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三角形中线一条性质的探究、应用与拓展2011-01-03 17:18:50|分类： 我的论文 |标签： |字号大中小订阅 性质：平行于三角形一边的直线被另两边（或另两边的延长线）所截得的线段被这边上的中线（或其延长线）平分。如图，ABC中，AD平分BC，EFBC，求证：AD平分EF.证明：EFBC EGBD=AGAD；FGCD=AGADEGBD= FGCDBD=CDEG = FG.结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”.这条性质的运用，现举例如下：例1. ABC中，DEBC，CD交BE于F，求证：AF平分DE和BC.分析：根据“三角形中线性质定理”，结论中只需证得其一，即可得其二. 证明：过B作BGDC，交AF延长线于点G，连CG.BGDC，DEBCADAB=AFAG；ADAB =AEACAFAG =AEACCGBEBGCF为平行四边形BN=CNDEBCDM=EM.例2 如图，梯形ABCD中，ADBC，B+C=90，M、N分别为AD、BC的中点，求证：MN=1/2(BC-AD).证明：延长BA、CD交于点E，连接EN. BN=CN，ADBC，据“三角形中线性质定理”，EN平分AD，即EN过点M.B+C=90，EN=1/2BC.同理，RtEAD中，EM=1/2AD.MN=1/2(BC-AD).例3 如图，RtABC中，ACB=90，CDAB于D，E为CD中点，AE延长线交BC于点F，FGAB于G，求证：FG2=FCFB.证明：延长GF与AC延长线交于点H. CDAB，FGABCDFGCE=DEFG=FHACB=90HCF=FGB=90HFC=BFGHFCBFGFGFC=FBFHFGFH =FCFBFG2=FCFB.显然，利用比例性质，以上“三角形中线性质定理”可作如下推广(如图所示)：1. ABC中，EFBC，若BDDC=k，则EGFG=k (如图1).2
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