量子信息论的公开问1.doc

量子信息论的公开问题摘要人们在量子信息论中描述了很多公开性的问题。它们中的大部分是在2007年2月11日到16日于班芙的班夫国际研究站算子结构研讨会上发表的。考虑到最近针对p范数可乘性的一些反例，新的材料已被添加了进来。目录1 CPT映射的极点22 CPT映射的凸分解或一个分块矩阵的Horn引理的推广33 广义去极化信道63.1去极化沃纳-霍尔沃信道63.2 广义去极化的发展前景74 随机次酉信道84.1 d=384.2 d395 可加性与可乘性的猜想105.1引言105.2 猜想115.3 寻找反例125.4 具体的可乘性问题145.5 还原到极点145.6 新的反例及其意义156 相干信息和可分解性177 N可表示性的定域不变量181 CPT映射的极点在量子信息理论中，信道以一个cpt映射来表示，它经常被写作Choi-Kraus式的形式：，其中 (1)的典型状态或choi矩阵是： (2)其中是一种最大纠缠Bell状态。Choi10表明Ak能通过非零特征值从的特征向量中获得。我们知道公式(1)中的算子Ak被定义为仅取决于局部等距并且经常被叫做Kraus算子。当一个最小集用Choi的方法获得，该方法使用（2）中的特征向量，它们被定义为退化特征值的混合形式并且我们将它们作为Choi-Kraus算子。Choi表明当且仅当集合在点线性独立时是一个CPT映射集合的极值点。这表明一个极值CPT映射的Choi矩阵有最大为的秩。我们把（2）的秩叫做的Choi秩（注释：这和作为从到的线性算子的秩是不同的）考虑所有Choi秩小于等于d1的CPT映射集是有用的。在47中这些集被称作“广义极点”并且表现的与量子比特映射的极点集合闭包等价。通常情况下这是正确的1。设表示从到的CPT映射的凸集极点 。定理 1. CPT映射的极点集合的闭包正是Choi秩最大为的映射的集合。证明：设为Choi-Kraus算子，其映射为Choi秩的映射，非极值。设为Choi-Kraus算子，一个Choi秩为的真极值点。当时通过令,(m=r+1，r+2,d1)且定义来扩展。存在一个数*使得矩阵在上线性独立。来看这，对每个“叠加” 纵列来赋予一个长度为的矢量并令表示以这些矢量构成列的矩阵。然后令行列式为一个度数为的多项式，此多项式有至多个相异根。因为矩阵被假定为线性相关，那么其中一个根为0；它满足以为第二大的根（或者如果没有正根的话则+1）。因此，算子在上线性无关。映射是CP，其中。对于足够小的，算子是半正定可逆的，并且映射是一个CPT映射，其Krause算子为。因此，我们可以找到使得意味着。可以看出，。 证明完毕当=2时， 通过奇异值分解来说明拥有至多两个Choi秩的CPT映射的Kraus算子能被写为如下形式： （3）其中 ，是在中的一对正交单位向量，是在中的两对正交单位向量。在中这给出了所有的CPT映射。虽然从物理的角度去考虑看起来像人为指定的，在量子香农理论中的几个约简结果要求考虑的映射。问题 1.描述、分类和/或用参数表示CPT映射的极点的集合闭包，其中2且为任意值。虽然在这个问题上是否感兴趣是你自己的权利，我们将给出扩展阅读，在5.5节中我们看到对的CPT映射的推测在的极点闭包中的信道情况下能被还原。2 CPT映射的凸分解或一个分块矩阵的Horn引理的推广 基于与K.Audenaert的合作因为CPT映射的集合是凸的，它能被写成一个极点映射的凸性组合，且也可以满足。对于在量子位上的映射，47中表明如果在上的所有映射是许可的，那么其中只有两个是需要的且为了权重均匀它们可以被选。这种结果可以推广到任何有量子位输出的CPT映射，例如，对，我们可以写为 （4）其中和的Choi秩d。我们推测此结果可扩展到任意CPT映射。猜想2.（Audenaert-Ruskai）令为一个CPT映射。人们会发现CPT映射，其Choi秩最大为使得： （5）CPT映射的伴随矩阵或对偶是一个单CP映射且它对在此形态中重新叙述这个猜想是有用的。猜想3.令为 CP映射，其中。我们会发现单CP映射，其中Choi秩最大为使得 （6）在这个式子中，这个猜想可被看作关于分块矩阵的陈述，且上述式子中对准确地重新描述它很有用。猜想4.令A为一个半正定矩阵，包含个大小为的块矩阵，其中。然后我们会发现块矩阵，每个秩最大为，使得，且 （7）如果猜想4成立，那么猜想3（然后是猜想2）也成立。仅需要令为的Choi矩阵，其中。它将足以证明在情形下猜想5也成立。右乘和左乘矩阵将得到一般情形。（如果M是非奇异的，可能会有微妙的变化）对于，猜想4是Horn引理2 26，27的推论，一个特征值为、对角线元素为的半正定矩阵存在的必要的和充分的条件为随变化而变化。推论2.令A为一个半正定矩阵，其中TrA=1.则存在d个归一化向量使得 （8）证明：注意到任何非负特征值为(其中)的集合决定（majorizes）向量。因此，由Horn引理，我们会发现一个单位矩阵U和一个自伴随矩阵B使得且的对角元素都是。（事实上，U，B可以有实元素。）在表示U的第k列和表示标准基的地方标明。令。则 （9）且由于该单位矩阵的列是规范正交的， 证明完毕 (10)这提示我们使用形式为的分块矩阵的矢量重新叙述猜想（7），其中每个分块为的矩阵。猜想5设A是d2d2的半正定矩阵,该矩阵包含d2d2的大小为d1d1的块矩阵,其对角元素和为M。这时可以发现d2向量由大小为d1d1的d2块矩阵可以表示为： , and （11） m （12）在替代的过程中，没有一般性的同上述形式的的损失。如果X是秩为2的d1d2d1d2的矩阵，通过奇异值分解矩阵可以写成X=UD,其中U，V是单位矩阵，D是对角线元素=0且jd的矩阵。如果只保留d1列，这时就有所需要的形式且。因此，猜想5是霍恩引理分块矩阵的推广。当d2=2，文献47中的定理可引申为猜想4的证明。这时A0即是 (13) 其中，W是缩写形式。W的奇异分解矩阵可写为 （14）其中和是单位矩阵。当是一个d1d1的单位矩阵，矩阵的秩为d1。因此，将（14）带入到（13）中表明：A是两个秩不大于d1且与A有相同对角块的两个矩阵的中点。这个理论表明，要求每一个有和A相同的对角块可能会使猜想得到强化。但是这并不是一定要求有d22,d1=1的限制条件。在推论2的证明过程中，用C=BV(V是单位矩阵)来代替B是很吸引人的。但是，在（10）中我们得到了，它不同于，不需要含有对角元素。霍恩引理的原始证明使用了一个复杂的归纳观点，该观点基于扩展行和列的矩阵的性质。因此，我们知道当=2或者=1时（11）成立，我们就拥有了（可能是非凡的）双感应理论的切入点。虽然Audenaert已经找到了大量的关于猜想2-5有效性的数据依据，证明看起来依然是难以捉摸的。3 广义去极化信道3.1去极化沃纳-霍尔沃信道沃纳-霍尔沃信道已经被广泛的学习研究，尤其是在联系到推测的最大输出p范数可乘性，定义为。当d=3，p4.79时最大输出p范数不倍增。但是，当时有。对于更大的d只有相应更大的p才可以得到一个可乘性的反例。事实上，文献22已经讨论过当时WH信道是可乘的。信道映射任何纯态的到（其中）。因此，当d大的时候，信道更像是一个完全错乱的映射（虽然这绝对不是纠缠态被破坏EB）。这样我们自然会想到 （15）的信道形式，也会让人疑问这是不是也满足当时猜想（23）的可乘性。当d=3,x=,信道形式变为。上述（15）式的信道形式实际情况绝不是纠缠态被破坏EB。Ritter42在不同的背景里重新推倒了该式。问题6 表明信道 满足当时的可乘性。 Michalakis 43给出了p=2时问题6的一种解决方法。3.2 广义去极化的发展前景该技术在信道中发挥着重要作用，信道在时它的输出始终接近最大混合态。自然而然的可以定义 （16）信道的极化性。当x趋近于1时，我们希望可乘性依然存在，这就自然引出了其它几个问题。问题7. 是否满足时的（23）式？对于足够小的呢？如果不满足，那么x,p取何值时能够满足？以及他们取决于什么样的？4 随机次酉信道4.1 d=3现在，我们引进一类由WH信道所引出的极值点。WH信道中当d=3时的克劳斯算子可以写成： k=0,1,2 （17）这里的X是移位算子。这意味着对克劳斯算子信道的自然推广： k=0,1,2 （18）其中是2阶单位矩阵U的元素。即使对最大纠缠态张量积的影响与WH信道相同，并不与（23）相违背。这是因为从-1变到+1时信道的单独使用可以允许纯度较高的最优输出；精确地说是，对于+1时输入为输出的特征值为，当输入为-1时，输出。当时，上述信道的去极化有很多有意义的性质。Fuchs, Shor and Smolin首先认识到了这一点，他们只是在19完成后发表了一个斜体备注，而且也在31中还用很不同的方式描述。使为的标准正交基，且定义使是克劳斯算子为（k=0,1,2,3）的信道，这个信道有以下性质：1. 2. 是单一信道且holevo容量满足： （19）这个手稿的早期版本里，错误地表述了频率表面选择信道是时的去极化沃纳-霍尔沃信道。克劳斯算子中的-1变成+1是很重要的。但是需要六个非正交的输入态来达到这个容量。不难看到，当输入是的排列时，可以得到。3. 是EB信道的极限点，既不是CQ也不是CPT映射的极点。4.2 d3d3时WH信道的标准扩展涉及到作为d d矩阵的唯一非零块的选择。我们很自然地要研究含有d克劳斯算子信道的形式 k=0,1，.d-1. (20)其中U是d-1 d-1的单位矩阵。这样的信道是一般性的极端情况，经常存在于闭包中。为了找到这个类型信道反例的有限尝试发现了在从+1到-1的变化过程中与上述信道相似的表现；其输出对于信道的单一使用来说过于纯净。虽然如此，拥有克劳斯算子的信道形式（20）存在有趣的性质，这一点使他们值得进一步的研究。此外，没有必要在每一个克劳斯算子中使用相同的U。可以选择 k=0,1，d-1. (21)其中是中单位矩阵的任何集合。由于一些不可估测的因素，克劳斯算子形式如（21）的信道是在上CPT映射的极值点，且经常在闭包中。 因为最大纠缠态有p范数是的相对极大值的输出结果，所以WH信道对于大的p时给出了一个可乘性的反例。根据Nathanson 44的分析表明，对于任何的p任何最大纠缠态的输出结果都有临界点，但是Shor用大量数据52证明这是仅对于时的相对最大值。这就意味着其它随机次酋信道的存在。问题8.设是克劳斯算子形式为（21）的信道，的相对极大值的集合是否总包含输入为最大纠缠态的输出结果？如果不包含，那么对于什么样的p以及在什么样的环境里最大纠缠输入会产生相对极大值的输出结果？ 尽管Ruskai在寻找d=4,5的此类型信道的反例时以失败而告终，但是大量的更加深入的数据研究（可能这些研究会采用不同的、随机的）是值得期待的。5.3节给出了关于数值研究的进一步建议。甚至一个负面的结果也可以提供一些更深入的了解。问题9.寻找对形式（23）的新的反例，其中是形式为（21）的克劳斯算子的信道除了可以看到这些信道的最优输出纯度外，我们也可以看到他们的相干信息和量子容量。问题10.随机次酋信道的相干信息有哪些性质？他们何时可降解？他们的相干信息何时添加？标注：（2007.8.11添加）近来我们在最小输出秩12,13的可乘性的问题上比较感兴趣。对于d=4,次酋信道最小输出秩是3，其中有与排列（123），（134），（142），（243）相对应的的3 3的酋算子。作用在最大纠缠态的的信道的最小输出秩是10，这并没有违反式（23）。但是，这个信道的表现意味着对于一些更大的d相似例子的数值研究可能对于时倍增性的反例的研究是有意义的这一点将在5.6节中进一步讨论。5 可加性与可乘性的猜想5.1引言 在2007年6月14号不久之后，这份稿件的版本被发表在BIRS网站上，对于所有时，可乘性猜想有反例存在54,23。尽管如此，可加性的猜想和许多相关的问题仍然是开放的。因此，我仅对这个章节的大部分做了很小的变动并讨论近期的发展和在5.6节中提出的新问题。此外，这些已经存在的反例也能够提出新的问题。从而，在这些陈旧的材料中也可能会存在像理论3那样有价值的理论。5.2 猜想在量子信息中一个突出的开放性问题是最小输出熵的可加性问题，例如: （22）其中 其中下确界是由密集型矩阵所确定，0且。这个猜想具有相当的重要性，因为Shor 51已经表明Holevo容量可加性的推测和一些关于构成纠缠的几个推测具有广泛的等效性。Shirokov48, 49甚至表明对于某些无穷维信道可加性在所有有限维中将有意义。Fukuda 20还有Wolf 21也给出了一些附加的约简。Amosov，Holevo和Werner 5认识到如果下面的猜想满足则（22）式成立。 （23）其中=。尽管，Werner 和Holevo53发现对于较大的p有一个反例，当23式在的条件下，它似乎能进行合理的推测。这个猜想能利用Renyi熵写下来，这个熵与（p=1）的商有本质上的差异，例如： （24）这种表示方法对应于任何的都是有意义的，此外 和由Neumann熵导出。这时（23）也可以写为： （25）其中：=。5.3 寻找反例除了WH信道和一些很小的信道扰动影响外，（23）式没有反例是让人很吃惊的。此外，这个公式当p2有一族反例。通常来讲，如果这个猜想在成立,人们就想找一个当时的反例，且p任意的接近。问题11.寻找（23）式更多的反例。这些反例确实意味这个猜想在时成立吗？寻找反例的一个对策就是首先准确地利用下面提到的理论3对较大的p搜索可加性的反例。对于任意的新的例子的发现，研究临界点的数值和检测p的值，当p取何值时具有反例和当p取的纠缠输入时的相对的最大p值。也许这个p值的选取会对反例的本质有深入的见解，那就可以在时找到一些反例。开始的时候用较大p值的原因是利用理论3寻找相关最大值的算法对于更大p值更快，更稳定。Shor算法的以下推广被C.King利用Hold的不等式在p1的时候所证明，该算法是为了寻找最小输出熵的相关最小值。我们提出一个不同的证据，那就是对于p0所有有效的p值。我们首先解释Shor的论证利用相对熵大于零的性质，也就是基于Klein的不等式，利用更多通常的形式对于凸函数在Ruelle中的应用。 （26）其中A,B是半正定矩阵。由于函数在p1时是凸函数，则给出： （27）理论3.设p0，的cpt映射及的关于Hilbert-Schmidt内积的伴随矩阵。使且p1时，使成为最大或最小特征值的对应的特征向量。这时。证明：首先假设p1，则最大最小原理表明： （28）这个式子也可以写为： （29）然后利用27式中A=，B= 则得出：其中上式中最后的不等式来自29式。由第p个根则可证明想要得到的结果。对于时，函数是凹函数，同样的论证只要上述不等式中的不等号取相反即可。 证明完毕反复利用这个结果最大特征值对应的特征向量，给出一个收敛于的一个相对的最大值的序列。5.4 具体的可乘性问题证明去极化WH信道的可乘性问题在3.1节中已经提到过了。近期，Michalakis发表了一个p=2时的证明。鉴于一些去极化WH信道不能满足基于在39,38文献中推荐使用的不理想的条件，在43中的这种方法可能在研究其他类别的信道时有用。问题 12.对于哪种信道在p=2时（23）式能够被证明？在44文献中，一种类别的信道利用相互无偏的基，利用每个基来定义一个“轴”的方法来定义一种信道。这些信道能用与单位量子比特信道相似的方式通过“乘子”来描述，当所有的乘子都是非负时他们似乎很相似。然而，甚至对于一个单个使用的信道，一些问题也是开放性的。看44文献的猜想9。如果这个猜想是正确的，那么可加性和可乘性就可以约简到“极大压偏”信道情况中，“极大压偏”信道是two-Pauli量子比特信道的推广。问题13.寻找一个two-Pauli量子比特信道可乘性的证据，这个证据对负乘子信道不使用酋等价。 由于近期22式可加性的研究已经通过可乘性的猜想解决了难题，值得我们注意的是，Amosov也得到了一些结果，他在特殊情形中通过利用相对熵的单调性来得到结果。他也回忆道Shor对于纠缠态被破坏的信道的可加性的证据使用了基于较强次可加性的熵理论。尽管这些基本关于熵的基本性质不能适用于大多通常的信道，但是他们确实描述的可乘性并不是唯一实现可加性的方法。5.5 还原到极点尽管CPT映射的集合是上凸的，但是我们不能利用他的上凸性来减弱相对于极性信道的CPT映射可加性或者可乘性。然而，我们能够利用补偿信道的概念来获得一种对极性信道的普遍减弱。补偿信道的概念第一次被用在量子信息理论中是在Devetak和Shor的论文中，接着在28,37文献中有详细的研究。这个概念与Arveson 7早先在一个更宽泛的语境中获得的关于提升换位子群的部分有关。（详见附录arXiv:0712.3628 of 14）。假如，那么他的补偿就是一个CPT映射以及Choi的秩。不论什么时候，这个补偿就属于广义的极点类别。于是，结果在（28）和（37）号文献中暗含着：如果我们能证明在中所有映射的可加性，那么它就会使所有的映射在时成立。另外，用于建立各种可加性等式的Shor的信道扩展51仅仅引起 的增加。因此，对于时所有极性映射的张量积的可加性使得=时所有的映射成立。问题14：确定新的能够证明可加性和/或可乘性的极端CPT映射类型。问题15：对于随机单一信道，至少对于p=2，能否证明（23）式？如果不能，这些信道能否提供附加的反例吗？5.6 新的反例及其意义在2007年7月，Winter通过演示对于所有p2的反例的存在性解决了问题11。可是，他的方法对p=2并不适用，这似乎是对在的范围可乘性的有效性提供了支持。但是，随后，Hayden证明了1p2时存在反例，并且由Winter对p=2进行了扩展。Hayden 23也对他的例子提供了分析，表明（22）也适用于这些信道并且人们试图通过对p1证明（25）来建立可加性。King声称他对纠缠破坏信道的辩论扩展到0p1。他也观察到对单位量子比特信道和去极化信道的证明是基于Lieb-Thirring不等式： （30） 其中且A,B为半正定的。因为Araki已经证明相反的不等式对是有效的，King的结果对单位量子比特和广义的去极化信道也应该可以扩展到0p1和p1，给出的反例的信道的真实形式似乎是不同的。这导致问题18.是否存在一个信道或者一对信道在某些且时都违背(25)式吗？ 如果答案是否定的，那么(22)式成立，因为我们总是可以从上或者下接近p=1。这似乎是一个相当不可能的方法来证明(22)式，但是这样思考会提供一些关于这个可加性猜想的内在含义。对大尺寸的需要从而找到反例引出了这样一个问题：两个而不是更多的小尺寸信道会满足（25）。问题19.举一个信道的例子：一个整数m和一个p0，使得：在但是时。当前的结果甚至不能排除这样的可能：一个非单位量子位信道在时违反可加性。奇怪的是仅仅当p = 2或者 p 4时非单位量子映射的情况下才能证明公式（23） 迄今为止所有的反例结果是通过现存的定理给出的。找出明确的反例是有必要的。问题 20. 找出明确的信道例子也就是当时违反公式（23）。通过文献54中Winter的当时的例子，我们可以得出所谓的CB熵17是正数，相干信息是负数。（如果相干信息通过一个最大纠缠态得到，那么CB熵和相干信息仅仅是正负符号的不同。）因此，虽然这些信道不是entanglement breaking (EB),它们几乎不存在纠缠，Horodecki, Oppenheim and Winter30的观点认为甚至不能允许其中的一个恢复一个单独的电子顺磁共振。WH反例除了d=3（此时CB熵正好为0）还有正的CB熵。因此，对于，已知的反例意味着直到信道非常接近EB时才能提高最大输出纯度。我们想知道的是这是否适用于其他例子，特别是的时候。问题21 是否所有的关于可乘性的反例都具有非负的CB熵和/或0相干信息？ 最后，人们会问可加性是否成立。有必要