微分中值定理及其应用习题课.doc

微分中值定理及其应用习题课一 基本定理1）罗尔中值定理 若函数满足如下条件：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导；（）,则在内至少存在一点,使得注 罗尔中值定理主要用于说明有根，关键是要找两点使这两点函数值相等注 介值定理主要用于说明有根，关键是要找两点使这两点函数值异号（1） 证有根（2）证有根（3）证根唯一的方法（4）证有根，经常对用罗尔定理（5）证至少存在一点，使含的代数式成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理2）拉格朗日中值定理若函数满足如下条件：（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导，则在（）内至少存在一点，使得 注 看到函数增量，或隐含增量（含条件），经常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界，经常要考虑拉格朗日中值定理3）柯西中值定理设函数和满足（i）在上都连续；(ii)在上都可导；(iii)不同时为零；(iv)则存在，使得 注 看到两个函数的增量，或两个函数导数之比，经常要用柯西中值定理4）泰勒中值定理若函数在点存在直至阶导数，则有若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 注 看到有二阶以上导数，经常要考虑泰勒中值定理注 对中值定理为了帮助读者记忆，给出以下口诀一阶有界用拉格，二阶以上想泰勒；中值等式罗拉柯，辅助函数逃不脱；函数增量想拉柯，易积结论用阿罗；多个中值多次用，把握特征心自得二 疑难解答 1极值与最值有什么区别与联系？答1）极值是一个局部概念,因为是函数的极值,是与的某邻域上的函数值比较而言的；而最值是对整个区间而言的,是一个整体概念2）闭区间上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值大于最小值（常函数除外）,但可能无极值（因为极值点必在区间的内部，不能是区间的端点，而最值有可能在端点取）即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值因此若(是函数的最值,则不可能是极值;若（）是函数的最值,则一定是极值即（最值不一定是极值，反之,极值也不一定是最值,极值一般可能很多个,但若极值只有一个,即为最值）3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点，且最大值点是极大值点，最小值点是极小值点 2极值点与稳定点的关系，极值点可能是哪些点？答：1）由费马定理可知,可导的极值点是稳定点2）稳定点未必是极值点例如，为它的稳定点（因为），但由的图像和极值点的定义易知不是的极值点3）导数不存在的点也可能是函数的极值点例如由的图像和极值的定义易知在取得极小值，但在不可导，即极值点未必是稳定点极值点有可能是稳定点和不可导的点3导函数的介值定理有什么作用？答：据此定理可以了解什么样的函数可能成为其它函数的导函数，那么不具有介值性的函数一定不能做为其它函数的导函数，如具有第一类间断点的函数4. 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？如果不成立，能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？答 罗尔定理有三个条件，缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立例如函数在上不满足罗尔中值定理的条件(1)，因为在点处不连续由于，所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图1)；函数，在上不满足罗尔中值定理的条件(2)，因为在点处不可导由于所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图2)函数在上不满足罗尔中值定理的条件(3)，因为在区间端点的函数值不相等，即由于，所以在开区间内找不到使得等式成立的点，如图，无水平切线(图3)尽管如此，但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件例如，函数在不连续，在不可导，但，上点都满足5.为什么不将罗尔条件(i)(ii)合并为在上可导？答 可以，但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数例如函数，y y=f (x)0 3 x，显然时，函数不可导（是初等函数，在处没有定义，则原函数在不可导），即不符合加强条件；但它满足定理的三个条件，有水平切线(图)6.罗尔定理结论中的值唯一吗？ 答 不一定唯一,可能有一个,几个，甚至无限多个例如 在上满足罗尔定理的三个条件显然,在(-1,1)内存在无限多个使得7拉格朗日公式有哪些等价表示形式？答 ； 注 ，令，则有，于是有； 令，则有 注 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数8 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？答：（1）在应用导数极限定理时，如果只注意存在的条件，而忽视了在点的某邻域内连续，则会导致错误的结论，例如在中可导，且，于是有，若认为存在，且，这就导致错误结论，事实上，因为在点0处不连续，当然不可导（2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似1）设在点的右邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点右可导，且 2）设在点的左邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点左可导，且 （3）若函数在点的某邻域内连续，在内可导，极限不存在，一般不能得到不存在的结论例 设函数 则在中连续，且在内可导，显然不存在，但此例说明：导数极限定理中的存在是充分条件不是必要条件9. 若函数在区间上可导，则在区间上的每一点， 有第一类间断点吗？答 若函数在区间上可导，则在区间上的每一点，要么是的连续点,要么是的第二类间断点,即导函数不可能有第一类间断点，由在区间上可导，则在点处的左右导数存在，并且相等，即，由此（1）若在点处的左右极限存在，则根据导数极限定理，在点处的左右极限相等，即，从而在点处连续；（2）若在点处的左右极限至少有一个不存在，则是的第二类间断点101）在上有定义,在内严格递增（减）,那么在上是否一定严格递增（减）呢？2）若在上（严格）递增（减），且在点右连续，则在）上亦为（严格）递增（减），对右端点可类似讨论答： 1）不一定例函数在有定义，在内严格递增，但在上不是严格递增的2）只需证明，这时存在，满足，由在中的（严格）递增性有，令，由在点的右连续性，于是注 （1）证在上严格递增的方法是证，或，而的点只有有限个（2）证在上严格递增，只要证在上连续，在上严格递增11函数在区间上可微，若与在上严格递增有什么关系？答 函数在区间上可微，若 在上严格递增反例：在上严格递增，但，导数可为0注 若函数在内可导，则在内严格递增（递减）的充要条件是：（）对一切，有（）；（）在内的任何子区间上12下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法，正确吗？由函数和在上连续，在上可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对和分别用拉格朗日中值定理得答：不正确，错在对和分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不一定相同，即应该是而柯西中值定理的中两个是一样的13 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？答（1）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中植定理，即：（2）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数反之，在柯西中值定理设，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设，又得到罗尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值定理都是它的特殊情形（3）从应用方面看：（）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在讨论方程的根的分布情况也有重要作用（）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用函数的单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的只是在某点的局部性质，但因中值点的不明确性，故只能假设在整个区间内0，并用以推得在上的递增性质这里存在着整体局部整体的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在（）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数的增量与自变量增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数与的增量比的性质柯西定理的典型应用是讨论型不定式极限在补充了与在点处的函数值之后，利用（介于与之间）使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数值之比的极限14能说明在的邻域上递增吗？答 不能，例函数 所以在点可导，且当时，因此在的任何邻域内可导，但因为且时，所以在的任何邻域内总要变号，故在的任何邻域内都不单调15设函数在上可导证明存在，使得证 因为要证明的结果出现两个函数的增量，因此考虑柯西中值定理设，利用柯西中值定理知存在，使得，即存在，使得上述证法正确吗？答：不对，因为不满足柯西中值定理的条件，可能为016应用洛比达法则须注意哪些问题？1)验证计算的极限是不是不定式极限不是不定式极限不能使用洛比达法则2)除计算型与型两种不定式极限外,计算其他五种不定式型都先要转化为不定型型或型,然后再利用洛比达法则3)洛比达法则的条件为充分条件,若条件不满足(比如不存在（非型）)并不能说明不存在,此时计算极限,就只能用以前所学的有关计算方法4)应用洛比达法则,可能会出现仍是不定式极限,这时只要定理的条件满足,仍可继续用洛比达法则，注意每使用完一次洛必达法则，先要将式子整理化简5)一般来说,应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单,但对少数的不定式极限应用洛比达法则,并不简单,甚至很繁6）为简化运算在每次使用洛必达法则之前进行四化1看到无穷小因子，等价化； 2看到无理因子，有理化； 3看到幂指函数因子，对数恒等式化； 4看到非零极限因子（极限不为0的因子），代入化7）当时，极限式中含有；当时，极限式中含有，不可用洛必达法则 8）不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的17. 试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法（1）分析 上式等号是错误的,因为时的极限不存在（振荡）不能使用洛必达法则当时，极限式中含有，不可用洛必达法则解 （2）分析 第一个等号是正确的，第二个等号是错误的因为本题应考虑及两种不同的极限过程，分两种情况考虑,所以当时极限不存在（3）设， 分析 上式第一个等号是正确的因为当时，所以是型未定式又因为，在=0的某邻域内存在，可以用洛必达法则第二个等号是错误的虽然时，是未定式，但，仅代表在点=0处二阶导数存在而在=0的邻域内是否存在没有说明，不满足洛必达法则中的条件2，故不能用洛必达法则,应该按导数定义计算解 （4）分析 上述运算是错误的因为为自然数，数列的定义域是离散点集，对自变量而言数列不存在导数，不能直接用洛必达法则计算时，可先将扩充为连续变量，写出相应的函数当时，是型未定式，可以使用洛必达法则求函数的极限，再用归结原则显然，如果函数的极限存在，数列的极限也存在且等于函数的极限但也需注意，如果函数的极限不存在，数列的极限可能还存在解 因，所以，当为正整数时（5）求解 = =分析 上述解法是正确的这是型未定式，可应用洛必达法则；而且为了简化运算，在第二个等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单独求极限，避免使用洛必达法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用法则，这样计算大大简化 18试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点?答： 从定理的条件看,泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是函数在点存在直至阶导数；而拉格朗日型余项成立则要求函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数；后者所需条件比前者强 从余项形式看,佩亚诺型余项是以高阶无穷小量的形式给出的,是一种定性的描述；而拉格朗日型余项是用阶导数形式给出的,利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计从证明方法看,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的；而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用得较多；而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用得较多在适当加强的条件下,可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论,即:若函数在点的某个邻域上存在阶连续导函数,则由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型余项公式 19. 若函数在点取极大值,是否可断定的充分小邻域中,函数在点的左侧上升；右侧下降?答：不能， 它有极大值由于 当充分小且时，的符号决定于的符号，而在的充分小的领域内，无限次改变正、负号， 因此不满足定理610的条件由此可见，若在点取极大值，则在点的充分小的领域内，不一定在点左侧上升，右侧下降说明极值的第一充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件注 极值的第二充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件例如 显然， 它有极小值由于 因此不满足极值的第二充分条件定理的条件20.设为区间上的连续函数,且在上仅有唯一的极值点.当为极大（小）值时,为什么必为的最大（小）值?答用反证法来说明.设为区间上的连续函数,只有唯一极小值点,而无极大值点.倘若不是的最小值,则必定,使,不妨设.因为是上的连续函数,利用连续函数的最大、最小值定理,存在为在上的最大值点.现证,这是因为（）,故；()若,由于又是在上的极小值点,而点又是在上的最大值点,因此存在领域,在此邻域内只能为常数,这与为上仅有的极小值点相矛盾.于是,从而成为的极大值点,这与在上不存在极大值点的假设又相矛盾.这样点必为最小值点.同理可证点为极大值点而无极小值点的情形.注为开、闭区间或无穷区间,结论同样成立.上述结论在最大(小)值问题中很有用处.21. 设为开区间内的凸函数，在上可导吗？答：不一定可导,如在处不可导，但它是凸函数.注: 为开区间内的凸（凹）函数，则在内任一点都存在左、右导数，且为内的连续函数22为曲线的拐点与有什么关系？答：1）若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是2) 若，则不一定是曲线的拐点例如，有但因为，所以函数在点的两侧皆为凸，从而不是的拐点3）为曲线的拐点，在的导数不一定存在，例如在的情况三 重点例题1. 已知,证明：在上至少有一根. 分析： 证首先我们选择用介值定理，但是在很难找两点使函数值异号，此方法行不通，但此题很容易将转化为，且对很容易找两点使，于是对用罗尔定理，即可得证.证 令，则在连续，在可导，由罗尔定理知使，即在上有根，即在上有根.2 设函数在闭区间上的每个都有，且，证明在内有且仅有一个，使分析 将要证的结论写成，利用介值定理可证方程在内至少有一个实根，是否存在第二个实根可用反证法+罗尔定理或单调性证 先证存在性，设在上的连续，由于，则 由连续函数的介值定理可知，至少存在一点，使得，即再证唯一性，用反证法：假设在内除了点使之外，还有一点也使不妨设则，即在上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，则，与矛盾，因此在内有且仅有一个，使小结 证明方程只有一个实根或函数在某一区间上只有一个零点，一般需分别证存在性与唯一性存在性的证明往往利用连续函数的介值定理或罗尔定理，而唯一性经常用反证法+罗尔定理或单调性3. 证明：若在有限开区间内可导，且，则至少存在一点，使分析：证我们要联系罗尔定理，但是罗尔定理要求在闭区间内连续，而本题是开区间，怎样把开区间转化为闭区间，必须要端点延拓，即构造辅助函数注：以后看到在有限开区间内连续，且，就可以端点延拓，即构造辅助函数证： 令，则在内连续，在内可导，且，于是由罗尔定理，至少存在一点，使，而在内有，从而存在一点，使4. 设在可导，证明：存在，使得分析：证我们要联系罗尔定理，但是罗尔定理要求在闭区间内连续，且罗尔定理关键是寻找两个点和，使得，很显然，必须借助某一个共同的值，使得对应的两点的函数值与其相等，我们知道，使数值和函数值相等的方法途径有连续函数的介值定理，因此，这个数值必须选择恰当，处在两个函数值之间，因此，必须选定一个函数值，再借助所给的极限条件来完成，证明过程就是将上述思想具体化证：设不为常数，则存在，使得不妨设（注、选定了一个函数值）任取，（选定介值）注意到 利用极限的保序性，存在，使得 由连续函数的介值定理，存在，使得 在上用罗尔定理即可5设函数在上连续,在内可导，且，证明存在使得 法1分析 证存在，使含的代数式成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理构造辅助函数方法（1），因为常数已分离，我们用值常数法，然后对用罗尔定理法2分析 可以看成两个函数增量之比，因此可以用柯西中值定理证：设由题给条件知函数在上满足柯西中值定理条件，故存在使即 ，即 6求极限，其中为常数解：函数增量想拉格 ，其中位于与之间 当时，趋于1，所以 7. 设为上二阶可导函数，,并且存在一点使得，证明至少存在一点使得分析1 看到条件中有，我们经常要用拉格朗日中值定理证1：对上应用拉格朗日中值定理，存在使由于对上应用拉格朗日中值定理，存在使又因，上可导，再据拉格朗日中值定理，存在使得由此得出分析2 看到二阶导数与的关系，我们要联系到凹凸性口诀 一阶导数判单调，二阶导数判凹凸 证2： 反证法，设不存在使得即设都有即凸,（显然通过图像可看出对，都有，矛盾），由凸函数定义有，矛盾8 设在上连续，在内可导，求证： (1) 若，则使； (2) ，使证：(1)分析：当出现两个不同函数在某两点值的差，即，或出现两个不同函数在某点处的导数时考虑用柯西中值定理由，故要证结论成立，只需证明故令，且，则利用柯西中值定理知，使即；(2) 分析 证 令 由函数在上可导，则在上连续，在上可导，又 ， ，则，即满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在，使得 9 设函数上连续，且在内可导，则在内存在点，使得分析 本命题比柯西中值定理少了不同时为零以及两个条件不好用柯西中值定理.由于本题是证至少存在一点，使含的代数式成立的常用方法是构造辅助函数，然后对辅助函数用罗尔定理要证，而左边是函数的导数在处的值，右边是函数导数在处的值，于是问题转化为令证对应用罗尔中值定理证 作辅助函数令满足，即；在上连续，在内可导，由罗尔中值定理，即注 又若不同时为零，则（不然将导致），于是得出此即为柯西中值定理10.设上连续，在可导，证明存在使得口诀 多个中值多次用分析 拉格朗日中值定理只有一个中值点，柯西中值定理中有两个相同的中值点中有两个相同的中值点，并且可以看成两个函数的导数之比，因此右边是用柯西中值定理得到的而左边只是一个中值点，因此是用拉格朗日中值定理得到的证 令，则上连续，在可导，由柯西中值定理有 又由上连续，在可导，再对用拉格朗日中值定理于是类似可证存在使得11. 设函数在上连续,在内二阶可导,则存在,使得.分析 口诀二阶以上想泰勒（证不等式经常用拉格朗日型余项泰勒公式）泰勒公式是用泰勒公式的关键是如何取，而需证等式中出现二阶导数与在，的函数值，合理的方法是取，为和注：题目中如果出现，往往要令证 在泰勒公式中取，分别为和得把上面两式相加,得.不妨设,于是有.在上对应用达布定理,使得,这样就证得. 12. 证下列不等式：1），其中； 2），；3）， 证1）因为在连续，在内可导， 所以由拉格朗日中值定理知， 存在使得 ，因为 ，所以 ，于是 从而 2） 令，则，（此时的符号不易判定），（由于时有）则在上严格递增，于是，从而在上严格递增，于是，即，3）分析：若直接令，则求导比较复杂，需要转化，证，证 原式等价于， 令，则 ，（此时不易判断与0的大小关系） ，（此时不易判断与0的大小关系） 故在内严格递增又在处连续且，所以，从而在内严格递增 又在处连续，且，所以，于是在内严格递增， 且在处连续， 所以即 ，注 证的步骤（1）移项构造辅助函数（有时需要对辅助函数适当变形），使不等式一端为0，令一端即为辅助函数，常常令；（2）求，根据的符号判断的单调性，（有时的符号不易判定，需求，由的符号来确定的单调性，再根据的单调性来确定的符号）；(3)求出区间端点的函数值（或极限值），根据的单调性，得出证明13. 求下列不定式极限： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)；(11)； (12)注 （口诀）先定型后定法，求解过程要四化（乘除中使用，加减不要用）-1看到无穷小因子，等价化； 2看到无理因子，有理化； 3看到幂指函数因子，对数恒等式化； 4看到非零极限因子（极限不为0的因子），代入化解 (1)= =1或 （利用等价无穷小代换）(2)= =(3)= 或 (4)= (5)= =(6)= (7)= = (8) 或(9)= =或(10) (11) = 或 (12) 或 或注 型不定式极限有两种求法：（1）用对数恒等式化为，再化为或；（2）利用公式求解14求函数的极值（）解 ，,令 0，得驻点 而 ，所以 为极大值又 0，所以 为极小值说明 此题为可导函数且在驻点处，所以找出驻点后，用第二充分条件进行判断方便15已知函数问为何值时，取得极值解 ，当时， ， 所以，当时，不存在令，即，得驻点,（将可疑点及按大小顺序排列，把函数的定义域（）分成三个部分区间，讨论在各部分区间上一阶导数的符号）当时，；当时，；当时，故当时，函数取得极大值，当时函数取得极小值由此可见，分段函数求极值的步骤与非分段函数求极值的步骤一样，关键是在分段点求导时，要用导数定义来求若在分段点处的导数为0或不存在，则分段点为可疑点；若在分段点处导数存在，但不等于0，则分段点不是可疑点16 设，（为自然数），其中是连续函数，问当时，在点处是否取得极值？为什么？分析 题中只知道连续，因而也是连续的，但不知是否可导，故不能用导数等于零来求驻点，只能用函数的极值定义来进行判断此外，题中还有自然数，在点是否取极值与有关解 由于在点处