe 代入方程得 2 3 1 2 xxxx xexexee 即1 7 分 从而原方程的通解为 2 12 xxx ycec exe 9 分 解二解二 将 2 1 xx yex e 代入原方程得 2 4 2 3 2 1 xxxx eexee 2 分 比较同类项的系数 有 420 32 10 解方程组得 3 2 1 5 分 即原方程为32 x yyye 它对应的齐次方程的特征方程为 2 320rr 解之得特征根 12 1 2rr 故齐次方程的通解为 2 12 xx Ycec e 7 分 由题设特解知 原方程的通解为 22 12 1 xxxx ycec eex e 即 2 34 xxx yc ec exe 9 分 五 五 本题满分本题满分 9 分分 设平面图形 A 由xyx2 22 与xy 所确定 求图形 A 绕直 线2x 旋转一周所得旋转体的体积 解 解 A 的图形如下图所示 取y为积分变量 它的变化区间为 0 1 易见 A 的两条边界曲线方程 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 11 页 分别为 2 11 01 xyxyy 及 2 分 于是相应于 0 1 区间上任一小区间 y ydy 的薄片的体积元素为 22222 2 11 2 2 1 1 dVyydyyydy 5 分 于是所求体积为 1 22 0 2 1 1 Vyydy 6 分 1 3 2 0 1 1 2 1arcsin 223 yy yy 8 分 1 2 43 2 2 23 9 分 六 六 本题满分本题满分 9 分分 作半径为 r 的球的外切正圆锥 问此圆锥的高 h 为何值时 其体积 V 最小 并求出该最小值 解 解 设圆锥底面圆半径为 R 如图所示 SCh OCODr BCR 因 2 2 2 R 2 BCCDRrrh SCSDh hhr hrr 故从而 2 分 于是圆锥体积为 22 2 2 332 rh V hR hrh hr 4 分 22 2 4 h h 04 0 3 2 rhrh hr h hr 因V故解V得舍去 7分 由于圆锥的最小体积一定存在 且h 4r是 V h在 2r 内的唯一驻点 所以当h 4r时 V 取最小值 223 4 8 4 3 42 3 rrr Vr rr 9 分 七 七 本本题满分题满分 9 分分 设0 x 常数ae 证明 xa a axa 证证 因为lnyx 是单调增加函数 所以欲证明 xa a axa 只需证 ln lnaaxaxa 2 分 设 lnln f xaxaaax 4 分 则在 0 内连续且可导 又有 ln a fxa ax 5 分 ln1 1 0 0 a afxf x ax 因为故所以函数在内单调增加 7 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 12 页 0 0 0 0 ln ln a a x ff xxaaxaxa axa 而所以即 9 分 八 八 本题满分本题满分 9 分分 设 fx 在 0 a上连续 且 0 0f 证明 2 0 2 a Ma f x dx 其中 0 max x a Mfx 证一 证一 任取 0 xa 由微分中值定理有 0 0 f xffxx 3 分 又 0 0f 故 0 f xfx xa 所以 000 aaa f x dxfxdxfxdx 6 分 0 a Mxdx 2 2 M a 9 分 证二证二 设 0 xa 由 0 0f 知 0 0 x ft dtf xff x 4 分 由积分基本性质 并考虑到 0 max x a Mfx 有 000 xxx f xf t dtf t dtMdtMx 7 分 于是 2 000 2 aaa Ma f x dxf x dxMxdx 9 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 13 页 数数 学 试卷学 试卷四四 一 填空题 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 5 62 sin 35 53 lim 2 xx x x 2 已知 2 32 32 x yffxarctgx x 则 0 x dx dy 4 3 3 级数 0 2 3ln n n n 的和为 2 2ln3 4 设 4 阶方阵 A 的秩为 2 则其伴随矩阵 A的秩为 0 5 设总体 X 的方差为 1 根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本 测得样本均值为 5 则 X 的数学期望的置信度近似等于 0 95 的置信区间为 4 804 5 196 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 已知函数 0 0 0 1 sin 2 x x x x xf 则 f x 在点x 0处 C A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 2 设 f x为连续函数 且 ln 1 x x F xf t dt 则 x F 等于 A A 1 1 ln 1 2 x f x xf x B 1 ln x fxf C 1 1 ln 1 2 x f x xf x D 1 ln x fxf 3 n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的 B A 充分必要条件 B 充分而非必要条件 C 必要而非充分条件 D 既非充分也非必要条件 4 假设事件A和B满足 1P B A 则 D A A 是必然事件 B 0P B A C A B D A B 5 设随机变量 X 的密度函数为 x 且 x x F x是 X 的分布函数 则对任 意实数a 有 B A 0 1 a Fax dx B 0 1 2 a Fax dx 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 14 页 C FaF a D 2 1FaF a 三 三 本题满分本题满分 5 分分 设 zf x y 是由方程0 z y x zyxxe 所确定的二元函数 求dz 解 解 将方程两端微分 得 0 z y xz y x dzdydxedxxedzdydx 3 分 整理后得 1 1 1 z y xz y xz y xz y x xedzxeedxxedy 4 分 由此 得 1 1 1 z y x z y x xe dzdxdy xe 5 分 四 四 本题满分本题满分 7 分分 已知 a x x x dxex ax ax 22 4lim 求常数a的值 解 解 左边 2 2 lim 1 x a x a e xa 2 分 22222 224 xxx a aa x dex exedx 右边 3 分 222 22 ax a a exde 4 分 2222 222 axx a a a exeedx 5 分 2222 22 aax a a eaee 2222 22 aaa a eaee 6 分 于是 有 22222 22 aaaa ea eaee 解得0a 或1a 7 分 五 五 本题满分本题满分 9 分分 设某产品的成本函数为 2 Caqbqc 需求函数为 1 qdp e 其中C为成本 q为需求量 即产量 p为单价 a b c d e都是正的常数 且db 求 1 利润最大时的产量及最大利润 2 需求对价格的弹性 3 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量 解 解 1 利润函数为 22 Lpq Cdeq qaqbqcdb qea qc 2 分 两侧同时对q求导 得 2 Ldbea q 令 L 0 得 2 db q ea 3 分 因为2 0Lea 所以当 2 db q ea 时 利润最大 且 4 分 2 max L 4 db c ea 5 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 15 页 2 因为 1 q e 所以需求对价格的弹性为 p q q 7 分 1 deqdeq qeeq 8 分 3 由1 得 2 d q e 9 分 六 六 本题满分本题满分 8 分分 假设 1 函数 xfy x0 满足条件 0 0 f 和1 0 x exf 2 平行于y轴的动直线 MN 与曲线 xfy 和1 x ey 分别交于点 1 P和 2 P 3 曲线 xfy 直线 MN 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 21P P的长度 求函数 xfy 的表达式 解 解 由题设可得示意图如下 由图可知 0 1 x x f x dxef x 3 分 两端求导 得 x f xef x 4 分 即 x f xf xe 解此一阶线性方程 得 1 2 xxxxx f xee e dxCeCe 7 分 因 0 0f 故有 1 C 2 因此所求函数为 1 2 xx f xee 8 分 七 七 本题满分本题满分 6 分分 假设函数 xf在 0 1 上连续 在 1 0内二阶可导 过点 0 0 Af与 1 1 Bf的直 线与曲线 yf x 相交于点 C c f c 其中01c 证明 在 1 0内至少存在一点 使0 f 证一 证一 因为 f x在 0 c 上满足拉格朗日中值定理的条件 故存在 1 0 c 使 1 0 0 f cf f c 2 分 由于点 C 在弦 AB 上 故有 0 1 0 1 0 01 0 f cfff ff c 1 1 0 fff 从而 3 分 同理可证 存在 22 1 1 0 cfff 使 4 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 16 页 于是有 12 ff 从而 fx 在 12 上满足罗尔定理的条件 所以存在 12 0 1 使 0f 6 分 八 八 本题满分本题满分 10 分分 k 为何值时 线性方程组 42 4 321 2 321 321 xxx kxkxx kxxx 有唯一解 无解 有无穷多组解 在 有解情况下 求出其全部解 解 解 2 114114 110228 1124 1 4 00 4 2 kk kkk kk k k A 1 分 当1k 和 4 时 有 2 2 2 100 1141 224 014010 21 22 001001 11 kk kk kkk k kk kk A 2 分 这时方程组有唯一解 22 123 2242 111 kkkkk xxx kkk 4 分 当1k 时 有 2 3RR AA 方程组无解 6 分 当4k 时 有 11441030 01140114 00000000 A 23RRn AA 故方 程组有无穷多组解 这时 得同解方程组 13 23 3 4 xx xx 8 分 令 3 xc 得方程组的全部解 3 4 c xc c 或 03 41 01 xc 其中c为任意常数 10 分 九 九 本题满分本题满分 9 分分 设二次型 222 1231231 22 31 3 222f x x xxxxx xx xx x 经正交变换 X P Y 化成 f 2 3 2 2 2yy 其中 T xxxX 321 和 T yyyY 321 是三维列向量 P 是 3 阶正交 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 17 页 矩阵 试求常数 解 解 变换前后二次型的矩阵分别为 11000 1 010 11002 AB 2 分 二次型可以写成 T fX AX 和 T fY BY 3 分 由于 T P APB P为正交矩阵 故 1 P APB 5 分 因此 EAEB 即 1100 1010 11002 6 分 亦即 3222232 3 2 32 8 分 故其解0 为所求常数 9 分 十 十 本题满分本题满分 8 分分 设随机变量 X 和 Y 同分布 X 的概率密度为 f x 他其0 20 8 3 2 xx 1 已知事件 A X a 和 B Y a 独立 且 P A B 3 4 求常数a 2 求 2 1 X 的数学期望 解 解 1 由条件知 P AP BP ABP A P B 1 分 2 3 2 4 P A BP AP BP ABP AP A 3 分 由此得 1 2 P A 又由条件知 2 2 233 3311 8 8882 aa a P Xaf x dxx dxxa 于是有 3 4a 6 分 2 2 2 2 222 0 0 113133 884 Ef x dxx dxx Xxx 8 分 十一 十一 本题满分本题满分 8 分分 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N t 服从参数为t 的泊松分 布 1 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布 2 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下 再无故障运行 8 小时的概率 Q 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 18 页 解 解 1 由于T是非负随机变量 可见当0t 时 0F tP Tt 1 分 设0t 则事件 Tt 与 0 N t 等价 因此 当0t 时 有 1 1 0 1 t F tP TtP TtN te 4 分 于是 T服从参数为 的指数分布 2 16 8 QP TT 5 分 16 8 16 8 8 P TTP T P TP T 7 分 16 8 8 e e e 8 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 19 页 数数 学 试卷学 试卷五五 一 填空题 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题 每小题小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 lim1 21 2 1 2 2 n nn 2 已知 2 32 arcsin 32 x yffxx x 则 0 x dy dx 3 2 3 xx dx 1 2 2arctan 1 xc 4 同数学四 第一 4 题 5 设 10 件产品有 4 件不合格品 从中任取两件 已知所取两件产品中有一件是不合格品 则另一件也是不合格品的概率为 1 5 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 同数学四 第二 1 题 2 同数学四 第二 2 题 3 若 21321 都是四维列向量 且四阶行列式nm 32211321 则四阶行列式 21123 等于 C A m n B m n C n m D m n 4 设2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值 则矩阵 21 1 3 A 有一特征值等于 B A 3 4 B 4 3 C 2 1 D 4 1 5 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 22 4 5 XNYN 记 5 4 21 YPpXPp 则 A A 对任何实数 都有 21 pp B 对任何实数 都有 21 pp C 只对 的个别值 才有 21 pp D 对任何实数 都有 21 pp 三 三 本题满分本题满分 5 分分 同数学四 第三题 四 四 本题满分本题满分 7 分分 同数学四 第四题 五 五 本题满分本题满分 7 分分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1993 年数学试题参考解答及评分标准 1993 年 第 20 页 已知某厂生产x件产品的成本为 2 1 250000200 40 Cxx 元 问 1 要使平均成本最小 应生产多少件产品 2 若产品以每件 500 元售出 要使利润最大 应生产多少件产品 解 解 1 设平均成本为y 则 25000 200 40 x y x 1 分 2 250001 0 40 y x 由 得 12 1000 1000 xx 舍去 2 分 因为 5 1000 5 100 x y 所以当 3 10 x 时 y取得极小值 即最小值 因此 要使平均成本最小 应生产 1000 件产品 4 分 2 利润函数为 22 500 25000200 30025000 4040 xx Lxxx 5 分 由 20 3000L x 得6000 x 6 分 因为 1 L 6000 0 20 所以当6000 x 时 L取得极大值 即最大值 因此 要使利润最大 应生产 6000 件产品 7 分 六 六 本题满分本题满分 6 分分 设 p q是大于1的常数 且1 11 qp 证明 对于任意0 x 有x q x p p 11 证证 记 11 p f xxx pq 则 1 分 1 1 p fxx 2 分 令 0fx