第四章——连续时间系统的S域分析.doc

第4章 连续时间系统的S域分析4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域（一） 定义拉氏正变换：拉氏逆变换：（二） 常用函数的拉氏变换1 阶跃函数2 指数函数 （）3 函数 4 冲激函数4.2拉普拉斯逆变换（一） 部分分式分解1极点为实数，无重根例 求下示函数的逆变换 解 用分子除以分母（长除法）可得故有 2包含共轭复数极点 例 求下面函数的逆变换解 下面分别求系数 也即，故而可以得到其逆变换的函数表达式 3多重极点设有现记则个系数的计算公式为：例 求下示函数的逆变换解 将写成展开式容易求得：为求出与重根有关的个系数，令故有于是有所求逆变换为 4.3微分方程的S域求解对于二阶连续时间LTI系统，描述系统的微分方程为为系统的初始状态。记。根据单边拉普拉斯变换的时域微分特性，有例 描述连续时间LTI系统的微分方程为已知。失球系统的零输入响应，零状态响应和完全响应。解 对微分方程两边进行单边拉普拉斯变换，得整理后，得零输入响应的S域表示为对上式作拉普拉斯反变换，得因为所以零状态响应的S域表示为对上式作拉普拉斯变换得完全响应为4.4用拉普拉斯变换法分析电路例 下图所示电路，时以前，开关S闭合，已进入稳定状态；时，打开开关，求并讨论对波形的影响。解 用拉普拉斯变换法分析电路。根据电路图列写时的微分方程对该微分方程两边同时取拉普拉斯变换有由题意可知，解得，取逆变换得到所以4.5 S域电路元件模型元件的时域关系为将以上三式分别进行拉氏变换，得到由此可得各元件的S域模型电阻电感电容同理，可得各元件的S域电流表达式模型电阻电感电容例 下图所示电路，时以前，开关S闭合，已进入稳定状态；时，打开开关，求并讨论对波形的影响。解 用等效S域模型简化电路分析。画出题图电路在时刻的S域等效元件模型，如下图所示由题意知，所以从而进而有取逆变换得到根据上述分析可知，越大，波形在开关打开瞬间的幅值越大，但波形衰减得越快。4.6系统函数系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，以表示。一般情况下，若线性时不变系统的激励、零状态响应和冲激响应分别为，它们的拉氏变换分别为，则有下述关系：例 求下面电路图所示的系统函数（网络函数）解 由S域元件模型可得该电路的S域模型如下所示由该S域模型可得：4.7系统函数的零、极点的时域特性（一）定义分母多项式之根构成极点，分子多项式之根构成零点。（二）零、极点分布特性1 若极点位于S平面坐标原点，则冲激响应为阶跃函数；2 若极点位于S平面正实轴上，则冲激响应为指数衰减形式；若极点位于S平面负实轴上，则冲激响应为指数增长形式；3 若极点是位于S平面坐标轴的虚轴上的共轭极点，则冲激响应为等幅震荡；4 若极点是位于S平面左半平面上的共轭极点，则冲激响应为减幅震荡；若极点是位于S平面右半平面上的共轭极点，则冲激响应为增幅震荡若的极点落在S平面的左半平面，则波形为衰减形式；若的极点落在S平面的右半平面，则波形为增长形式；落在虚轴上的一阶极点对应的成等幅震荡或阶跃；落在虚轴上的二阶极点将使呈增长形式；一般情况下，对于稳定系统，其所有极点均位于S平面的左半平面。4.8 系统函数的零、极点的频响特性（一）定义 频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。（二）表示 式中，是幅频响应特性， 是指相频响应特性。（二） S平面几何分析根据系统函数在S平面零、极点分布可以绘制频响特性曲线，它包括幅频特性曲线和相频特性曲线，下面简单介绍该方法：1. 在S平面正确表示出的各个零、极点；2. 在S平面坐标轴虚轴的正半轴部分任取一点，由各个零、极点向虚轴上的点作矢量；3. 将每个零点矢量表示成形式，将每个极点矢量表示成形式。其中，分别表示第个零点矢量的模和第个极点矢量的模，而分别表示第个零点矢量的辐角和第个极点矢量的辐角，此处辐角是指各矢量与坐标轴实轴正方向所形成的夹角。4. 由此可得5. 当点沿着虚轴移动时，上述各矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。注：对不存在的零点或者极点将其视作模为1而辐角为0处理。例 下图所示网络中，。1 写出电压转移函数；2 画出S平面零、极点分布图；3 大致画出幅频特性曲线和相频特性曲线；4 求冲激响应和阶跃响应。解 （1）根据分压原理有 （2）无零点，在有一对共轭的一阶极点，其零、极点分布如下图所示：（3）其幅频特性曲线和相频特性曲线大致如下图所示（4）系统冲激响应阶跃信号的拉氏变换，所以阶跃响应的拉氏变换故有4.9 全通函数与最小相移函数（一）定义 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点关于虚轴轴互为镜像对称，则称这种系统函数为全通函数，称该系统为全通系统或全通网络。 零点仅位于左半平面或者轴的网络函数称为最小相移函数，该系统称为最小相移系统或最小相移网络。（注：非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络可以代之以最小相移网络与全通网络的级联。）例 下图所示系统是否为最小相移动系统，若不是，应由零、极点如何分布的最小相移网络和全通网络来组合？解 根据最小相移系统定义可知，图示系统为非最小相移系统，该系统可由下面的最小相移网络和全通网络来组合。最小相移网络 全通网络4.10 线性系统的稳定性稳定系统：如果的全部极点均落在S平面的左半平面（不包括虚轴），系统是稳定的。临界稳定系统：如果的极点落在S平面的虚轴上，且只有一阶，则系统是临界稳定系统。不稳定系统：如果的极点落在S平面的右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则系统是不稳定系统。例 下图所示反馈系统1) 写出；2) 满足什么条件时，系统稳定；3) 在临界稳定条件下，求系统冲激响应。解 （1）由图有，整理可得（2）由可知系统极点位于。由于，所以当0时，极点位于S平面左半平面。因此，当4时，系统稳定。（3）时，的极点在虚轴上，系统临界稳定。此时，逆变换得到系统的冲激响应。4.11 傅氏变换与拉氏变换的关系如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应当判明函数为有始信号，即当t0时，然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况分别对待。1 （收敛边界落于S平面右半平面）显然，这种情况的傅氏变换不存在，因而不能盲目的由拉氏变换寻求其傅氏变换。2 （收敛