夹角距离教案Microsoft Word 文档.doc

立体几何专题之距离点到平面的距离1、求法：（1）定义法：作出点P在平面内的射影A，把PA放在直角三角形中来求。（2）转化法：转化为P到斜线PM的射影MA的距离（线面距离转化为点线距离）在过点P平行于平面的直线上另找一点Q，求Q到的距离在过点P平行于的平面内另找一点Q，求Q到的距离（3）等体积法：（常用于三棱锥体中）2、典型例题例1、已知正方体 ABCD- A1B1C1D1是棱长为的正方体，M、N分别是，的中点求到平面BMND的距离 求到平面 CNM的距离例2、如图已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2,E是OC的中点，求C到面ABE的距离. 例3、如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 求：（）求的长； （）点到平面的距离 例4、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的边长为，侧棱AA1=2a,M、N分别为AA1、BB1的中点，求：C到平面MNB的距离。（等体积转化法）直线到平面的距离（线面距离转化为点到面的距离）1、求法：在直线上选择合适的点，求该点到异面的距离即可2、例题讲练例1、长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求直线BD到平面AB1D1的距离.例2、边长为a的正方形 ABCD的中心为O，且OP 平面ABCD，P到AB的距离为a，求直线CD到平面PAB的距离。平行平面间的距离1、求法：平行平面间的距离转化为点到平面的距离，再求解。2、例题讲练例1、在长方体 ABCD- A1B1C1D1中AB=4，BC=3，CC1=2，求平面A1BC1和平面ACD1间的距离。例2、正方体 ABCD- A1B1C1D1中 AB=a，M、N、E、F分别是 A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点 求 证：平面AMN/平面EFDB 求平面AMN与平面EFDB的距离二面角求法一、定义法：即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的垂线即得二面角的平面角.FG例1（2009全国卷理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点M在侧棱上，=60（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的余弦值大小。证（I）略 解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，过F点在平面ASM内作，GF交AS于G，连结AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中点，AMSC， GFAM，GFAS，又为AM的中点，GF是AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角. ，则，又，是等边三角形，在中，例2、如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AEAD后推出AE平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为）A图3PBl二、三垂线法：此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 例3、(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1） 证明：直线EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 证（1）略解（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.例4、（2008天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形已知（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的正切值大小分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD平面PAB后，容易发现平面PAB平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角的大小为）P图5lCBA三、垂面法例5：空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.:分析与略解：如图5，分别作PA于A，PB于B，则易知l平面PAB，设l平面PAB=C，连接PC，则lPC.分别在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.分别在PAB、ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBC cos=PA2+PB2-2PAPB cos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.四、射影面积法（）例6（2008北京理）如图，在三棱锥中，ACBEP（）求证：；（）求二面角的大小；分析：本题要求二面角BAPC的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法。解：（）证略（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，ACE是ABE在平面ACP内的射影，于是可求得：，则，设二面角的大小为，则二面角的大小为ABCEDP五、补棱法：本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例7（2008湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解: （）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.ABCEDPFGH在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是六、变式二面角的求法6.1平面图形折转后的二面角的求法CBAO1OD图7(2)FEAO1ODCB图7(1)E例8(2005年湖南试题)如图7(1)，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图7(2).()求证：ACBO1；()求二面角O-AC-O1的大小.分析与略解：()OO1是等腰梯形ABCD的对称轴，它将等腰梯形分成全等的两个直角梯形，随着折转发生，它们相对的位置关系有了变化，但本身的大小和形状却没有任何变化，因此在图6(2)中，AOB是直二面角A-OO-B的平面角，AOBO，AO平面OBCO1，OC是AC在平面OBCO1内的射影.欲证ACBO1，则只要证OCBO1，问题纳入平面OBCO1之中.易知在RtO1OB中，OO1B=60o，则O1OC=30o，所以OCBO1，于是得证.若在图6(1)中也画出相关的线段，就看得更清晰了.()由()知BO1平面AOC，设BO1与OC的交点为E，作EFAC于F，连O1F，则O1FAC，O1FE是所求二面角的平面角.可依次求得AO1=，AC=，O1F=，O1E=，则在RtO1FE中，sinO1FE=，故所求的二面角的大小为arcsin.RtO1FE被挤在一个十分狭窄的空间内，不容易分清谁是直角，谁是锐角，可单独将它画出来，以避免混淆.对于折转问题，将原来的平面图形与折转后的空间进行比照是很好的一种策略.6.2 求二面角转移法转化是重要的数学思想之一，当所求的二面角为钝角时，可先求其“补角”.转移也是一种转化，就是将待求的二面角转移到另一个简单的环境之中，从而得解.例ADCBB1C1A1图8GE9、 (2005年重庆高考试题)如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求()略；()二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.分析与略解：()因为垂直关系集中在E点的周围，所以过E作EGA1B1，则EG面BB1C1C，EGEB1，又AEEB1，所以AEG为二面角A-EB1-A1的平面角.这叫平行转移，给解题带来了极大的方便.又EGAB，故易得tanAEG=tanBAE=.图9EDCBAl6.3有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.例10、 二面角-l-的大小是变量，点B、C在l上，A、D分别在面、内，且ADBC，AD与面成角，若ABC的面积为定值S，求BCD面积Q的最大值.分析与略解：如图9，作AEBC于E，连DE，则由ADBC得BC平面ADE，则DEBC，AED=，ADE=.在AED中，由正弦定理得，所以，DB1图1AOA1CBD1C1O1则当时，有Qmax=2S.BCD和ABC有公共的底边BC，则它们的面积比等于对应高之比。二面角作业答案：1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值大小为.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=，故所求二面角的大小为arctan.将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的大小为 .在图1中，A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cosA1OC1=，那么所求二面角的大小为arccos.更有趣的是，还可求得tanO1OC1=，所以二面角A1-BD-C1的为大小为2arctan.又tanC1OO1=，所以二面角A1-BD-C1的大小又可为2arctan.其实，三个值都是相等的，那么arccos与2arctan及2arctan就在本质上取得了沟通.图4B1AA1BEF2、如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1ABB1的正弦值大小.分析与略解：.作A1EAB1于AB1于E，则可证A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，DAM图6ECBC1A1B1HG则在RtA1EF中，sinA1FE=，故二面角A1ABB1的大小为arcsin3、如图6，平面外的A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的余弦值大小.分析与略解：分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1，则A1B1C1A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=，所以等腰A1B1C1的面积为，A1D1B1C1EDBCA图5又正ABC的面积为.设所求二面角的大小为，则cos=，所以.4、如图5，E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1