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第一节 光的反射和折射知识导航：几何光学中问题的分析与解决，大都是基于光路图的分析，所以，作出正确的反射光路图、成像光路图，是解决问题的关键。作图，一方面反映了学生的动手能力，另一面也是把抽象的情景形象化的一种手段，是一种十分有效的帮助分析、解决问题的方法，应关注并加强这方面的训练。在反射光路中，常常利用平面镜成像作图，如已知入射光线确定出射光线、已知出射光线确定入射光线，或是在此基础上确定平面镜的观察范围等，在作图过程中，往往会借助“像”，所以应正确理解像的概念：像是物点发出的光经光学元件后，所有出射光线的交点，即所有出射光线均要过像点，如为实像则是实际光线的交点，如为虚像则为光线的延长线的交点。在折射光路中，一方面要关注折射光路与折射率的关系，当介质或是光的频率不同时，折射率会有所不同，这就会带来折射光路的不同，如光的色散现象的分析等，另一方面要关注临界光路问题，如全反射的临界角，折射光路的边缘光线的光路等。例题展示：例1激光液面控制仪的原理是，固定的一束激光AO以入射角I照射液面，反射光OB射到水平光屏上，屏上用光电管将光讯号变成电讯号，电讯号输入控制系统用以控制液面高度，如果发现光点B在屏上向右移动了的距离到B/，由此可知液面升降多少？解析：若液面下降，光路如图示OO1=BB例2如图所示的ABCD是一个用折射率n2.4的透明介质做成的四棱柱镜(图为其横截面),AC=90,B60，ABBC，现有平行光线垂直入射到AB面上(如图),若每个面上的反射都不能忽略，求出射光线。解析：sinC= C300（1）从AE区域射入四棱柱镜的光线发生生两次全反射后，垂直于BC面射出，光路如a所示（2）从EF区域射入四棱柱镜的光线发生生两次全反射后，垂直于AB面射出，光路如b所示(3) 从FB区域射入四棱柱镜的光线发生生两次全反射后，垂直于AB面射出，光路与b相反（光路可逆）模仿对比： 练习1 一点光源发出一束光经一平面镜反射，打在离地高为h的天花板上，平面镜以角速度匀速转动，如图所示，当平面镜水平时，入射角为，则此时光斑的运动速度是多少？解析：平面镜角速度为，则反射光线角速度为2分解此时光斑的速度：V=2R=，V= V/cos=。练习2 房内高处有一点光源S，它距离墙壁MN的水平距离为L，现从S处以水平速度V0抛出一小球A，A在墙上形成的影子为A/，在球做平抛运动过程中，其影子A/的运动是（ ）A、匀加速直线运动 B、匀速直线运动 C、匀减速直线运动 D、变加速直线运动 解析：h= OA=则：影子做匀速直线运动，选B.练习 3 有半径为2cm的实心玻璃球，球内有一小气泡，当观察者的眼、球心、气泡在同一直线上时，观察者看到气泡距球面1cm。求气泡到球面顶点的真实距离？玻璃的折射率n=1.5解析：如图示AS=h=1cm OB=R=2cm SA=x由折射定律：nsini=sinr在SOB中：在SOB中：因人眼、气泡、球心在一直线上，i,r均很小故：sini=I,sinr=r,sin(i+)= i +,sin(r+)= r+则：x=1.2cm。第2讲 费马原理与折射镜一、费马原理费马原理可表述如下:光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径.费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径.二、球面折射镜成像公式.，横向放大率为: .三、平面折射镜 折射镜公式：。四、球面折射镜的逐次成像第一个球面所成的像,就可看作是第二个球面的物,依次逐个对各球面成像,逐次成像的放大率为:.例题展示：例1、由费马原理导出反射定律.解析:如图所示，找出P点相对于平面MM的对称点P，从P点经平面MM上任一点R到达Q点的路径PRQ的长度与PRQ的长度相等.显然,在所有可能的路径中,以直线路径PRQ的长度为最短,根据费马原理,PRQ为光线的实际路径.由对称性不难看出,此路径满中反射定律,而有i=i,即反射角等于入射角.例2、如图所示，欲使由无穷远处发出的光的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的折射率应为多少? 解析:平行光线要受到两个球面的折射,经右半球面折射的像在球面处,即像距为零,则由 (1)可知,其对应的物距也应为零.由此可知,平行光经左半球面折射时,其像距在2R处.令(1)式中,可以解得:.即透明球体的折射率为2.A例3.有半径为3cm的半球形玻璃透镜，折射率为1.5.若置点光源于透镜之前4cm处的透镜主轴上A点，求光线通过透镜后所成的像将在凸面的哪一侧，并求像的虚实、距凸面的距离. 解析:第一次经球面折射成像： （1）第二次经平面折射镜成像： (2)把,代入(1)式可得:再代入(2)式可得:上式中负号表示像在平面折射镜的左侧14cm处,即像在凸面的左侧,为虚像,距凸面的距离为14cm-3cm=11cm.NNCldBA例4、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d，湖岸边的一点B,B沿湖岸方向与A点的距离为l,一人自A点出发,要到达B点.已知他在水中游泳的速度为v1,在岸上走的速度为v2,且v1v2,要求他由A至B所用的时间最短,此人当如何先择其运动的路线? 解析:根据费马原理,若要人由A到B的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径.这时的水和岸相当于介质,折射率分别为n1、n2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式:，。这时的C实际上为光线发生全反射的临界角.所以,我们不难得到:当时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C的角度游向岸边再在岸上走至B点.当时,人由A直接游到B点.总结:本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦.练习1 直径为1m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率.ir1、解析:由球面折射镜公式: 。可知当时,.由于。物长为，像长为，所以放大率为：。总结:本题求放大率也可用公式: .练习2 一个折射率为1.53、直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡,看上去一个恰好在球心,另一个从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点,求气泡的实际位置.2、解析:在球心处的物体的物距为s=R,由。不难看出物体的像也应在球心.对于另一个球,其像距为:,R=-10cm.，代入球面折射镜公式可得:s=-6.05cm，所以离球心的距离为10cm-6.05cm=3.95cm。练习3 玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为2cm.将它水平地浸入折射率为1.33的水中,沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体,求像的位置及横向放大率.玻璃的折射率为1.5.3、解析:由球面折射镜公式:，代入已知条件:,解得:s=-18cm.再代入放大率公式练习4有一折射率为1.5,半径为4cm玻璃球,物体在距球表面6cm处,求: (1)从物所成的像到球心之间的距离.(2)像的横向放大率.4、解析:物体在两个球面上先后成像,利用球面折射镜的逐次成像法,得: (1) (2) (3)由以上(1)、(2)、(3)式可得: ，。即物体最终的像在球的左边距球面貌一11cm处,距球心为:11cm+4cm=15cm.OCP练习5 有一种高脚酒杯，如图所示杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R = 1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物已知玻璃的折射率n1=1.56,酒的折射率n2=1.34试通过分析计算与论证解释这一现象第 9 页 共 26 页解答：5、解析:(法一)把酒杯放平，分析成像问题图1OiCAPrPn1n0=1(1)未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n01在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成a 角的另一光线PA在A处折射设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为q ，由折射定律和几何关系可得 (1)， ( 2)在PAC中，由正弦定理，有 （(3）)考虑近轴光线成像，a、i、r都是小角度，则有 (4) (5)由 (2)、(4)、(5) 式、n0、n1、R的数值及，可得 （(6） （7） 由(6)、7)式有 。)由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于，即为P点的实像画面将成实像于处在CA P中，由正弦定理有 (9)又有 （10）考虑到是近轴光线，由(9)、(10)式可得 (11)又有 (12)由以上各式并代入数据，可得 (13)由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物2斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有 (14) 代入n1和n2的值，可得 (15)与(6)式比较，可知 (16)由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于，即为P点的虚像画面将成虚像于处计算可得 (17)又有 (18)由以上各式并代入数据得 13cm (19)由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距O点13cm即距杯口21cm虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像(法二)用球面折射镜的成像公式:，笔者认为,还要计算一次平面折射成像:，即像在距眼-16cm,所以人能看到.第3讲 平面镜和球面镜【知识导航】一、成像公式 球面镜成像公式:放大率公式：，对于平面镜，令，表示正立等大.平面镜的像为虚像.二、三条特殊光线和成像作图法(一)经过球面中心C的光线经反射后沿原路返回;(二)平行于主轴的光线经反射后过像方焦点;(三)经过像方焦点的光线经反射后平行于主轴.三、球面镜成像规律(一)凹镜成像规律物的性质物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虚实实物同侧f缩小倒实2f同侧f2f缩小倒实2f同侧2f等大倒实2ff同侧f2f放大倒实f放大f0异侧0放大正虚(二)凸镜成像规律物的性质物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虚实实物0异侧0f缩小正虚例题展示例1.一个点状物体P放在凹面镜前0.05m处,凹面镜的曲率半径为0.20m,试确定像的位置和性质.解析:若光线自左向右传播,如图所示,这时,由，可得:，表示的是像在凹面镜后0.10m处.且为虚像。.例2 如图所示,一凸镜和一平面镜相距28cm,相对而立,平面镜与凸镜的主轴垂直.在距两镜距离相等的主轴上放一点光源.利用遮光板使光线先由凸镜反射,再经平面镜反射,所成的像在平面镜后38cm处.球凸镜的曲率半径.解析:由平面镜成像规律,平面镜中的像所对应的物在平面镜的右方,与凸镜的顶点O相距10cm.对于凸面镜由符合法则可知:,代入球面镜成像公式:。可得:。【模仿对比】1、对于例1的情形,若是光线为自右向左的传播,如图所示,P点的相对位置不变,试确定这时像的位置和性质.解析:如果光线自右向左传播,那么:,由，可得:。表示的是像在凹面镜后0.10m处.且为虚像.总结:由此可知,只要遵守符号法则,计算结果总是正确的.值得注意的是,我们总是习惯于光线的自左向右传播.所以对于这个问题,我们可以设想把图倒过来看,这样的计算可以符合习惯.2、高5cm的物体距凹面镜顶点12cm,凹面镜的焦距是10cm,求像的位置及高度和放大率.并作出光路图.解析:对于凹面镜,由符号法则可知:,代入公式可得:放大率为所以像长.光路图如图所示.3、已知凹面镜的焦距为10cm,物体位于凹面镜主轴上距凹镜15cm,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板,其厚度为2cm,折射率为1.5.求玻璃板放入前后物体的像的移动的方向和距离.解析:先考虑经平面折射镜的成像: (1) (2) (3) 由（1）、（2）、（3）可得： （4）所以经玻璃板两次成像后,距离凹镜为:再对凹镜成像: （5） 求得:没有放玻璃板时:，放玻璃板后的像向左移了5cm.。A1A2O4、有一半径R=0.128m的玻璃半球,过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴,在主轴上沿主轴方向放置一细条形发光体A1A2=l=0.020m,如图所示.若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去,可以看到条形发光体的两个不很亮的像.当条形发光体在主轴上前后移动时,这两个像也在主轴上跟着移动.现调整条形发光体的位置,使得它的两个像恰好头尾相连,连在一起,此时条形发光体的近端A2距球心O距离a2=0.020m.试得用以上数据求出玻璃的折射率n.解析:光在介质分界面上,除发生折射外,还要发生反射,所以题目中所提到的两个像,一个是平面的反射像,另一个是经平面折射后再经球面反射所成的像. 在主轴上取一点A,令它到平面的距离为a,则由平面折射镜公式: 代入符号法则：可得:即A点的像在平面的左方,与平面的距离为,到球面的距离为,考虑到符号法则:,代入球面镜成像公式:，与平面的距离为:。再经平面折射镜成像:，可得:,在平面的右侧.不难看出,a越大,也越大.所以A2的像离平面较近,A1的像离平面较远.所以当经平面反射所成的像头尾相接时,其位置应如图所示.其中A1A2为经平面折射、球面反射再经平面折射后的像. A1A2为经平面反射后直接成的像.由图可知:，.第4讲 薄透镜【知识导航】透镜成像公式:(高斯公式)或若，则.会聚透镜即凸透镜，发散透镜即凹透镜.横向放大率:.二、三条特殊光线（一）与主光轴平行的光线折射后通过像方焦点.（二）通过光心的光线方向不变.（三）通过物方焦点的光线经透镜折射后平行于主光轴. 三、透镜成像规律物的性质物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虚实实物异侧f缩小倒实2f异侧f2f缩小倒实2f异侧2f等大倒实2ff同侧2f放大倒实f放大f0同侧0放大正虚 (一)凸透镜成像规律 (二)凹透镜成像律物的性质物的位置像的位置像的大小像的正倒像的虚实实物0同侧0f缩小正虚例题展示:例1、.光源A位于主光轴上，离透镜二倍焦距.光源B放在在离光轴较近处，并使这两个点光源的连线与光轴成角=30,如图所示.问应当与光轴成多大角度放一块平面光屏,才能在此光屏上同时得到两个光源的清晰像?解析:A通过透镜成的像在处,则可设想从A点发出的一条光线恰过B点,经透镜折射后必过A点,设光屏与主轴夹角,则,即:。ABFFABPQ例2、如题图所示，在凸透镜的主轴上距透镜2倍焦距的B点垂直于主轴放置一物体AB，AB长度为透镜直径的1/4.图中已画出成像的三条特殊光线，AB为AB的像.如果在透镜右侧主光轴上的焦点处垂直于主轴放置一块挡板PQ，要使AB完全消失，则PQ的长度至少应为AB长度的几倍？解析：如图所示,据题意,AB的像的与AB大小相等,且成在两倍焦距处,透镜的直径为,透镜和AB的像AB构成梯形,PQ为其中位线,所以,即PQ的长度至少为AB长度长的2.5倍.例3、如果有一幻灯机,当幻灯片与银幕相距2.5m时,可在银幕上得到放大率为24的像;若想得到放大率为40的像,那么,假设幻灯片不动,镜头和银幕分别移动多少?【解析】根据第一次放映可知 (1) (2) (3) 由(1)、(2)、(3)可得:，第二次放映: (4) (5)可得:，比较和可知镜头缩回1.6mm比较和可知银幕应移远1.54m.【模仿对比】1、如图所示,已知一条入射及其经过透镜折射后的出射光线,求此透镜是凸透镜还是凹透镜,用作图法找到透镜的物方焦点和像方焦点.FFPMO1、解析:如图所示, 过光心O作入射光线的平行线,交出射光线于M点,则过M作主轴的垂线,则垂足必为像方焦点F.显然,透镜为凸透镜.过光心O作出射光线的平行线,和入射光线交于一点P,过P作主轴的垂线,垂足必为物方焦点F.2、物体AB被置于一薄凸透镜的焦点F和光心O之间,并垂直于透镜的主轴.透镜的大小、焦点的位置、物体AB的长度和位置都如附图所示.(1)在下图上用作图法(以透镜中通过光心的一段虚线代表薄透镜)画出凸透镜成像光路和像.SOL1L2S1S2(2)要想看到物体AB的完整的像,眼睛必须处在某一范围内.试作图确定图上的这一范围(用斜线标明.)2、解析：(1)成像光路图如下图所示.(2)眼睛位置在上图中斜线标出的范围内.3、证明薄透镜的成像物距与像距关系的牛顿公式:式中x和x分别为以物方焦点和像方焦点作为参考点的物距和像距.3、证明: ，又,，代入上式可得:4、透过焦距为0.30m的凸透镜观察在平静的水面下0.04m的一条小鱼,若透镜在水面上方0.02m,观察者看到的鱼位于何处?假设鱼位于透镜的主轴上,水的折射率为1.33.4、解析:鱼先经平面折射镜成像: (1)再经凸透镜成像: (2) (3) 上式中d为透镜到水面的距离.考虑到符号法则:,代入(1)、(2)、(3)式可得:,所以像在透镜下0.06m处,即在水面下0.04m的地方.第5讲 共轴光具组 【知识导航】多个光学元件组成的主轴重合的光学系统称为共轴光具组.在近轴的条件下,解决共轴光具组的成像问题,可以采用逐次成像法,即把第一个元件所成的像,看作是第二个元件的物,依次逐个对各个元件成像,最后就能求出物体能通过系统所成的像.前面曾运用这种方法分析了多个球面折射镜存在时的成像，实际上，这种方法适用于各种光学元件.由于前一次的像距为后一次成像的物距,在采用逐次成像法时常用到:,其中dn为第n个透镜和第n+1个透镜之间的距离.共轴光具组的放大率为各光学元件的放大率的乘积,.例题展示例1.一曲率半径R=60cm的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水，水的折射率为，假如装满水后水的的深度比半径A小得多，试问平行光束成像于何处?解析:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像:，再经球面反射成像:由于是水很浅,所以:，令可得:。再经平面折射:，。例2.有一水平的平行平面玻璃板H，厚3cm，折射率为n=1.5.在其下表面2cm处有一个小物体S；在玻璃板上方有一个薄凸透镜L，其焦距为f=30cm，透镜的主轴与玻璃板面垂直；物体S位于透镜的主轴上，如图所示.若透镜上方的观察者顺主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少？解析:经过两次平面折射成像，再经过凸透镜成像.（4）（5） （6）再由,.可得:即L应置于距玻璃板H上表面1.0cm处.【模仿对比】2、两个透镜的焦距分别为、的薄透镜,其间距为0,试证明其复合焦距满中下式:.2、证明:根据薄透镜成像公式,应用逐次成像法:，又, ,由此可得:。3、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜 处，透镜的折射率.若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12处，求最后所成像的位置.3、解析:先求凸球面的曲率半径.平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于点，如图所示.点为球面的球心，由正弦定理，可得: （1） 由折射定律知 （2）当、很小时，由以上两式得 （3） 所以 （4）凸面镀银后将成为半径为的凹面镜，如图所示 令表示物所在位置，点经平面折射成像，根据折射定律可推出: （5）由于这是一个薄透镜，与凹面镜的距离可认为等于，设反射后成像于，则由球面镜成像公式可得 （6）由此可解得，可知位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，经平面折射后，成实像于点. （7）所以 （8），最后所成实像在透镜左方24 cm处第6讲 眼睛和助视镜【知识导航】一、眼睛 近点约10厘米.明视距离通常为25cm近视眼的远点不在远穷远处.对于远视眼,无穷远处的物体所成的像只能在视网膜后面.二、助视镜 助视镜中面向物体的透镱称为物镜,把接近眼睛的称为目镜.把物体置于显微镜的物镜焦点稍外，得到倒立放大实像于目镜的焦点稍内处；再经目镜折射产生放大虚像于明视距离处.通过望远镜观察的象不比原物大，只是相当于把远处的物体移近，增大视角.三、助视镜的放大率光学仪器的放大率指的是视角放大率,对于放大镜而言有:.对于望远镜而言有: ,其中为物镜焦距.对于显微镜而言有:.例题展示yyy例1.如果有一台显微镜,物镜焦距为,目镜焦