矩阵分析课件chapter5 特征值的估计及对称矩阵的极性例题详解.doc

第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题以及实对称矩阵（一般是Hermite矩阵）特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。5.1特征值的估计一、 特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理5.1 设A=(ars)Rnn,令M=表示A任一特征值，则的虚部Im()满足不等式（5.1.1）推论 实对称矩阵的特征值都是实数。事实上，当A这实对称矩阵时，M=0.由定理5.1可得Im()=0,即为实数。引理1 设BCnn,列向量yCn满足|y|2=1,则|yHBy|.定理5.2 设ACnn，则A的任一特征值满足|A| (5.1.3) (5.1.4)推论: Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数。事实上，当A为Hermite矩阵时，由式（5.1.4）知Im()=0,即为实数；当A为反Hermite矩阵时，由式（5.1.3）知Re()=0,即为为零或纯虚数。定义.5.1设,则称矩阵A按行(弱)对角占优。定义5.2 设ACnn。如果AT按行严格对角占优，则称A按列严格对角占优；如果AT按行（弱）对角占优，则称A按列（弱）对角占优。对直接估计矩阵特征之乘积的模的界，再给出以下两个方法。定理5.3 设A=(ars)Cnn,令Mr=|arr|+如果A按行严格对角占优，则(5.1.5）且当ars=0(sr)时，式(5.1.5)中等号成立。定理5.4 （Hadamards inequality）设A=(ars)Cnn,则有(5.1.7)且式(5.1.7)中等号成立的充分条件是某as0=0或者（ar,as）=0(rs),这里a1,an表示A的n个列向量。定理5.5 （Schurs inequality） 设A=(ars)Cnn的特征值为l1，ln，则有 (5.1.9)定义5.3 设A=（aij）Cnn,称由不等式|z-aii|Ri (5.1.10)在复平面上确定的区域为矩阵A的第i个Gerschgorin圆（盖尔圆）Gi的半径（i=1,n）.定理5.6 （Gerschgorin theorem1）矩阵A=（aij）Cnn的一切特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内。定理5.7 (Gerschgorin theorem2)由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数，特征值相同时也重复计数).推论 若将式(5.1.10)中的Ri改作 (5.1.13)则定理5.6与定理5.7的结论仍然成立。其中 ai为任意的正实数。利用推论，有时能够得到更精确的特征值的包含区域。例5. 严格对角占优矩阵非奇异。定理5.8 设不可约矩阵*A=(aij)nn有一个特征值l在其n个盖尔圆|z-aii|Ri(I=1,n)并集的边界上，则所有 n个圆周|z-aii|=Ri(I=1,n) (5.1.16)都通过点l。谱与范数的关系：r(A)|A|利用定理5.8,加强式(5.1.15) 的结果如下定理所述。定理5.9如果A=(aij)nn不可约,且存在i0使得则有p(A)Ri(A)Rj(A),则detA0.52 广义特征值问题在振动理论中，常常会碰到形式如下的特征值问题，求数l使方程Ax=lBx (5.2.1)有非零解x，这里A为n阶对称矩阵，B为n阶实对称正定矩阵x为n维列向量。当B=I时，式(5.2.1)就成为普通的特征值问题，因此式(5.2.1)可以看作是对普通特征值问题的推广。定义5.5 称形如式(5.2.1)的特征值问题为矩阵A相对于矩阵B的广义特征值问题，简称为广义特征值问题；称满足式(5.2.1)要求的数l为矩阵A相对于矩阵B的特征值；而与l相对应的非零解x称之为属于l的特征向量定义5.6 满足式(5.2.5) 向量系x1,xn称为按B标准正交化向量系；式（5.2.5）的第一式称作B正交（共轭）条件，按B标准正交化向量x1,xn具有以下的性质。性质1 xi0(I=1,n)性质2 x1,xn线性无关。5.3对称矩阵特征值的极性在许多实际问题中，所产生的矩阵往往都具有对称性。如用等距的差分格式求解调和方程的第一类边值问题时所出现的矩阵，以及用有限元法求解某些结构问题时所产生的刚度矩阵，一般都是对称的，特别是，实对称矩阵在理论研究与实际应用当中占有比较重要的地位。因此，本节将着重讨论实对称矩阵的一些性质。一、 实对称矩阵的Rayleigh商的极性先引入如下定义定义5.7 设A是n阶实对称矩阵，xRn。称 （5.3.1）为矩阵A的Rayleigh商。Rayleigh商（5.3.1）具有以下的特殊性。性质1 R(x)是x的连续函数。在0点不连续。性质2 R(x)是x的零次齐次函数。事实上，对任意的实数l0，有性质3 xL(x0)(x00)时，R(x)是一常数。性质4 R(x)的最大值和最小值存在，且能够在单位球面S=x|xRn,|x|2=1上达到。补充性质：(Toeplitz定理)设A为任意复数矩阵，定义S= z: z=xHAx, |x|=1, 则S为复平面上的闭凸集。定理5.16 设A为实对称矩阵，则 (5.3.3)推论1 在|x|2=1上，p1和pn分别是R(x)的一个极小点和极大点，即有 R(p1)=l1, R(pn)=ln (5.3.5)推论2 如果l1=ln（1kn）,则在|x|2=1上，R（x）的所有极小点为b1p1+bkpk其中biR(i=1,k),且满足b21+b2k=1定理5.17 设xL（pr,pr+1,ps）,1rsn,则有 (5.3.7)定理5.18 （Courant-Fischer）设实对称矩阵A的特征值按式(5.3.2)的次序排列，则A的k个特征值(5.3.8)其中Vk是Rn的任意一个k维子空间，1kn.定理5.19 设实对称矩阵A和A+Q的特征值分别为l1l2ln和m1m2mn,则有 |lI-mI|Q|2 (I=1,n) (5.3.11)定理5.20 (Hoffman-Wielandt)设实对称矩阵A，A+Q和Q的特征值分别是l1l2ln和m1m2mn,和g1g2，g n并定义向量u=(l1,ln)T,v=(m1,mn)T,w=(g1,，g n)T,则 |u-v|2|w|2.定理5.21 (Lidskii-Wielandt)在定理5.20的条件下，u落在形为v+pw向量集的凸包（即包含该向量的最小凸集）中，其中p取遍所有可能的排列矩阵。定义5.8 设A，B为n阶实对称矩阵，且B正定，xR n.称为矩阵A相对于矩阵B的广义Rayleigh商。定理5.22 非零向量x0是R(x)的驻点的充要条件是x0为Ax=lBx的属于特征值l的特征向量，这里A和B的意义同式(5.3.12).推论 若是 Ax=lBx的特征向量，则R()是与之对应的特征值。定理5.23 设Vk为Rn的任意一个k维子空间，则广义特征问题(5.2.1)的第k个特征值和第n-k+1个特征值具有下列的极小极大性质 (5.3.14) (5.3.15)推论2 设Vn-k+1是Rn的任意一个n-k+1维子空间，则定理5.23或推论1的结论可写成如下形式 (5.3.18) (5.3.19)对称正定矩阵的补充性质：设A,B为对称(半)正定矩阵，矩阵C为A和B的点积，即 cij=aijbij, 则C为对称(半)正定矩阵。定理5.24 设ARrmn的奇异值排列为0=s1=sn-rsn-r+1sn (5.3.21)则A的第三k个奇异值和第n-k+1个奇异值具有下列的极性质 (5.3.22) (5.3.23)其中Vk是Rn的任一k维子空间。定理5.25 设ARrmn的奇异值排列同式(5.3.21),(A+Q) 的奇异排列为0=t1=tn-rtn-r+1tn (5.3.25)则有|sI-tI|Q|2 (I=1,n) (5.3.26)定理5.26 设ARrmn和(A+Q)的奇异值排列分别同式(5.3.21)和(5.3.25), Q的排列值为0=d1= dn (5.3.29)定义向量u=(s1,sn)T,v=(t1,tn)T,w=(d1,dn)T则有 |u-v|2|w|2定义5.9 设A=(aij)Cmn,B=(bij)Cpq,则称如下的分块矩阵 (5.4.1)为A与B的直积（Kronecker积）。定理5.27 设Amm的特征值为l1，l2，lm,Bnn的特征值为m1，m2，mn，则f(A,B) 的全体特征值为f(l1,mj)(I=1,2,m;j=1,2,n)推论1设Amm的特征值为l1，l2，lm,Bnn的特征值为m1，m2，mn，则的全体特征值为limj,(I=1,2,m;j=1,2,n).推论2 设ACmm,B=Cnn,则有det()=(detA)n(detB)m推论3 设ACmm,B=Cnn,则有tr()=(trA)(trB)定理5.28 方程(5.4.6)有解的充要条件是.这里，R（A） 表示矩阵A的列空间。定理5.29 设Amm的特征值为l1，l2，lm,Bnn的特征值为m1，m2，mn，则方程(5.4.5)有惟一解的充要条件是lI+mj0(I=1,2,n).推论1设Amm的特征值为l1，l2，lm,Bnn的特征值为m1，m2，mn，则齐次方程AX+XB=O有非零解的充要条件是存在i0与j0,使=0。推论2 设A是m阶矩阵，则齐次方程AX-XA=O一定有非零解。定理5.30 设Amm的特征值为l1，l2，lm,Bnn的特征值为m1，m2，mn，则(1) 方程 有惟一解的充要条件是存在1+(lImj)+(lImj)l0(I=1,2,m;j=1,2,n).(2) 齐次方程非零解的充要条件是存在i0与j0,使1+()+()l=0引理3 设ACmm,B=Cnn,FCmn如果A与B的特征值的实部都小于零