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中难题训练（9）1、 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O（1）当DEF旋转至如图位置，点B（E），C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 ；（2）当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明解：（1）AFD=DCA证明：AB=DE，BC=EF，ABC=DEF，ABCDEF，ACB=DFE，AFD=DCA；（2）AFD=DCA（或成立），理由如下：方法一：由ABCDEF，得：AB=DE，BC=EF（或BF=EC），ABC=DEF，BAC=EDF，ABC-FBC=DEF-CBF，ABF=DEC，在ABF和DEC中， AB=DE ABF=DEC BF=EC，ABFDEC，BAF=EDC，BAC-BAF=EDF-EDC，FAC=CDF，AOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA；方法二：连接AD，同方法一ABFDEC，AF=DC，ABCDEF，FD=CA，在AFD和DCA中，AF=DC FD=CA AD=DA，AFDDCA，AFD=DCA；（3）如图，BOAD方法一：由ABCDEF，点B与点E重合，得BAC=BDF，BA=BD，点B在AD的垂直平分线上，且BAD=BDA，OAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODA， OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，直线BO是AD的垂直平分线，即BOAD；2、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE（不需证明）（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而1=2，再利用平行线性质，可证得BME=CNE）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，连接GD，判断AGD的形状并证明解：（1）等腰三角形（2）判断出直角三角形证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，F是AD的中点，HFAB，HF= 1/2AB，1=3同理，HECD，HE= 1/2CD，2=EFCAB=CDHF=HE，1=2EFC=60，3=EFC=AFG=60，AGF是等边三角形AF=FD，GF=FD，FGD=FDG=30AGD=90即AGD是直角三角形3、 如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积解：（1）（选证-）BDEFEC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=60度CD=CE，BD=AF=AE，EDC是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120度又EF=AE，BD=FEBDEFEC（选证二）BCEFDC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=60度又CD=CE，EDC是等边三角形BCE=FDC=60，DE=CEEF=AE，EF+DE=AE+CEFD=AC=BCBCEFDC（选证三）ABEACF证明：ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=BAC=60度CD=CE，EDC是等边三角形AEF=CED=60度EF=AE，AEF是等边三角形AE=AF，EAF=60度ABEACF（2）解：四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60度ABDF，BDAF四边形ABDF是平行四边形（3）解：由（2）知，四边形ABDF是平行四边形EFAB，EFAB四边形ABEF是梯形过E作EGAB于G，则EG= 2根号3S四边形ABEF= 1/2EG（AB+EF）= 1/22根号3（6+4）=10根号 34、 （2009铁岭）ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时求证：AEBADC；探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由证明：（1）ABC和ADE都是等边三角形，AE=AD，AB=AC，EAD=BAC=60（1分）又EAB=EAD-BAD，DAC=BAC-BAD，EAB=DAC，AEBADC（3分）方法一：由得AEBADC，ABE=C=60又BAC=C=60，ABE=BAC，EBGC（5分）又EGBC，四边形BCGE是平行四边形（6分）方法二：证出AEGADB，得EG=AB=BC（5分）由得AEBADC得BE=CG四边形BCGE是平行四边形（6分）（2）都成立（8分）（3）当CD=CB （CAD=30或BAD=90或ADC=30）时，四边形BCGE是菱形（9分）理由：方法一：由得AEBADC，BE=CD（10分）又CD=CB，BE=CB（11分）由得四边形BCGE是平行四边形，四边形BCGE是菱形（12分）方法二：由得AEBADC，BE=CD（9分）又四边形BCGE是菱形，BE=CB（11分）CD=CB（12分）方法三：四边形BCGE是平行四边形，BECG，EGBC，FBE=BAC=60，F=ABC=60（9分）F=FBE=60，BEF是等边三角形（10分）又AB=BC，四边形BCGE是菱形，AB=BE=BF，AEFG（11分）EAG=30，EAD=60，CAD=30度（12分）5、 已知等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFAB，分别交AC，BC于E，F点，作PMAC，交AB于M点，连接ME（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？证明：（1）EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形AB=AC，AD平分CAB，CAD=BAD，ADBC（三线合一的性质），BAD=EPA，CAD=EPA，EA=EP，四边形AEPM为菱形(2）P为EF中点时，S菱形AEPM= 1/2S四边形EFBM四边形AEPM为菱形，ADEM，ADBC，EMBC，又EFAB，四边形EFBM为平行四边形作ENAB于N，则S菱形AEPM=EPEN= 1/2EFEN= 1/2S四边形EFBM6、 已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）（1）如图，现将PBC沿PC翻折得到PEC；再在AD上取一点F，将PAF沿PF翻折得到PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；（3）如图，分别在AD、BC上取点F、C，使得APF=BPC，与（1）中的操作相类似，即将PAF沿PF翻折得到PFG，并将PBC沿PC翻折得到PEC，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由解：（1）FGCE，在矩形ABCD中，A=B=90，由题意得G=A=90，PEC=B=90GEC=90G=GECFGCE（2）GH=EH延长GH交CE于点M，由（1）得，FGCEGFH=MCHH为CF的中点FH=CH又GHF=MHCGFHMHCGH=HM= 1/2GM，GEC=90EH= 1/2GMGH=EH（3）（2）中的结论还成立取PF的中点M，PC的中点NFGP=90，M为PF的中点 GM=1/2PF， PM=1/2PF，HMPCGM=PMGPF=MGPGMF=GPF+MGP=2GPFH为FC的中点，M为PF的中点 HM=1/2PC同理 HN=1/2PF， EN=1/2PC，HNPF，ENC=2EPCGM=HN，HM=ENGPF=FPA，EPC=BPC又BPC=FPAGPF=EPCGMF=ENC，HMPC，HNPF四边形HMPN为平行四边形HMF=HNCGMH=HNEGM=HN，HM=ENGMHHNEGH=HE7、 如图，已知ABC和DEF是两个边长都为10cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=3cm，ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ABC运动时间为t秒，当t为何值时，ADFC是菱形？请说明你的理由；ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由证明：（1）ABC和DEF是两个边长为10cm的等边三角形AC=DF，ACD=FDE=60（2分）ACDF（3分）四边形ADFC是平行四边形（4分）（2）当t=3秒时，ADFC是菱形（5分）此时B与D重合，AD=DF（7分）ADFC是菱形（8分）当t=13秒时，ADFC是矩形（9分）此时B与E重合，AF=CD，ADFC是矩形（10分）CDF=90，CF=根号 CD2-DF2=根号20 2-10 2=10根号3（11分）S矩形ADFC=1010 根号3=100根号3cm2（12分）8、 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AGEB于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF；（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AGEB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由证明：（1）如图（1）正方形ABCD中，AO=BO，AOF=BOE=90，OBE+BEO=90，AGEB，AGE=90，GAE+AEG=90，OBE=OAF，在AOF和BOE中AOF=BOE AO=BO OAF=OBEAOFBOE（ASA），OE=OF（2）OE=OF仍然成立理由：如图（2）正方形ABCD中，AO=BO，AOF=BOE=90，FAO+F=90，AGEB，AGE=90，GAE+E=90，E=F，在AOF和BOE中AOF=BOE E=F AO=BOAOFBOE（AAS），OE=OF所以结论仍然成立9、 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=20cm，CD=25cm动点P、Q同时从A点出发：点P以3cm/s的速度沿ADC的路线运动，点Q以4cm/s的速度沿ABC的路线运动，且P、Q两点同时到达点C（1）求梯形ABCD的面积；（2）设P、Q两点运动的时间为t（秒），四边形APCQ的面积为S（cm2），试求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t，使得四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的 2/5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）过点D作DEBC于点E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm在RtDEC中，根据勾股定理得EC=15cm由题意得 (AD+DC)/3=( AB+BE+EC)/4，( AD+25)/3=( 20+AD+15)/4解得AD=5梯形ABCD的面积=( (AD+BC)AB)/2= (5+20)20/2=250（cm2）（2）当P、Q两点运动的时间为t（秒）时，点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）当0t 5/3时，P在AD上运动，Q在AB上运动此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-SBCQ-SCDP=70t当 5/3t5时，P在DC上运动，Q在AB上运动此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-SBCQ-SADP=34t+60当5t10时，P在DC上运动，Q在BC上运动此时四边形APCQ的面积S=S梯形ABCD-SABQ-SADP=-46t+460（3）当0t 5/3时，由S=70t=250 2/5，解得t= 10/7当 5/3t5时，由S=34t+60=250 2/5，解得t= 20/17又 5/3t5，t= 20/17不合题意，舍去当5t10时，由S=-46t+460=250 2/5，解得t= 180/23当t= 10/7或t= 180/23时，四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的 2/510、 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？解：（1）四边形PQCD为平行四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD为平行四边形（2）过D作DEBC于E则四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm当四边形PQCD为等腰梯形时，QC-PD=2CE，即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形11、 已知：如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若A=120，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明解：（1）四边形EFPG是平行四边形（1分）理由：点E、F分别是BC、PC的中点，EFBP（2分）同理可证EGPC（3分）四边形EFPG是平行四边形（4分）（2）方法一：当PC=3时，四边形EFPG是矩形（5分）证明：延长BA、CD交于点MADBC，AB=CD，BAD=120，ABC=C=60M=60，BCM是等边三角形（7分）MAD=180-120=60，AD=DM=2CM=DM+CD=2+4=6（8分）PC=3，MP=3，MP=P