竞赛中巧妙构造函数及其应用.doc

第42届IMO第二题的溯源、推广及其它 第42届IMO(2001年)第二题为：设a、b、cR(下文中的a、b、c意义与此同，不再说明)，则 (1)近期已有多篇文章研究了此题的证明与推广(如110)，本文将首先追溯此题的源头，然后给出(1)及其相关不等式的推广。 一、试题溯源 此题源头最早可追溯到1968年A.Zulauf在文11对于修改循环和g (x，x，x)=，(x(i=1,2,n),n3，x=x，x= x，下文中的x意义与此同，不再说明)建立的不等式 1 g (x，x，x) 1 (3) 设a0(i=1,2,n)，在 (3)中令 ， (4)则得文12中的不等式： 1 (3.1)当n=3时，(3.1)为 (3.2)(3.2)显然等价于13中给出的不等式： 1 (3.3)加强(3.2)即得到第42届IMO(2001年)第二题即不等式(1)。很显然(1)等价于1 (5)顺便指出，(3.1)也是一道竞赛题；同时在(1)中令,且 0 (i=1,2,n), ,，由左边的不等式可得第26届(1985年) IMO的一道备选题： n1 (2.2) 二、试题即不等式(1) 的推广文4-8给出了(1)的一个推广： 设a、b、cR,8，则 (6) 很显然，当0 1 (7)8、10还将(6)推广到n个的情形：设a 0（i=1,2,n），则当1时，有(8)与(7)类似，当0 1 (9)考虑 (6)、(7)式中各项的指数推广，我们有猜想：(I)当31且 0；或 0时，有()()() (10)(II) 当0 0时，有()()() 1 (11)此猜想等价于猜想：设a、b、c、R, 则 (I) 当log3;或 0时, (10) 成 立;(II) 当0 0 (i=1,2,n), ,R，则(I)当n1且 0；或 0时，有 (12) (II)当0 0时，有 1 (13)猜想：设 0 (i=1,2,n), ,R，则 (I)当logn,或 0时,(12)成立;(II)当0 logn时 (13)成立.注记：在 (12)中取=,= n1= n1(m,n N,m2, n3)可得到罗增儒教授在9给出的(1)的一个推广(即9的推广3(1)：1 (14)作变换 ，知(14)等价于(即9的推广3(2):1 (15)三、不等式(1) 左边的上界及其推广2000年11月，刘保乾在14中通过增大或减少各项的指数得到如下的猜想不等式： (16)吴善和,舒金根,李建潮用不同的方法先后给出了(16)的证明。安振平在文19给出了(16)的一个类似不等式 (17)并提出如下猜想不等式：当时，有 (18)运用计算机作了大量的验证,发现上述猜想不等式应当修正为：猜想3(I)当时，(18)成立；(II)当0 时，有 (19)它等价于猜想(I) 当0 时，有 (20)(II)当 时，有 2 (21)很显然猜想又等价于猜想(I) 当0 时，有 (22)(II)当 时，有，则可得出不等式(1) 左边的上界 2 (24)推广到n个，有猜想设a(i=1,2,n) ，n3，a=a，R，则(I)当0 时，有 (25)(II)当时，有 n1 (26)考虑(22),(23) ,(25),(26)的指数推广，我们有猜想5：设a、b、c、R 则(I)当0 log 时，有()()()2 (28)猜想6：设a(i=1,2,n) ，n3，a=a，R，则(I)当0 ()1时，有 n1 (30)参 考 文 献1第42届IMO中国代表队.第42届IMO试题解答.中等数学,2001,5.2魏维,等.第42届国际数学奥林匹克试题解答集锦.中等数学,2002,2.3安振平.千海军.由一道竞赛题引发的思考.中学数学教学参考。2001,124龚浩生,宋庆.IMO42-2的推广.中学数学.2002.1.5沈家书.第42届IMO试题二研讨.中学数学月刊.2002.2.6相生亚,裘良.第42届IMO试题2的推广,证明及其它.中学数学研究(南昌),2002.2.7杨卫华,王卫华. 第42届IMO第2题的再探究. 中学数学研究(南昌),2002,58王卫华.第42届IMO第二题的简证、推广和变形.中学教研(数学),2002,7.9姜卫东. 第42届IMO第2题简证,中学数学月刊,2002,4.10罗增儒.IMO42-2探索过程,中学数学教学参考,2002,7.11 Zulauf,A.: Note on the expression. .Math. Gaz. 42, 42,1958 .12匡继昌.常用不等式.P136,127(8).湖南教育出版社,1989。13安振平.一个不等式的下界估计.中学数学月刊,2001,12.14刘保乾.试谈发现三角不等式的种模型.中学教研(数学).2000(11).15吴善和.一个猜想不等式的证明与推广.中学教研(数学).2001(4).16舒金根.一个不等式简证、推广及其它.中学数学月刊.2001(5