侦察机搜索潜艇_数学综合能力测试.doc

数学建模作业 姓名：李昊燃 学号：20134850 专业：物流工程聂轩 20134260 电子信息工程别一凡 20134591 自动化 侦察机搜索潜艇问题摘要 本模型通过对侦察机和潜艇的位置和速度关系进行微分方程的建立以及求解，最后通过对模型的分析的得出最短的航线。 1. 问题重述 侦察机搜索潜艇，设t=0时潜艇在点O，飞机在A,OA=6公里，此时潜艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，潜艇速度20公里/时。飞机以速度40公里/时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到潜艇的正上方时才可发现它。（1）、以为原点建立座标系，点位于的向径上，见下图。分析图中由，组成的小三角形，证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线，上先从点沿直线飞到某点，再从沿一条对数螺线飞行一周，而是一个圆周上的任一点。给出对数螺线的表达式，并画出一条航线的示意图。（2）、为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在点相切，找出这条光滑的航线。（3）、在所有一定的可以发现潜艇的航线中哪一条航线是最短的，长度是多少。光滑的航线的长度又是多少。 2.模型分析 问题一给出了极坐标的形式，可以在建立模型时采用极坐标的方程，及通过对潜艇和飞机位置的变化反映在的变化上面，进而建立关于d的微分方程进行求解；问题二寻找直线段与对数螺旋线相切的航道，可以假设出直线的方程，通过对待定系数求解即可； 问题三是选额航线最短的航道，对螺线进行旋转，改变飞机的方向从而找到至少一个相切的点，带入计算航程，比较即可。 A 3.符号说明：极坐标下角度 r：向径 t:时间 s:弧长（航道长度） 4.模型的建立及求解第一题解：本题坐标系为极坐标系，但便于理解和计算在坐标系中也画出了直角坐标轴。1、证明并找出可行航线。1）、确定对数螺线方程如图，以为原点建立极坐标系，点位于=的向径上。设对数螺线为=。在某一时刻，飞机到达点，且潜艇恰好到达点，位于以圆心的同一圆周上，即。之后，飞机沿M由飞向，潜艇沿航向R，要使飞机搜索到潜艇，则必有飞机与潜艇同时到到达R，即=，又知飞机的速度为潜艇的2倍，则可得： =2由数学分析中极坐标下弧长的积分公式：=可得弧PR的长度为：=可得：=又有：=代入可得：=由式可得：=即对数螺线为：=（）2）、确定点的轨迹圆周设点为圆上任意一点，其中，。如图，要使飞机到达时，潜艇恰好与飞机在同一圆周（其圆心在坐标原点）上，要满足：=即：将其化为极坐标下的方程，可得的轨迹为：3）、确定可行航线,从而原命题得证综上可得，在有限时间内（最长为飞机到达后，再沿对数螺线飞行一周）飞机一定可以搜索到潜艇的航线，是先从点沿直线飞到，再沿一条对数螺线飞行一周。为圆周上任意一点：对数螺线表达式为： =（）其中一条可行航线如图所示：2、寻找光滑航线。1）、确定过的直线：由直角坐标系下的直线方程令：，可得：，令：，则极坐标下直线的方程为：（其中，为直线与向径的夹角，为直线与向径的交点。如图所示）那么过点的直线的方程为：2）、确定对数螺线在点的斜率：令：，由直线的斜率=得：则对数螺线：在点的斜率为：3）、确定直线与对数螺线的切点：要使航线光滑，即直线与对数螺线在圆上切于点，须要满足条件： 在圆上在直线上=在对数螺线对数螺线在的斜率与直线的斜率相等联立式可解得：， ，。即得：点： 直线：对数螺线：=从而得两条对称光滑航线（如图a、图b所示），飞机先沿直线由飞到，再由沿对数螺线飞行一周。3、计算最短航程及光滑航程。1）、求最短航程令最短直线航程为。如图所示，的轨迹为圆，易知到圆距离取最短时为，那么有：=4令最短螺线航程为。由前述对对数螺线=(,)的确定中可知在式中：表示螺线的开合程度，表示在螺线形状不变的前提下将螺线绕极点（原点）进行旋转，并且要保证一定能搜到潜艇 不要变，而()可变，即可以将对数螺线绕极点任意旋转，其与圆的交点均满足要求。分析对数螺线的特点可知螺线上距极点越近的点其绕螺线一周的航程越短，又由对数螺线与圆的位置关系可得，与交于时其螺线航程最短，将代入：=此时可得：。即：=由积分=可求得：=。如图所示，综上可知直线航程取最短时的与螺线航程取得最短时的重合，都为。那么总的最短航程就为最短直线航程与最短螺线航程之和，即最短总航程为：）、光滑航程取得光滑航程时为，此时=，令光滑直线航程为。=令光滑螺线航程为。由积分=可求得光滑螺线航程为：那么光滑航程就为光滑直线航程为与光滑螺线航程为之和，即光滑航程为：=+= 5.模型的评价与改进5.1模型的优点 模型不仅采用微分方程进行计算求解，还给出了具体的航道路线，同时巧妙地将航道最短问题改为将螺线旋转寻找最短弧长问题，显得简单并且减少了计算量。最后，模型采用编程的方法