1998考研数学真题+答案.pdf

郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 1 页 1998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学 试卷一 学 试卷一 一 填空题 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 4 1211 lim 2 0 x xx x 2 设 1 zf xyyxy x 其中 f具有二阶连续导数 则 2 yxyyxxyyf yx z 3 设 L 为椭圆1 34 22 yx 其周长记为a 则adsyxxy L 12 432 22 4 设 A 为 n 阶矩阵 0 AA 为 A 的伴随矩阵 E 为 n 阶单位矩阵 若 A 有特征值 则EA 2 必有特征值 2 1 A 5 设平面区域 D 由曲线y 1 x 及直线 2 0 1 yxxe 所围成 二维随机变量 X Y 在区 域 D 上服从均匀分布 则 X Y 关于 X 的边缘概率密度在2x 处的值为 1 4 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 设 xf连续 则 dttxf t dx d x 22 0 A A 2 x f x B 2 x f x C 2 2 x f x D 2 x f x 2 函数 23 2 f xxxxx 的不可导点的个数是 B A 3 B 2 C 1 D 0 3 已知函数 yf x 在任意点x处的增量 0 1 2 时且当 xa x xy y是x 的高 阶无穷小量 0 y 则 1 y等于 D A 2 B C 4 e D 4 e 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 2 页 4 设矩阵 333 222 111 cba cba cba 是满秩的 则直线 21 3 aa ax 21 3 bb by 21 3 cc cz 与直线 32 1 aa ax 32 1 bb by 32 1 cc cz A A 相交于一点 B 重合 D 平行但不重合 D 异面 5 设 A B 是随机事件 且 0 P A 0 ABPABP 则必有 C A P A BP A B B P A BP A B C P ABP A P B D P ABP A P B 三 三 本题满分本题满分 5 分分 求直线 1 1 11 1 zyx l 在平面012 zyx 上的投影直线 0 l的方程 并 0 l求绕y轴旋转一周所成的方程 解一 解一 设经过l且垂直于平面 的平面方程为 1 1 1 0A xByC z 则由条件可知20 0ABCABC 由此解得 1 3 2A B C 于是 1 的方程为3210 xyz 2 分 从而 0 l的方程为 0 l 210 3210 xyz xyz 3 分 即 0 2 1 1 2 xy l zy 于是 0 l绕y轴旋转一周所成曲面的方程为 2222 1 4 1 4 xzyy 即 222 4174210 xyzy 5 分 解二 解二 由于直线l的方程可写为 10 10 xy yz 所以过l的平面方程可设为 1 1 0 xyyz 即 1 1 0 xyz 由它与平面 垂直 得1 1 20 解得2 于是经过l且垂直与 的平面方程为3210 xyz 2 分 从而 0 l的方程为 0 l 210 3210 xyz xyz 3 分 下同解法一 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 3 页 四 四 本题满分本题满分 6 分分 确定常数 使在右半平面0 x 上的向量 42242 2 A x yxy xyix xyj 为某二元函数 u x y的梯度 并求 u x y 解 解 令 42242 2 Pxy xyQx xy 则 A x y 在右半平面0 x 上为某 二元函数 u x y的梯度的充要条件是 QP xy 1 分 此即 44 4 1 0 x xy 解之得1 3 分 于是 在右半平面内任取一点 例如 1 0 作为积分路径的起点 则得 2 42 1 0 2 x y xydxx dy u x yC xy 4 分 2 4242 1 0 20 y x xdxx dy C xyxy 2 arctan y C x 6 分 注 不加 C 不扣分 五 五 本题满分本题满分 6 分分 从船上向海中沉放某种探测仪器 按探测要求 需确定仪器的下沉深度 y 从海平面算 起 与下沉速度 v 之间的函数关系 设仪器在重力作用下 从海平面由静止开始铅直下沉 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用 设仪器的质量为 m 体积为 B 海水比重为 仪 器所受的阻力与下沉速度成正比 比例系数为 k k 0 试建立 y 与 v 所满足的微分方程 并 求出函数关系式 y y v 解 解 取沉放在原点 O OY 轴正向铅直向下 则由牛顿第二定律得 2 2 d y mmgBkv dt 1 分 将 2 2 d ydy v dtdt 代入以消去t 得vy与之间的微分方程 dy mvmgBkv dt 2 分 即 mv dydv mgBkv 积分得 2 ln mm mgB yvmgBkvC kk 4 分 由初始条件 0 0 y v 定出 2 ln m mgB CmgB k 故所求的函数关系式为 2 ln mm mgBmgBkv yv kkmgB 6 分 六 六 本题满分本题满分 7 分分 计算 2 1 222 2 zyx dxdyazaxdydz 其中 为下半球面 222 yxaz 的上侧 a为 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 4 页 大于零的常数 解一 解一 2 1 222 2 axdydzzadxdy xyz 2 1 axdydzza dxdy a 1 分 补一块有向曲面 222 0 xya z S 其法向量与z轴正向相反 从而得到 22 1 SS Iaxdydzza dxdyaxdydzza dxdy a 2 分 2 1 32 D az dva dxdy a 4 分 其中 为S 围成的空间区域 D为0z 上的平面区域 222 xya 于是 22 20 444 00 11 222 a ar Iazdvaadrdrzdz aa 3 2 a 7 分 解二 解二 2 1 Iaxdydzza dxdy a 1 分 记 222 1 1 2 yz D Iaxdydzayzdydz a 其中 yz D为 YOZ 平面上的半圆 222 0yza z 利用极坐标计算 得 2 223 1 0 2 2 3 a Idar rdra 4 分 22222 2 11 xy D Izadxdyaaxydxdy aa 2 22223 00 1 22 6 a daa arrrdra a 其中 xy D为 XOY 平面上的圆域 222 xya 因此 3 12 2 IIIa 7 分 七 七 本题满分本题满分 6 分分 求 2 sinsin sin lim 11 1 2 n nn n nn n 解 解 2 sinsinsin 12 sinsinsin 11 1 2 n n nnn nnnnn nn n 1 1 sin n i i nn 2 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 5 页 而 1 0 1 12 limsinsin n n i i xdx nn 3 分 又 2 sinsin sin12 sinsinsin 11 11 2 nn nnnn nn n 1 1 sin 1 n i ni nnn 5 分 而 1 0 1 12 limsinsin 1 n n i ni xdx nnn 故由夹逼定理知 2 sinsin sin2 lim 11 1 2 n nn n nn n 6 分 八 八 本题满分本题满分 5 分分 设正项数列 n a单减 且级数 1 1 n n na 发散 试问级数 n n n a 1 1 1 是否收敛 并 说明理由 解 解 级数 1 1 1 n n n a 收敛 1 分 理由 由于正项数列 n a单调减少有下界 故lim n n a 存在 记这个极限值为a 则0a 2 分 若0a 则由莱布尼兹定理知 1 1 n n n a 收敛 与题设矛盾 故0a 3 分 于是 11 1 11 n aa 从而 11 11 n n n aa 而 1 1 1 n n n a 是公比为 1 1 1a 的几 何级数 故收敛 因此由比较判别法知原级数收敛 5 分 注 注 1 若未说明0a 本题至多给 2 分 2 本题也可用根植判别法 九 九 本题满分本题满分 6 分分 设 yf x 是区间 0 1 上的任一非负连续函数 1 试证 存在 0 0 1 x 使得在区间 0 0 x上以 0 f x为高的矩形面积 等于在区 间 0 1 x上以 yf x 为曲边的曲边梯形面积 2 又设 xf在区间 0 1 内可导 且 2 f x fx x 证明 1 中的 0 x是唯一的 证证一 一 1 设 1 x F xxf t dt 2 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 6 页 则 0 1 0FF 且 1 x F xf td t x f x 对 F x在区间 0 1 上应用罗尔定理知 存在一点 0 0 1 x 使 0 0F x 因而 0 1 00 0 x f t dtx f x 即矩形面积 00 x f x等于 曲边梯形面积 0 1 x f x dx 4 分 2 设 1 x xf t dtxf x 5 分 则当 0 1 x 时 有 0 xf xf xxfx 所以 x 在区间 0 1 内单调减 少 故此时 1 中的 0 x是唯一的 6 分 注 注 在证明 1 时 若对所设辅助函数利用闭区间上连续函数的介值定理仅得出 0 0 1 x 但未排除端点 或者排除端点的理由不充分 则只给 1 分 十 十 本题满分本题满分 6 分分 已知二次曲面方程 222 2224xayzbxyxzyz 可以经过正交变换 P z y x 化为椭圆柱面方程44 22 求 a b的值和正交矩阵P 解 解 由 11 1 111 b ba 与 0 1 4 相似得 11 11 1114 b ba 1 分 解之得到3 1ab 2 分 对应于特征值 1 0 的单位特征向量为 1 11 0 22 T x 对应于特征值 2 1 的单位特征向量为 2 111 333 T x 对应于特征值 3 4 的单位特征向量为 3 121 666 T x 5 分 因此P 111 236 12 0 36 111 236 6 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 7 页 十一 十一 本题满分本题满分 4 分分 设A是n阶矩阵 若存在正整数k 使线性方程组0 k A x 有解向量 且 1 0 k A 证明 向量组 1 k AA 是线性无关的 解 解 设有常数 12 k 使得 1 12 0 k k AA 则有 11 12 0 kk k AAA 2 分 从而有 1 1 0 k A 由于 1 0 k A 所以 1 0 类似可证得 23 0 k 因此向量组 1 k AA 线性无关 4 分 十二 十二 本题满分本题满分 5 分分 已知线性方程组 11 11221 22 21 12222 22 1 122 22 0 0 0 nn nn nnnnn a xa xax a xa xax a xa xax 的一个基础解系为 11121 2 T n b bb 21222 2 T n bbb 12 2 T nnnn bbb 试写出线性方程组 1111221 22 2112222 22 1122 22 0 0 0 nn nn nnnnn b yb yby b yb yby b yb yby 的通解 并说明理由 解 解 II 的通解为 111121 2221222 2122 TTT nnnnnnn yc aaac aaac aaa 其中 12 n c cc 为任意常数 2 分 理由 理由 方程组 I II 的系数矩阵分别记为 A B 则由 I 的已知基础解系可知 0 T AB 于是 0 TTT BAAB 因此可知A的n个行向量的转置向量为 II 的n个 解向量 3 分 由于B的秩为n 故 II 的解空间维数为2nnn 又A的秩为2n与 I 的解空间 维数之差 即为n 故A的n个行向量线性无关 从而它们的转置向量构成 II 的一个基 础解系 于是得到 II 的上述通解 5 分 十三 十三 本题满分本题满分 6 分分 设两个随机变量 X Y 相互独立 且都服从均值为 0 方差为 2 1 的正态分布 求随机变 量YX 的方差 解 解 令ZXY 由于 22 11 0 0 22 XNYN 且XY和相互独立 故 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 8 页 0 1 ZN 2 分 因为 2222 D XYD ZE ZE ZE ZE Z 3 分 而 22 1 0 1E ZD ZEZ 22 22 0 122 22 zz E Zzedzzedz 所以 2 1D XY 6 分 十四 十四 本题满分本题满分 4 分分 从正态总体 6 4 3 2 N中抽取容量为 n 的样本 如果要求其样本均值位于区间 1 4 5 4 内的概率不小于 0 95 问样本容量 n 至少应取多大 附表 标准正态分布表 dtez t z 2 2 2 1 解 解 以X表示该样本均值 则 3 4 0 1 6 X nN 1 分 从而有 1 45 4 23 42 3 4 2 PXPXP X 3 4 2 66 Xn Pn 2 10 95 3 n 2 分 故 0 975 3 n 由此得1 96 3 n 即 2 1 96 3 34 57n 所以n至少应取 35 4 分 十五 十五 本题满分本题满分 4 分分 设某次考试的考生成绩服从正态分布 从中随机抽取 36 位考生的成绩 算得平均成绩 为 66 5 分 标准差为 15 分 问在显著性水平 0 05 下 是否可以认为这次考试全体考生的平 均成绩为 70 分 并给出检验过程 附表 t 分布表 pntntP p z 1 28 1 645 1 96 2 33 z 0 900 0 950 0 975 0 990 ntp p n 0 95 0 975 35 1 6896 2 0301 36 1 6883 2 0281 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 9 页 解 解 设该次考试的考生成绩为X 则 2 XN 把从X中抽取的容量为n的样本 均值记为X 样本标准差记为S 本题是在显著性水平0 05 下检验假设 01 70 70HH 1 分 拒绝域为 1 2 70 1 x tntn s 由 0 975 36 66 5 15 36 1 2 0301nxst 算得 66 570 36 1 42 0301 15 t 3 分 所以接受假设 0 70H 即在显著性水平0 05下 可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为 70 分 4 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 10 页 数数 学 试卷学 试卷二二 一 填空题 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 同数学一 第一 1 题 2 曲线 32 2yxxx 与 x 轴所围成的图形的面积 A 37 12 3 2 lnsin cot lnsincot sin xdx xxxxC x 4 设 xf连续 则 dttxf t dx d x 22 0 2 x f x 5 曲线 1 ln x exy 0 x 的渐近线方程为 1 yxe 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 设数列 n x与 n y满足0lim nn n yx 则下类断言正确的是 A A 若 n x发散 则 n y必发散 B 若 n x无界 则 n y必有界 C 若 n x有界 则 n y必为无穷小 D 若 n x 1 为无穷小 则 n y必为无穷小 2 同数学一 第二 2 题 选项的排列顺序不同 3 同数学一 第二 3 题 选项的排列顺序不同 4 设函数 f x在xa 的某个领域内连续 且 f a为极大值 则存在0 当 xaa 时 必有 A A 0 afxfax B 0 afxfax C 0 lim 2 ax xt xftf at D 0 lim 2 ax xt xftf at 5 设 A 是任一 3 nn阶方阵 A 是其伴随矩阵 又 k 为常数 且1 0 k 则必有 kA B A kA B kn 1A C knA D k 1A 三 三 本题满分本题满分 5 分分 求函数 4 tan 1 x x xxf 在区间 2 0 内的间断点 并判断其类型 解 解 f x在 0 2 内的间断点为 357 4444 x 1 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 11 页 在 4 x 处 0 4 f 在 5 4 x 处 5 0 4 f 故 5 44 x 为第二类 或无穷 间断点 3 分 在 3 4 x 处 3 4 lim 1 x f x 在 7 4 x 处 7 4 lim 1 x f x 故 37 44 x 为第一类 或可去 间断点 5 分 四 四 本题满分本题满分 5 分分 确定常数cba 的值 使 0 1ln sin lim 2 0 cc dt t t xax x b x 解 解 由于0 x 时 sin0axx 且极限c不为 0 所以当0 x 时 3 ln 1 0 x b t dt t 故必有0b 1 分 又因为 33 3 000 0 sincos cos limlimlim ln 1 ln 1 ln 1 x xxx axxaxx ax xxt dt xt 32 00 cos cos limlim 0 xx x axax cc xx 3 分 故必有1a 从而 1 2 c 5 分 五 五 本题满分本题满分 6 分分 利用代换 x exyxyxy x u y cos3sin 2cos cos 将方程化简 并求出原方程的通 解 解一 解一 由cosuyx 两端对x求导 得 cossinuyxyx cos2sincosuyxyxyx 2 分 于是原方程化为4 x uue 3 分 其通解为 12 cos2sin2 5 x e uCxCx 从而原方程的通解为 12 cos2 2sin cos5cos x xe yCCx xx 5 分 解二 解二 secyux secsec tanyuxuxx 23 sec2 sec tansec tansecyuxuxx uxx ux 2 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 12 页 代入原方程得4 x uue 3 分 以下同解法一 六 六 本题满分本题满分 6 分分 计算积分 2 3 2 1 2 1 dx xx 解 解 注意到被积函数内有绝对值且1x 是其无穷间断点 故 3 1 2 22 1 1 2 dxdx xxxx 原式 1 分 而 1 1 2 1 2 1 2 2 11 42 dxdx xx x 1 1 2 arcsin 21 arcsin1 2 x 3 分 3 3 2 2 2 21 1 11 24 dxdx xx x 3 2 2 1 111 ln ln 23 224 xx 5 分 因此 3 2 2 1 ln 23 2 dx xx 6 分 七 七 本题满分本题满分 6 分分 同数学一 第五题 八 八 本题满分本题满分 6 分分 同数学一 第九题 九 九 本题满分本题满分 8 分分 设有曲线1 xy 过原点作其切线 求由此曲线 切线及x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积 解 解 设切点为 00 1 xx 则过原点的切线方程为 0 1 21 yx x 再以点 00 1 xx 代入 解得 000 2 11xyx 则切线方程为 1 2 yx 3 分 由曲线1 12 yxx 绕x轴一周所得到的旋转面的面 积 22 2 1 11 2143 5 5 1 6 Syy dxxdx 6 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 13 页 由直线段 1 12 2 yxx 绕x轴一周所得到的旋转面的面积 2 2 0 15 25 22 Sxdx 因此 所求旋转体的表面积为 12 11 5 1 6 SSS 8 分 十 十 本题满分本题满分 8 分分 设 y y x 是一向上凸的连续曲线 其上任意一点 x y 处的曲率为 2 1 1 y 且此曲线 上的点 0 1 处的切线方程为 y x 1 求该曲线的方程 并求函数 y y x 的极值 解 解 因曲线向上凸 故0y 由题设 有 32 2 1 1 1 y y y 2 分 即 2 1 1 y y 令 pypy 则 从而上述方程化为 2 1 1 p p 分离变量得 2 1 dp dx p 解之得 1 arctan pCx 4 分 因为 yy x 在点 0 1 处切线方程为1yx 所以 00 1 xx py 代入上式得 1 4 C 故tan 4 yx 积分得 2 ln cos 4 yxC 6 分 因为曲线过点 0 1 所以 0 1 x y 代入上式得 2 1 1ln2 2 C 故所求曲线的方程为 13 ln cos 1ln2 4244 yxx 7 分 因为cos 1 4 x 且当 4 x 时 cos 1 4 x 所以当 4 x 时函数取得极大值 1 1ln2 2 y 8 分 十一 十一 本题满分本题满分 8 分分 设 0 1 x 证明 1 22 1 ln 1 xxx 2 2 11 1ln 1 1 2ln 1 xx 证 证 1 令 22 1 ln 1 xxxx 则有 0 0 1 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 14 页 22 ln 1 2ln 1 2 0 0 xxxx 因为当 0 1 x 时 2 ln 1 0 1 xxx x 所以 0 x 从而 0 x 即 22 1 ln 1 xxx 3 分 2 令 11 0 1 ln 1 f xx xx 则有 22 22 1 ln 1 1 ln 1 xxx fx xxx 4 分 由 1 知 0fx 当 0 1 x 于是在 0 1 内 f x单调减少 又 f x在区间 0 1 上连续 且 1 1 1 ln2 f 故当 0 1 x 时 111 1 ln 1 ln2 f x xx 6 分 又 2 0000 ln 1 ln 1 1 lim limlimlim ln 1 2 1 2 xxxx xxxxx f x xxxxx 故当 0 1 x 时 111 ln 1 2 f x xx 8 分 十二 十二 本题满分本题满分 5 分分 设 11 2 T EC B AC 其中E是 4 阶单位矩阵 T A是 4 阶矩阵A的转置矩阵 B 1232 0123 0012 0001 C 1201 0120 0012 0001 求A 解 解 由题设得 1 2 T CEC B AE 即 2 T CB AE 1 分 由于 1234 0123 0012 0001 2CB 2 10CB 故2CB 可逆 于是 11 2 2 TT ACBCB 3 分 1 10001000 21002100 32101210 43210121 5 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 15 页 十三 十三 本题满分本题满分 8 分分 4 10 3 1 1 0 3 1 7 2 2 0 4 1 321 TTTT baaaa 问 1 ba 取何值时 不能由 321 线性表示 2 ba 取何值时 可由 321 线性表示 并写出此表示式 解 解 因 120312031203 4711001120112 0110110010 2340120002 bba aab 2 分 故 1 当2b 时 线性方程组 123 x 无解 此时 不能由 123 线性表出 4 分 2 当2 1ba 时 线性方程组 123 x 有唯一解 123 1 2 0 TT xx x x 于是 可唯一表示为 12 2 6 分 当2 1ba 时 线性方程组 123 x 有无穷多个解 123 2 1 1 1 2 0 TTT xx x xk 其中k为任意常数 这时 可由 123 线性表示为 123 21 2 kkk 8 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 16 页 数数 学 试卷三 学 试卷三 一一 填空题 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 设曲线 n f xx 在点 1 1 处的切线与x轴的交点为 0 n 则 1 lim n n fe 2 dx x x 2 1ln1 lnxc x 3 差分方程 1 21050 tt yyt 的通解为 51 5 126 t t yCt 4 设矩阵 A B满足 28A BABAE 其中 A 100 020 001 E 为单位矩阵 A为A 的 伴随矩阵 A 100 020 001 则B 200 040 002 5 设 4321 XXXX是来自正态总体 2 0 2 N的简单随机样本 2 43 2 21 43 2 XXbXXaX 则当 11 20100 ab 时 统计量X服 从 2 分布 其自由度为 2 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小小题 每小题题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 设 f x为可导函数 且满足条件1 2 1 1 lim 0 x xff x 则曲线 yf x 在点 1 1 f 处的切线斜率为 D A 2 1 B 0 C 1 D 2 2 设函数 n n x x xf 2 1 1 lim 讨论函数 f x 的间断点 其结论为 B A 不存在间断点 B 存在间断点 x 1 C 存在间断点 x 0 D 存在间断点 x 1 3 齐次线性方程组 0 0 0 321 321 3 2 21 xxx xxx xxx 的系数矩阵记为 A 若存在三阶矩阵 B 0 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 17 页 使得 AB 0 则 C A 02 B且 B 02 B且 C 01 B且 D 01 B且 4 设 3 n n 阶矩阵 A 1 1 1 1 aaa aaa aaa aaa 若矩阵 A 的秩为1n 则a必为 B A 1 B n 1 1 C 1 D 1 1 n 5 设 1 F x与 2 F x分别为随机变量 1 X与 2 X的分布函数 为使 21 xbFxaFxF 是某一随机变量的分布函数 在下列给定的各组数值中应取 A A 5 2 5 3 ba B 3 2 3 2 ba C 2 3 2 1 ba D 2 3 2 1 ba 三 三 本题满分本题满分 5 分分 设 arctan 22 y x zxye dz与 2 z x y 解 解 arctanarctanarctan 22 22 2 1 2 2 1 yyy xxx zy xexyexy e yxx x 1 分 arctanarctanarctan 22 2 2 11 2 2 1 yyy xxx z yexy eyx e yyx x 2 分 所以 arctan 2 2 y x dzexy dxyx dy 3 分 222 arctanarctanarctan 222 2 11 2 1 yyy xxx zyxyx exy ee yx yxxy x 5 分 四 四 本题满分本题满分 5 分分 设 22 Dx y xyx 求 D xdxdy 解一 解一 22 01 Dx yxxxyxx 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 18 页 所以 2 2 1 0 x x x x D xdxdyxdxdy 2 分 1 0 21xxdx 3 分 1 35 1 22 0 0 8 1 4 1 4 3515 tt xt ttdt 5 分 解二 解二 cos 2 0 2 cos D xdxdydrrdr 2 分 13 cos 222 0 2 cosdr dr 3 分 3 2 0 4 cos 5 d 4 分 8 15 5 分 五 五 本题满分本题满分 6 分分 设某酒厂有一批新酿的好酒 如果现在 假定0t 就售出 总收入为 0 R 元 如果窖 藏起来 待来日按陈酒价格出售 t年末总收入为 2 5 0 t RR e 假定银行的年利率为r 并以 连续复利计息 试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大 并求0 06r 时的t值 解 解 根据连续复利公式 这批酒在窖藏t年未售出总收入R的现值为 Re rt A t 而 2 5 0 t RR e 所以 2 5 0 t rt A tR e 2 分 令 2 5 0 1 0 5 t rt dA R er dtt 得唯一驻点 0 2 1 25 t r 3 分 又 2 22 5 0 2 3 11 5 10 t rt d A R er dtt t 则有 0 12 3 25 0 2 12 50 r t t d A R er dt 于是 0 2 1 25 t r 是极大值点即最大值点 故窖藏 2 1 25 t r 年 售出 总收入的现值最大 5 分 当0 06r 时 100 11 9 t 年 6 分 六 六 本题满分本题满分 6 分分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 19 页 设函数 xf在 ba 上连续 在 ba 内可导 且0 xf 试证 存在 a b 使得 ba fee e fba 证 证 令 x g xe 则 g xf x与在 a b上满足柯西中值定理条件 故由柯西中值定理 存在 a b 使得 ba f bf af eee 2 分 即 ba f bf aee e f baba 3 分 又 f x在 a b上满足拉格朗日中值定理条件 故由拉格朗日中值定理 存在 a b 使得 f bf a f ba 5 分 由题设 0fx 知 0f 从而 ba fee e fba 6 分 七 七 本题满分本题满分 6 分分 设有两条抛物线 1 1 1 1 22 n xny n nxy和 记它们交点的横坐标的绝对值为 n a 1 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 n S 2 求级数 1n n n a S 的和 解 解 由 22 11 1 1 ynxynx nn 与得 1 1 n a n n 2 分 因图形关于y轴对称 所以 22 0 11 2 1 1 n a n Snxnxdx nn 2 0 141 2 1 3 1 1 n a x dx n nn nn n 4 分 因此 414 11 3 1 31 n n S an nnn 5 分 从而 11 414 limlim1 313 n nk nn nk nk SS aan 6 分 八 八 本题满分本题满分 7 分分 设函数 xf在 1上连续 若由曲线 xfy 直线 1 1 ttxx与 x 轴 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 1 3 2 ftfttv 试求 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 20 页 xfy 所满足的微分方程 并求该微分方程满足条件 9 2 2 x y 的解 解 解 依题意得 22 1 1 3 t V tfx dxt f tf 即 22 1 3 1 t fx dxt f tf 2 分 两边对t求导 得 22 3 2 fttf tt f t 3 分 将上式改写为 22 32x yyxy 即 2 32 dyyy dxxx 令 y u x 则有3 1 du xu u dx 4 分 当0u 时 1u 时 由 3 1 dudx u ux 两边积分得 3 1u cx u 5 分 从而 式的通解为 3 yxcx yC 为任意常数 6 分 由已知条件 求得1c 从而所求的解为 3 3 1 x yxx yy x 或 7 分 九 九 本题满分本题满分 9 分分 设向量 1212 TT nn a aab bb 都是非零向量 且满足条件 0 T a 记 n 阶矩阵 T aA 求 1 2 A 2 矩阵A的特征值和特征向量 解 解 1 由 T aA 和0 T a 有 2 TTTTTT AAA 1 分 即 2 A为 n 阶零矩阵 3 分 2 设 为A的任一特征值 A的属于特征值 的特征向量为 0 x x 则 Axx 于是 22 A xAxx 4 分 因为 2 A xO 所以 2 xO 而 xO 故0 即矩阵A的特征值全为零 5 分 不妨设向量 中分量 11 0 0ab 对齐次线性方程组 0 EAO的系数矩阵施以初等行变换 1 11 2112 2 1222 12 000 000 nn n nnnn abababbbb a ba ba b a ba ba b A 6 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 21 页 由此可得该方程组的基础解系为 32 121 111 1 0 0 0 1 0 0 0 1 TTT n n bbb bbb 8 分 于是 A的属于特征值0 的全部特征向量为 112211nn ccc 1 21 n ccc 是不全为 0 的任意常数 9 分 十 十 本题满分本题满分 7 分分 设矩阵A 101 020 101 矩阵 2 AkEB 其中k为实数 E 为单位阵 求对角矩 使 B 与 相似 并求k为何值时 B 为正定矩阵 解 解 由 2 2 EA 可得A的特征值为 123 2 0 2 分 记对角矩阵 200 020 000 D 因为A是实对称矩阵 故存在正交矩阵 P 使得 T P APD 4 分 所以 11 TT APDPPDP 于是 22 TTTT BkEAkPPPDPP kED PP kED P 2 T P kED P 2 2 2 2 2 T k PkP k 5 分 可见 2 2 2 2 2 k k k 6 分 因此 当2k 且0k 时B的全部特征值均为正数 这时B为正定矩阵 7 分 注 注 考生也可直接由A的特征值得到矩阵kEA 的特征值为2k 二重 和k 4 分 进而得到B的特征值为 2 2 k 二重 和 2 k 5 分 并得到实对称矩阵B 6 分 十一 十一 本题满分本题满分 10 分分 一商店经销某种商品 每周进货的数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立的 随机变量 且都服从区间 10 20 上的均匀分布 商店每售出一单位商品可得利润 1000 元 若需求量超过了进货量 商店可从其他商店调剂供应 这时每单位商品获利润为 500 元 试 计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 22 页 解 解 设Z表示商品每周所得的利润 则 1000 1000500 500 YYX Z XYXXYYX 3 分 由于 X 与 Y 的联合概率密度为 1 1020 1020 100 0 xy x y 其它 5 分 所以 12 11 1000500 100100 DD EZydxdyxydxdy 7 分 202020 101010 105 y y dyydxdyxy dx 8 分 2020 2 1010 3 10 20 5 1050 2 yy dyyydy 9 分 20000 5 150014166 67 3 元 10 分 十二 十二 本题满分本题满分 9 分分 设有来自三个地区的各 10 名 15 名和 25 名考生的报名表 其中女生的报名表分别为 3 份 7 份和 5 份 随机地取一个地区的报名表 从中先后抽出两份 1 求先抽到的一份是女生表的概率 p 2 已知后抽到的一份是男生表 求先抽到的一份是女生表的概率 q 解 解 设 i H 报名表是第 i 区考生的 1 2 3 i j A 第 j 次抽到的报名表是男生的 1 2j 则 123 1 3 P HP HP H 111213 7820 101525 P A HP A HP A H 1 分 1 3 11 1 1 37529 3 10152590 ii i PP AP H P A H 3 分 2 由全概率公式得 212223 7820 101525 P AHP AHP AH 4 分 121122123 785 303030 P AAHP AAHP AAH 5 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 23 页 3 22 1 1 782061 3 10152590 ii i P AP H P AH 6 分 3 1212 1 17852 3 3030309 ii i P A AP H P A AH 7 分 因此 12 12 2 20 61 P A A qP AA P A 9 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 24 页 数数 学 试卷四 学 试卷四 一 填空题 一 填空题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 同数学三 第一 1 题 2 同数学三 第一 2 题 3 同数学三 第一 4 题 4 设 A B 均为 n 阶矩阵 21 1 2 2 3 2 3 n ABA B 则 5 设一次试验成功的概率为 p 进行 100 次独立重复试验 当 p 1 2 时 成功次数的 标准差的值最大 其最大值为 5 二 选择题 二 选择题 本题共本题共 5 小题 每小题小题 每小题 3 分 满分分 满分 15 分分 1 同数学三 第二 1 题 2 同数学三 第二 2 题 3 若向量组 线性无关 线性相关 则 C A 必可由 线性表示 B 必不可由 线性表示 C 必可由 线性表示 D 必不可由 线性表示 4 设 A B C 是三个相互独立的随机事件 且 0 P C 1 则在下列给定的四对事件 中不相互独立的是 B A CBA与 B CAC 与 C CBA与 D CAB与 5 同数学三 第二 5 题 三 三 本题满分本题满分 6 分分 求 21 lim tan n n n n n为自然数 解 解 因为 3 2 tan 1 tan 00 tantan limlim1 x x x x x x x xx xxx xx 2 分 其中 2 32 00 tansec11 limlim 33 xx xxx xx 4 分 故 2 1 1 3 0 tan lim x x x e x 5 分 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 25 页 取 1 x n 则原式 1 3 e 6 分 注注 对数列极限直接用洛必达法则 扣 2 分 四 四 本题满分本题满分 6 分分 同数学三 第三题 分值不同 五 五 本题满分本题满分 5 分分 同数学三 第四题 六 六 本题满分本题满分 6 分分 同数学三 第五题 七 七 本题满分本题满分 6 分分 设函数 f x在 a b上连续 在 ba 内可导 且 1f af b 试证存在 a b 使得 1 ffe 证 证 令 x F xe f x 则 F x在 a b上满足拉格朗日中值定理条件 故存在 a b 使得 ba e f be f a eff ba 3 分 由条件 1f af b 得 ba ee eff ba 1 4 分 再令 x xe 则 x 在 a b上满足拉格朗日中值定理条件 故存在 a b 使得 ba ee e ba 2 5 分 综合 1 2 两式 有 1eff 6 分 八 八 本题满分本题满分 9 分分 设直线yax 与抛物线 2 yx 所围成图形的面积为 1 S 它们与直线1X 所围成的图 形面积为 2 S 并且1a 1 试确定a的值 使 12 SS 达到最小 并求出最小值 2 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 解 解 1 当01a 时 如图一 1 22 12 0 a a SSSaxx dxxax dx 1 23323 0 1 2332323 a a axxxaxaa 2 分 令 2 1 0 2 Sa 得 1 2 a 又 1 20 2 S 则 1 2 S是极小值 即最小值 郝海龙 考研数学复习大全 配套光盘 1998 年数学试题参考解答及评分标准 1998 年 第 26 页 其值为 111122 3626 22 2 S 4 分 当0a 时 如图二 01 22 12 0 a SSSaxx dxxax dx 3 1 623 aa 因 2 2 11 1 0 222 a Sa S单调减少 故0a 时 S取得最小值 此时 1 3 S 综上所述 当