高等数学第九章 多元函数积分学.doc

第九章 重积分9.1 二重积分一 基本概念定义1 二重积分定义：设二元函数是有界闭区域上有定义，用分法将闭区域分成个小闭区域，其中既表示第个小区域，又表示它的面积在上任取一点设表示分法将分成的所有小区域的直径的最大值（细度），若极限 存在，且与分法和点的取法无关，则称在上可积，并称为在上的二重积分,记作其中称为被积函数, 称为积分区域 注1 二重积分的几何意义：当时，二重积分表示为以函数为顶，以区域为底，母线平行轴的曲顶柱体的体积一般情况下，= 区域上方曲顶柱体的体积 -区域下方曲顶柱体的体积差。定义2 积分区域的分类：（1）型区域：左右由直线和界定，下由一条曲线和上由围成的区域，表示为，如图9-1，则 图9-1 图9-2（2）型区域：上下由直线和界定，左由一条曲线和右围成的区域，表示为，如图9-2，则 （3）型区域：过原点作两条射线和，与区域相切两点，两切点分区域边界两条曲线和，如图9.3则 （4）型区域：作圆和，分别切于区域的内侧和外侧，两切点将区域边界分成左右两条曲线和，如图9.4，则 图9-3 图9-4注1 所谓一条曲线，就是由一个初等函数的表示的曲线上面的函数：；都是初等函数，不是分段函数注2 若区域不是型区域，可以用垂直于轴的直线，将区域分割成几个型区域；若区域不是型区域，可以用垂直于轴的直线，将区域分割成几个型区域；若区域不是型区域，可以用过原点的射线，将区域分割成几个型区域；若区域不是型区域，可以用圆（圆心在原点上），将区域分割成几个型区域 二 基本结论定理 （二重积分的性质）（1）面积公式 ，其中区域的面积（2）线性性质；（3）区域的可加性 设且和不重叠，则（4）比较定理 若，则 （5）估值定理 设分别是在闭区域取最大值和最小值则 （6）积分中值定理 设在有界闭区域上连续则，使得 （7）奇偶性欲对称性 设在区域上连续，若积分区域关于轴对称，则二重积分，其中是的在轴的上（下）半部分同样若积分区域关于轴对称，则二重积分，其中是的在轴的右（左）半部分三 二重积分的计算方法1 利用二重积分性质计算二重积分例1 计算，其中解 根据积分线性性质，有根据面积公式，以及奇偶性和对称性，于是有 注3 计算二重积分，首项考虑利用积分性质：面积公式、线性性质（拆分：和与差的积分等于积分的和与差）、区域的可加性、奇偶性欲对称性对一些二重积分来说，利用这些性质是十分重要的2 将二重积分转化为累次积分（二次积分）例2 计算，其中是由直线、和所围成的闭区域解 积分区域如图9-5所示，它既是型区域，又是型区域按照型区域将二重积分转化为先对后对的积分次序的累次积分，有 图9-5或者按照型区域，将二重积分转化为先对后对的积分次序的累次积分，有 注4 将二重积分转化为累次积分是计算二重积分的最基本的方法，当然在转化累次积分时，需要考虑两个问题：一是被积函数，二是积分区域由于被积函数的原因，有些二重积分化为累次积分只能先对变量积分，如；有些只能先对变量积分，如3 利用简单的变量替换计算二重积分（1）一般的坐标变换：如果积分区域既不是型区域又不是型区域，且分割成为上述区域比较复杂时，或者被积函数比较复杂，常作坐标变换：令，或，则其中雅可比行列式，并且有（2）极坐标变换：如果积分区域是圆或园的一部分（如扇形、圆环、扇环、半圆），或被积函数含有“”，一般应用极坐标变换，令，其中与的积分上下限根据具体型区域或型确定，雅克比行列式例3 计算，其中解 积分区域，令，有，从而有 注5 若将二重积分转化为累次积分后没有办法计算，需要考虑充分利用二重积分的性质，或者考虑适当的坐标变换坐标变换同样需要考虑两个因素：一是为了使被积函数变得简单，二是使积分区域变得简单题型1 交换累次积分的次序交换积分次序，主要有以下两个方面的考虑：（1）题的本身要求；（2）计算累次积分（二重积分）的要求基本方法：根据累次积分，确定积分区域；根据积分区域或将区域分割，写成另一个次序的累次积分例1 交换累次积分的积分次序：（1）； （2）；（3）； （4）； 解 图9-6 图9-7 （1）积分区域如图9-6所示，它既是型区域，又是型区域，按照型区域将原累次积分表示为另一次序的累次积分； （2）积分区域如图9-7所示，它既是型区域，又是型区域，按照型区域将原累次积分表示为另一次序的累次积分； 图9-8 图9-9 （3）积分区域如图9-8所示，它只是型区域，不是型区域，所以若交换积分次序，只能分割积分区域，将其分割成三个型区域，如图9-8，利用积分区域的可加性，原累次积分等于；（4）积分区域如图9-9所示，它由两个型区域组成，恰好组成型区域，所以按照型区域，将二重积分表示成累次积分，有； 题型2 两种坐标下的累次积分转化例2 化下列直角坐标下的二次积分为极坐标下的二次积分：（1）； （2）；（3）； （4）解 图9-10 图9-11（1） （2）； 图9-12 图9-13（3）； （4）注6 将直角坐标下的累次积分转化为极坐标系下的累次积分的关键是确定积分区域，通过积分区域草图观察积分区域是否是区域，若是，可以直接写出极坐标下的累次积分，若不然，用起点在原点的射线分割，分割成几个型区域题型3 对称区域上的二重积分 例2 计算下列对称区域的积分：（1），其中（2），其中解（1）积分区域：是圆，它既关于轴对称，又关于轴对称，于是拆分积分，利用面积公式、奇偶性和对称性、以及极坐标变换有（2）积分区域：，它既关于轴对称，又关于轴对称，而被积函数关于和都是偶函数，是的第一象限部分，于是题型4 非初等函数的二重积分常见的非初等函数有：绝对值函数，最大、最小函数；分区域函数；取整函数基本方法：分割积分区域，即将分割成和等，利用积分区域的可加性，有 使被积函数在区域和上都是初等函数 例3 计算下列非初等函数的积分（1），其中（2），其中解 （1）用，即将区域分成两部分和，如图9-14 图9-14（2）为确定，用分割积分区域分成两部分和，如图9-15，于是有 图9-15题型5 利用简单的坐标变换，计算二重积分 例4 利用简单的坐标变换，计算下列二重积分（1），其中（2），其中（相当于闭曲线围成区域的面积）（3），其中（4），其中：，解 （1）利用广义极坐标变换，令，则有，于是 （2）令，则有，雅可比行列式，于是（3）令，则积分区域：，于是，（4）令，则有，于是 注7 计算上述四个题，都做了适当的坐标变换第（4）题的极坐标变换是显然的，这是因为积分区域是圆，并且被积函数含有“”第（1）题的广义极坐标变换是常见的、基本变换第（2）题的坐标变换其主要目的是使积分区域变得简单；第（3）题的坐标变换其主要目的是使被积函数变得简单题型6 解答与证明例1 已知连续，求极限 其中：解 基本思想是将二重积分化为累次积分，进而化为变限积分函数，运用罗比达法则 例2 求极限解 极限式子的分子是累次积分，当然并非是变限积分函数的形式，而分子唯一的变化是交换累次积分次序 例 计算，其中， 解 例 已知连续，令 其中：求解 本题是求一点的二阶导数，当然基本方法是将二重积分化为累次积分，进而化为变限积分函数。由于，所以，由于只是连续，并没有可导，所以只能有定义法求，于是有 例5 已知连续，且恒大于0，证明： 证明 例 6 证明不等式：，其中 证明 由于积分区域关于具有轮换对称性，所以，而 ，所以例 7 设闭区域，在区域上连续，且，求 解 圆的面积是，对上述等式两边积分，得到所以有 ，于是练习 9-11利用二重积分的性质，求下列积分值： （1），其中，在连续； （2），其中；（3），其中；（4），其中2交换累次积分的积分次序：（1）； （2）；（3）； （5）；3计算下列累次积分：（1）； （2）；（3）； （4）4计算下列二重积分：（1），其中是矩形区域：，；（2），其中由直线，和所围成区域；（3），其中由，和所围成区域；（4），其中由所围成区域；5计算下列非初等二元函数的二重积分：（1），其中；（2），其中：；（3），其中；（4），其中； 6求由曲面和所围成的立体体积7求由平面，所围成的柱体被抛物面和平面截得的立体体积8计算，其中9已知连续，求极限 ，其中：9.2 三重积分一 基本概念 定义1 三重积分定义：设在有界闭区域上有定义，用分法将分割成个小闭区域，表示所有小空间立体的直径的最大值，在上任取一点若存在，且与分法和点的取法无关, 则称在上可积，并称为在上的三重积分, 记作或, 即其中是积分区域，是被积函数，是体积微元(体积元素)注1 三重积分的物理意义：如果表示某物体在处的密度, 是物体所占有的空间区域, 则三重积分就是物体的质量 定义2 积分区域分类：（1）型柱体 如果柱体的母线平行于轴，底面是“一个曲面”：，顶面是“一个曲面”：，则称是型柱体记为其中是在面上的投影类似定义型柱体和型柱体（2）可截型区域 如果空间区域可表示为，其中是垂直于轴的平面截区域所得到的平面区域，且在范围上唯一表示，则称这类区域为可截型区域(简称可截区域)二 基本结论性质1 体积公式 若，则，其中为空间区域的体积 性质2 线性性质 若函数和在可积，是任意常数，则(1) ；(2) 性质3 区域可加性 设，且和不重叠，有性质4 奇偶性与对称性 设函数在上连续，关于坐标面对称，则其中是被坐标面分成的半部分当然，性质4还有其它两种情况，请读者自己给出三 基本方法1 三重积分计算方法：投影法和截面法 （1）投影法定理1 设是有界闭区域，在上连续，是型柱体，在坐标面上的投影区域为, 即，则 （2）截面法定理2 设是有界闭区域，在上连续，若是可截型区域，即，则 计算三重积分有两个基本方法，一是投影法；二是截面法两方法并没有本质区别，只是一个先计算定积分后计算二重积分；另一个先计算二重积分后计算定积分在通常情况下，如果积分区域是型柱体，则用投影法；如果是可截型区域，可以考虑用截面法例1 计算三重积分，其中是由锥面与平面围成的闭区域解 积分区域是型柱体，底面，顶面， 积分区域在面上的投影为：于是 （利用极坐标变换） 例2 计算由球面下方和平面上方所围成的区域的体积解 根据三重积分的性质：由于积分区域可表为，所以，积分区域是可截型区域(不是型柱体)于是三重积分可化为 2 用坐标变换计算三重积分：柱面坐标变换和球面坐标变换1柱面坐标变换设为空间内一点，在面上的投影为，点的平面极坐标为，这样三个数就叫做点的柱面坐标，并规定的变换范围为：于是有若是型柱体，即，则 其中变量的积分上下限根据在面的投影确定柱面坐标变换的实质：二重积分的极坐标变换于是在实际解题过程中，往往是先把在直角坐标下的三重积分利用投影法转化为二重积分，再应用极坐标变换计算二重积分，没有必要考虑柱面变换，一次性的把三重积分化为三次积分例3 计算，其中是由曲面与平面所围成的闭区域 解 积分区域，在面上的投影区域，于是 例4 计算，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的旋转曲面与平面所围成的立体解 依题意，积分区域是由旋转曲面与平面所围成的立体，在面的投影于是先将三重积分转化为二重积分，在作极坐标变换，得到 3球面坐标变换设为空间内一点，点可用三个有序数组来表示，其中为原点到点的距离，为有向线段与正向所夹的角，为在投影，有向线段与正向所夹的角(图9-16)，这三个数叫做点的球面坐标，其中的变化范围为，显然，点的直角坐标与球面坐标的变换关系为三重积分可化为 图9-16如何确定积分变量，的积分上下限：1的积分上下限的确定：若包含原点，下限是，上限是积分区域“面”的方程(只要将变换代入曲面中，求出)；若不包含原点，将球面坐标变换代入内侧曲面和外侧曲面，得到内侧曲面（下限）和外侧曲面（上限）2的积分上下限的确定：由积分区域的任意一点和原点的连线与轴正向所成的夹角范围确定3的积分上下限的确定：由积分区域在面的投影确定，是由上的一点和原点的连线与轴正向所成的夹角范围确定 例5 重积分利用球面坐标变换化为累次积分：（1）； （2）； （3）；（4） 解 根据各自的积分区域，我们有 图9-17 图9-18； 图9-19 图9-20；其中例6计算三重积分，其中是由锥面与球面所围成的空间闭区域解 积分区域是球的一部分，作球面坐标变换，有于是，三重积分练习9-21计算下列三重积分：（1），其中；（2），其中是由与三个坐标面所围成的立体；（3），其中是由所围成的立体；（4），其中是由与三个坐标面所围成的立体2用适当的坐标变换计算下列三重积分：（1），其中是由曲面与所围成的立体；（2），其中是由曲面与所围成的立体；（3），其中是由曲面所围成的立体；（4），其中是由曲面与及所围成的立体；（5），其中是上半椭球体，；（6），其中是区域：；3利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：（1），及；（2）及；（3）及；（4）4设，其中：，可导，求 （1）；（2）已知，求极限第九章答案与提示练习 9-1答案与提示1（1）；（2）；（3）；（4）2（1）； （2）；（3）； （4）； 3（1）；（2）；（3） （4）4（1） ；（2）；（4）；（5）； 5（1）； （2）；（3）；（4）（提示：利用奇偶性与对