两个有趣的数论问题.doc

两个有趣的数论问题问题1：甲、乙两个教堂的钟声同时响过之后，分别每隔4/3秒和7/4秒再响一声，如果因为在1/2秒内敲响的两声无法区分而被视为同一声，问在15分钟内可以听到多少声响？在15分钟内，甲、乙两个教堂的钟声分别敲响了60154/3 = 675声和 60157/4 = 514声。假设以听甲教堂的钟声为主，即甲教堂的钟声都能听到，乙教堂的钟声与甲教堂的钟声间隔在1/2秒内者听不到，又设这些听不到的钟声数目为x，则在15分钟内可以听到的钟声数为675+514x.设n、m分别是甲、乙两个教堂的钟声敲响的次序数，则1n675，1m514. 由实际意义可知满足不等式组0|（4/3）n（7/4）m |1/2的正整数n和m的个数相等，而这个相等的个数就是x. 0|（4/3）n（7/4）m |1/2 0|16n21m |6 616n21m 6.设16n21m = k（6k 6），解之可得由1n675，1m514可得给k（6k 6）的各允许值，分别解上述不等式组，求得t的允许值个数，即前述方程组解的个数，就是n（或说m）的个数，也就是x.当我们给k的13个允许值，分别解不等式组时会发现，除了当k取5和6时t都有33个对应的允许值之外，k的其余11个取值t都有32个允许值与之对应，所以共有418个t的允许值，即x = 418.所以，15分钟内若不算开始的一声，可听到675+514418= 771声钟响。问题2：任意9个连续正整数之积记作P，它们的最小公倍数记作Q，试确定R = P/Q的最大可能值和最小可能值。先由小到大试验连续正整数的个数：1. 当个数为2时，设2个连续正整数从小到大依次为，b，则b / ，b =（，b）= 1.此时，R的最大、最小可能值都是1.2. 当个数为3时，设3个连续正整数从小到大依次为，b，c，则bc / ，b，c =（b，b，b c）= (（b，b），b c) = (，b c) = (，c)设 (，c) = h，则h|，h| c，h| c-= 2，h = 1，或h = 2.此时，R的最大、最小可能值分别是1和2.3. 当个数为4时，设四个连续正整数从小到大依次为，b，c，d，由=（）=（），（）=（c,d），cd（,b）= （，cd）知，只要讨论（，cd）即可。试验会发现，按被2或3除分类不便推理，而按被6除分类方便。故设= 6n，则b = 6n1，c = 6n2，d = 6n3，所以（，cd）=（6n（6n1），（6n2）（6n3）= 6（n（6n1），（3n1）（2n1）= 6（6 n2n，6 n25n1）= 6（6 n2n，4n1）= 6（n（6 n1），4n1）= 6（n，4n1）= 6（n，1）= 6.其中，第四个等号用了展转相减法，第六个等号用了最大公约数的性质：因为2（6n1）3（4n1）= 1，所以（6n1，4n1）= 1等。同理，当= 6n1，= 6n2，= 6n4，= 6n5时，（，cd）= 2；当= 6n3时，（，cd）= 6.总之，当3整除时，= 6；当3不能整除时，= 2.所以，此时R的最大和最小可能值分别为6和2.4. 当个数为9时，上述推理方法已很难进行，我们改换一个思路。考虑将这9个数分解质因数：因为连续9个正整数不可能两两互质，所以至少有两个数A、B有公有质因数C，即C | A，C | B，所以C |（AB），A、B是连续9个正整数之中的两个，所以| AB | 9，所以C只可能取2、3、5、7，下面逐个考察它们出现的次数： 考察7出现的次数：两个不同的7的倍数至少差7，故这9个数中有1个或2个7的倍数。当有两个7的倍数时，其中可能1个是72的倍数而另1个不是，也可能两个都不是72的倍数，此时，R = P/Q的分解式中7的次幂只能是1；当有1个7的倍数时，无论7的次幂是几，含7的幂必同时出现在P、Q中，此时，R = P/Q的分解式中不含7；总之，R = P/Q的分解式中7的次幂至多是1。同理R = P/Q的分解式中5的次幂至多是1。考察3出现的次数：这9个连续数中必恰有三个3的倍数，其中一个是9的倍数；另两个仅能被3整除，所以R = P/Q的分解式中3的次幂必是2. 考察2出现的次数：这9个连续数中必有五个或四个偶数。当有五个偶数时，除含2的最高次幂同时出现在P、Q中之外，另四个含2最多的情况是“两个只能被2整除，一个只能被4整除，一个只能被8整除”，此时，R = P/Q的分解式中2的次幂最大是1+1+2+3 = 7；当有四个偶数时，除含2的最高次幂同时出现在P、Q中之外，另三个含2最少的情况是“两个只能被2整除，一个只能被4整除”，此时R = P/Q