参照系变换.doc

参 照 系 变 换邓敛冰前 言如果说力学是中学物理的根基，牛顿三定律是力学的基石，那么正交分解法、参照系变换则是运用牛顿三定律解决具体力学问题的两大支柱，是中学力学的两大基本分析方法，是力学的两条“腿”。离开前者，走不动，离开后者，跑不远！只要具备一定物理基础知识和逻辑思维能力，经过几个课时全面系统的训练，要掌握这两大基本方法，难度并不大。本文力求从基础知识、具体方法步骤两个方面，对参照系变换做一个相对系统的阐述，希望能起到一个抛砖引玉的作用。一、 基础知识（一）相关概念、定义及其说明。1、参照系：在研究物体运动的过程中，我们通常要选择一个系统（或者说物体）作为标准（认为该系统或物体是静止不动的），这个系统就叫参照系（或参照物）。运动是相对的。一个物体是运动还是静止，物体的位移、速度、加速度的大小、运动的轨迹等均取决于参照系的选取。 参照系的选取是任意的。选择任何系统作为参照系，从理论上讲都是允许的。但在中学物理中，参照系的选取要坚持三条原则：一是惯性原则。二是统一原则。就是说各物理量必须是相对同一参照系而言的，否则得不出正确的结论。三是有利原则。就是说参照系的选取要使运动的研究变得简单、清晰、明了，有利于问题的解决。参照系变换的目的也正在于此。不做特别说明时，我们一般默认地面为参照系。 在参照系变换中，对系统问题进行研究时，往往选择系统质心作为参照系，这就是所谓的质心系。质心系是参照系变换的重点和难点。选取质心作为参照系，不但能大大简化计算，也往往能使相对复杂的力学问题变得简洁、清晰、明了，使整个物理过程了然于胸。长期运用，不仅能加深对相关力学规律本质的认知，而且能使各力学知识点融会贯通，为高起点解决力学问题提供崭新的思路。它是沟通对力学现象感性认识与理性认识的桥梁，从根本方法上提高了把握和解决复杂力学问题的能力。深入掌握这一方法、思想，对深入学习、了解力学，提高力学整体思维能力具有里程碑式的意义！2、惯性参照系：通俗讲，一切相对于太阳系静止或做匀速直线运动的物体都可作为惯性参照系。由于地球自转和公转的速度很小，地面可认为是近视的惯性参照系。3、非惯性参照系：一切相对于太阳系做加速运动的物体都是非惯性参照系。4、系统质心：顾名思义，就是系统的质量中心。一般情况下，可近视认为系统的质心与重心重合。质分布均匀规则的单个几何体的质心在其几何中心。5、系统质心的位移：顾名思义，就是在某一运动过程中，系统的质心的位移。6、系统质心的速度：顾名思义，就是系统的质心运动的速度。7、系统质心的加速度：顾名思义，就是系统的质心运动的加速度。8、系统所受的合外力：系统各质点所受力的矢量和。（二）理论依据。1、系统质心位置计算。理论依据：杠杆原理。A、双质点系统质心位置的计算（一维空间）：设两质点质量及其在数轴上的坐标分别为：M1（X1）、M2（X2）设系统质心坐标为X，据杠杆原理有:(X-X1)M1=(X2-X)M2,整理可得: X=（M1X1+M2X2）/（M1+M2）所以，系统质心坐标X满足下面关系式：X=（M1X1+M2X2）/（M1+M2）B同一平面上的三质点系统质心位置的计算（二维空间）：设平面内各质点质量及坐标分别为：M1（X1、Y1）、M2（X2、Y2）、M3（X3、Y3），系统质心坐标为（X，Y），则：X=(M1X1+M2X2+M3X3)/（M1+M2+M3）Y=(M1Y1+M2Y2+M3Y3)/（M1+M2+M3）证明从略。C、三维空间多质点系统质心位置的计算：设空间各质点质量及坐标分别为：M1（X1、Y1、Z1）、M2（X2、Y2、Z2）、M3（X3、Y3、Z3）、则系统质心坐标为: X=(M1X1+M2X2+M3X3+.)/ （M1+M2+M3+.）Y=(M1Y1+M2Y2+M3Y3+.)/ （M1+M2+M3+.）Z=(M1Z1+M2Z2+M3Z3+)/ （M1+M2+M3+.） 2、系统质心的位移：可通过计算质心初始位置，最终位置来确定，亦可由相关运动学公式及质心的速度、加速度等来确定。3、系统质心的速度公式： 为了更好的理解,先从特殊的实例入手。例1：设两小球M1、M2的质量均为M，初始时，相距10米，小球M1静止不动，小球M2以2米/秒沿M1M2方向做匀速直线运动。（1）问T=5秒，T=10秒时，M1、M2系统质心位移的大小；（2）问前5秒内、10秒内M1、M2系统质心的平均速度；（3）试猜测M1、M2系统质心做何运动，并加以证明。（4）若M1、M2质量不相等，结论（3）是否成立；（5）若M1、M2均不静止，均在直线M1M2上做匀速直线运动，速度分别为V1、V2（选M1M2方向为正方向），其它条件不变，问系统质心运动的速度。（6）由上你可总结出什么结论。（7）若M1、M2不在同一直线上运动，要使你得出的结论成立，需要对你得出的公式做何说明。（8）对于多质点系统，结论是否仍成立。解：（1）以M1为原点，M1M2方向为正方向建立数轴。则由双质点系统质心位置的计算公式可得：质心初始位置坐标： S0=（M1X1+M2X2）/（M1+M2） =（M*0+10M）/2M=5米T=5秒时，质心坐标为：S5= M*0+M（10+2*5）/2M =10米T=10秒时，质心坐标为：S10= M*0+M（10+2*10）/2M=15米所以，T=5秒，T=10秒时，M1、M2系统质心位移的大小分别为：5米、10米（2）由（1）计算可知：前5秒、10秒内M1、M2系统质心的平均速度分别为：1米/秒、1米/秒（3）猜想：M1、M2系统质心做匀速直线运动证明：设时刻T时，质心位移为S，则：质心初始位置坐标： S0=5米T时刻，质心坐标：S1= M*0+M（10+2T）/2M米 所以， S=S1-S0 = M*0+M（10+2T）/2M-5 =5+T-5=T米位移S与时间T成正比，所以M1、M2系统质心做匀速直线运动，速度V=1米/秒。（4）设时刻T时，质心位移为S，则： 质心初始位置坐标： S0=（M1X1+M2X2）/（M1+M2） =（M1*0+10M2）/（M1+M2） =10M2/（M1+M2）米T时刻，质心坐标：S1= M1*0+M2（10+2T）/ （M1+M2） =M2（10+2T）/（M1+M2）米所以， S=S1-S0= 2M2T/（M1+M2）米所以，质心速度： V=2M2/（M1+M2）米/秒结论（3）仍成立。（5）设时间T刻时，质心位移为S，则： 质心初始位置坐标： S0=（M1X1+M2X2）/（M1+M2） =（M1*0+10M2）/（M1+M2） =10M2/（M1+M2）米T时刻，质心坐标：S1= M1V1T+M2（10+V2T）/ （M1+M2）米 所以， S=S1-S0= M1V1T +M2V2T）/ （M1+M2） =T（M1V1 + M2V2）/（M1+M2）米所以，质心速度：V=（M1V1 + M2V2）/（M1+M2）（6）双质点系统在同一直线上做匀速直线运动，其质心运动速度等于系统总动量除以系统总质量。（7）若M1、M2不在同一直线上运动，要使你得出的结论成立，只需要将各矢量之间加法运用平等四边形法则进行运算即可。（8）对于多质点系统，结论仍成立。证明略。从上例通过不完全归纳可知：对于多质点系统，若各质点质量及对应速度分别M1、V1，M2、V2，M3、V3则系统质心的速度V可表示为：V=（M1V1+M2V2+M3V3+）/( M1+M2+M3 +）从上式亦可得到如下结论:系统不受外力作用时,其质心总是保持匀速直线运动状态或静止状态,直到外力迫使其改变为止。即牛顿第一定律对系统同样成立。4、系统质心运动的加速度公式：为了更好的理解,先从特殊的实例入手。例2：设两小球M1、M2的质量均为M，初始时，相距10米，小球M1静止不动，小球M2受到力F2作用，以2米/（秒*秒）的加速度从静止开始沿M1M2方向做匀加速直线运动。（1）问T=5秒，T=10秒时，M1、M2系统质心位移的大小；（2）问前5秒内、10秒内M1、M2系统质心的平均加速度；（3）试猜测M1、M2系统质心做何运动，并加以证明。（4）若M1、M2质量不相等，结论（3）是否成立；（5）若M1、M2均不静止，分别受到力F1、F2作用，在直线M1M2上做初速度为0的匀速加直线运动，加速度分别为a1、a2（选M1M2方向为正方向），问系统质心运动的加速度。（6）由上你可总结出什么结论。（7）若M1、M2不在同一直线上运动，要使你得出的结论成立，需要对你得出的公式做何说明。（8）对于多质点系统，结论是否仍成立。解：（1）以M1为原点，M1M2方向为正方向建立数轴。则由双质点系统质心位置的计算公式：质心初始位置坐标： S0=（M1X1+M2X2）/（M1+M2） =（M*0+10M）/2M=5米 T=5秒时，质心坐标：S5=M*0+M（10+2*5*5/2）/2M=35/2米T=10秒时，质心坐标：S10= M*0+M*（10+2*10*10/2）/2M =55米所以，T=5秒，T=10秒时，M1、M2系统质心位移的大小分别为：25/2米、50米（2）由（1）计算可知：前5秒内、10秒内M1、M2系统质心的平均加速度分别为：1米/（秒*秒）、1米/（秒*秒）（3）猜想：M1、M2系统质心做匀加速直线运动证明：设时间T时，质心位移为S，则：质心初始位置坐标： S0=5米T时，质心位置坐标：S1= M*0+M（10+2T*T/2）/2M米 所以， S=S1-S0 = M*0+M*（10+2T*T/2）/2M-5 =5+T*T/2-5=T*T/2米位移S与时间T*T成正比，所以M1、M2系统质心做初速度为0的匀加速直线运动，速度A=1米/（秒*秒）。（4）设时间T时，质心位移为S，则： 质心初始位置坐标： S0=（M1X1+M2X2）/（M1+M2） =（M1*0+10M2）/（M1+M2） =10M2/（M1+M2）米T时，质心坐标：S1= M1*0+M2（10+2T*T/2）/ （M1+M2） =M2（10+T*T）/（M1+M2）米所以， S=S1-S0= M2*T*T/（M1+M2）米所以，加速度a=2M2/（M1+M2）=F2/（M1+M2）米/（秒*秒）结论（3）仍成立。（5）设时间T时，质心位移为S，则： 质心初始位置坐标： S0=（M1X1+M2X2）/（M1+M2）=10M2/（M1+M2）米 T时刻，质心位置坐标：S1=M1a1T*T/2+M2（10+ a2T*T/2）/ （M1+M2）米所以，S= S1-S0= （M1a1*T*T/2+M2a2T*T/2）/（M1+M2） =T*T（M1a1 + M2a2）/2（M1+M2） =（M1a1 + M2a2）/（M1+M2）T*T/2米所以，加速度V=（M1a1 + M2a2）/（M1+M2） =（F1+F2）/（M1+M2）米/（秒*秒）（6）双质点系统在同一直线上做匀加速直线运动，其质心运动加速度等于系统所受合外力除以系统总质量。（7）若M1、M2不在同一直线上运动，要使你得出的结论成立，只需要将各矢量之间加法运用平等四边形法则进行运算即可。（8）对于多质点系统，结论仍成立。证明略。从上例通过不完全归纳可知：对于多质点系统，若各质点质量及对应加速度分别M1、a1，M2、a2，M3、a3则系统质心的加速度a可表示为：A=（M1a1 + M2a2+M3a3+）/( M1+M2+M3 +）从上式亦可得到如下结论:系统所受的合外力除以系统的总质量等于系统质心的加速度。即牛顿第二定律对系统同样成立。以上内容其实均来源于“质心运动定理”。4、伽利略相对性原理：在一切惯性系中，所有力学规律都是等同的。即只要将各物理量转化成相对于新选定的惯性系而言的量，那么可依据牛顿及相关力学规律进行运算，只是计算的结果也是相对新选取的惯性系而言的。5、位移、速度、加速度的的叠加。（以速度为例）Vac=Vab+Vbc， Vac=-Vca 注意：（1）Vac表示物体A相对于物体C的速度； （2）Vac=-Vca中负号表示方向相反；（3）Vac=Vab+Vbc中的+意为矢量加法。（4）记忆方法：将Vac=Vab+Vbc中的V去掉即可得a-c=a-b+b-c。（5）位移、加速度亦具有该特性。 （6）两速度位于同一直线上，可选定正方向后直接进行代数运算，与正方向相反记为负即可。举例说明如下：例3：设雨相对于风的速度竖直向下，大小为17.2米/秒，雨相对于地的速度向下偏东30度，大小为20米/秒，均如求风相对于地的速度大小和方向。解：V风地=V风雨+V雨地，又V风雨=-V雨风，所以V风地= V雨地-V雨风，于是可由三角法则可求出：V风地方向水平向东，大小为10米/秒。二、解题的具体方法步骤参照系变换可大致分为两种情况：单个运动物体的坐标系变换和多个物体组成的系统的坐标系变换。根据解决高中力学问题的需要，在这里先暂不不介绍非惯性系参照系变换等相关内容。（一） 单个运动物体的坐标系变换方法步骤：1、选取适当的参照系。2、将原参照系中各物理量转换成相对于新选的参照系而言的物理量。3、运用相关力学规律在新选取的参照系中进行推理、求解。4、还原。因为原命题中的提问往往是针对原参照系而言的，而在新选取参照系中求得的结果是相对于新参照系而言的，所以如果需要，则要运用矢量叠加等相关知识将新选取参照系中求得的结果再转化成原参照系中的物理量。下面举例说明如下：例4：一网球运动员挥拍以速度V迎击以速度v飞来的网球（假定球拍与网球发生完全弹性正碰，且球拍质量远远大于网球质量），试问网球返回时的速度？解：a、选取以速度V运动的球拍为参照系，以球拍运动的方向为正方向。b、那么由速度叠加相关知识易知：小球在新参照系中的速度（即小球相对于球拍的速度）为：-（V+v）c、由完全弹性正碰相关知识可知，由于球拍的质量远远大于网球质量，发生完全弹性正碰后，网球将原速返回。所以网球返回的速度为：V+v（相对新系球拍而言）。d、于是可知球相对于地面的速度为：2V+v。例5：光滑水平桌面上自然伸长的钢性细绳AB。长为R，B端与质量为m的小球相连，现突然使A端以垂直于细绳的速度V在水平桌面内向前做匀速直线运动。问（1）细绳中的张力T的大小？（2）试简单描述小球的运动情况。解：（1）选以速度V匀速运动的A点为参照系。取A点运动的方向为正方向。 那么小球相对A点的速度为：-V。即小球相对于A点做速率为V的匀速圆周运动。于是：T=mV*V/R（2）细绳的A点前做匀速直线运动，小球则绕A点做匀速圆周运动。（二）多个物体组成的系统的坐标系变换（一般取质心系）方法步骤：1、选取系统质心为参照系，确定正方向，分析质心运动情况。（这里只研究质心静止或做匀速运动情况，即系统不受合外力，或所受合外力为0，以及在某个方向上不受合外力三种情况）2、将原参照系中各物理量转换成相对于新选的质心系而言的物理量。3、运用相关力学规律在新选取的质心系中进行推理、求解。4、还原。因为原命题中的提问往往是针对原参照系而言的，而在新选取质心系中求得的结果是相对于新参照系（质心系）而言的，所以如果需要，则要运用矢量叠加等相关知识将新选取参照系中求得的结果再转化成原参照系中的物理量。例6：一带有支架的木块位于光滑水平地面上，木块、支架总质量为M，支架上用细线挂有一质量为m的摆球，摆线质量不计，长为R。初始时，整个装置静止，支架所在平面与左右方向垂直。今有一质量为m的子弹以速度V0从左往右垂直射入摆球m，并立即停于摆球中，与摆球一起运动。其后运动中摆线的最大偏角一直小于90度，且支架不倾倒。问：（1） 木块的最大速率？（2） 摆球m在往后的运动中达到最低点时的速度大小与方向。（3） 以初始位置为参考点，小球能上升的最大高度。（4） 小球经过最低点时绳中的张力T。（5） 简要描述系统的运动情况。（6） 小球m的振动周期T0。解：1、计算质心运动情况：子弹与小球相碰，属完全非弹性碰撞。设小球被击中后瞬间，与子弹一起运动的速度为v，取水平向右为正方向，则有：mVo=（m+m）v，可得：v=Vo/2 （1）对整个系统而言，水平方向不受外力作用，水平方向动量守恒，质心在水平方向做匀速运动。设质心运动速度的水平分量为Vc。则有：mVo =（M+2m）Vc，可得：Vc = mVo /（M+2m） （2）2、选取（水平方向）以速度Vc向右匀速运动的质心为参照系。初始时：小球与子弹的速度V球=v-Vc=MVo/2（M+2m） （3） 支架与木块的速度V支=0-Vc=-mVo/（M+2m） （4） 分析：（在正式解答中，此步骤可省）为分析更方便、直观，可视整个装置位于以Vc向右匀速运动的M平面上，那么装置质心相对为M平面在水平方向上保持“静止”。若人立于M平面上，观察到的运动可简化为：小球（与子弹）以初速度V球 从最低点向右运动，支架则以初速度V支 向左运动，总个运动过程中，系统质心在水平方向上一直保持“静止”。开始，小球离开质心向右运动，支架离开质心向左运动，直到小球达到最右端最高处，同时，支架达到最左端，此时整个装置“静止”（相对于M平面）。接下来，小球开始“回头”向左运动，支架亦同时回头向右运动，都不断靠近质心在此平面上的竖直投影位置（相对于M平面静止），接着，小球与支架同时穿越质心在此平面上的竖直投影位置，分别向左，向右运动，直到支架、小球分别同时达到最右端、最左端，并相对于此平面静止不动。接下来，小球回头向右运动，同时，支架回头向左运动，同时达到质心在此平面上的竖直投影位置，一个运动周期完成，如此往复。至此，整个物理过程一目了然。 3、在质心系中求解：（1）由上分析可知，木块的最大速率均出现在初始位置，大小均为V支（相对于质心系而言）。只是方向相反而已。 （2）摆球在最低处的速度大小均为V球，只是方向相反而已。（3）设小球能上升的最大高度为h。小球达到最高处时，初始时系统的动能全部转化为小球的势能。于是：mgh=2mV球*V球/2+MV支*V支/2 （5）由（3）（4）（5）式可得： h=（8m*m*m+M*M*M）Vo*Vo/8（M+2m）mg （6）（4）T=m（V球-V支）*（V球-V支）/R+mg 值得一提的是：小球球位于最低处时，支架、小球在水平方向均不受外力作用。此时，支架悬挂点无加速度，变换下参照系，即可得到上式。结合（3）（4）有： T=m（g+Vo*Vo/（4R） （7）（5）分析已完成。（6）To=2 M*R/（M+2m）g 运用质心不动及杠杆原理，求出摆的等到效长度即可直接写出上式。4、还原。以上求得各量均是相对于质心系而言的，如果需要，则要依据矢量叠加进行还原。（1）当支架速度与质心速度同向时，支架相对于地面的速度最大。结合（2）（3）式有：V支对地=Vc-V支=2mVo/（M+2m）（2）1、当小球速度与Vc同向时，小球相对于地面速度为：V球+Vc=Vo/2，方向向右。 2、当小球速度与Vc反向时，小球相对于地面速度为：-V球+Vc=（2m-M）*Vo/（2M+4m）。当2m大于M 时，向右；当2m小于M 时，向左；当2m等于M 时，速度为0。（3）h不变。h=（8m*m*m+M*M*M）Vo*Vo/8（M+2m）mg （4）T不变。T=m（V球-V支）*（V球-V支）/R+mg （6）To不变。To=2 M*R/（M+2m）g 例7：质量分别为M1、M2的两个小球系在长为L的不可伸长的轻绳两端，沿东西方向放于光滑水平地面上。初始时，绳处于自然伸直状态，在水平地面上有一质量为M3的小球，以垂直于绳，方向向北的速度V与小球M1发生弹性正碰。求碰撞瞬间，绳中的张力T。解：设M1，M3相碰后瞬间，M1，M3的速度分别为V1，V3。选V的方向（向北）为正方向（此时M2未动，理解，这里不再说明.） 则：M3*V*V/2=M1*V1*V1/2+M3*V3*V3/2 （1）M3*V= M1*V1+M3*V3 （2）由（1）（2）可得： V1=2M3*