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广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )课程名称: 高等数学（上） 。考试时间: 2007 年 1 月 25 日 (第21周 星期四 )一、填空题：（4分520分）1 2 3 4 5 二、选择题：（4分520分）1 C2 C3 B4 D5 A三、计算题（7分428分）1. 求：。解：学 院 ： 专业： 学号： 姓名：装 订 线2. 求函数的极值点与极值。解：在上连续，且当 时有 （2分）从而， 为不可导点。 （3分） （5分）由于导函数符号不变，因此函数无极值。（7分）3：设 计算。解： 从而 装 订 线4. 求微分方程： 满足初始条件的特解。解：原方程所对应的齐次方程的特征方程为， 解得 （2分）齐次方程的通解为 （3分）设 为原方程的特解，代入原方程并比较系数得： 。 原方程的通解为 （5分）将初始条件代入得：，从而 （6分） （7分）四、（8分）如图由围成一曲边三角形，在曲边上，求一点使得过此点所作之切线与所围成的三角形面积为最大。解：过曲线上点 的切线方程为： （1分）将 代入得： （2分）该切线与 的交点的纵坐标与横坐标分别为：，（3分）则切线与围成的三角形面积为4设 是可导函数，且满足条件：，则曲线 在点处的切线斜率为 （ ） 。（A） （B） （C） （D） 5设：，则： （ ）A B. C D. 三、计算题（共49分）1 求：。2 求： 在 上的最大值与最小值。3 设：，求：。装 订 线装 订 线 （6分）当 时，取最大值，则所求的点为 。 （8分）五（8分）求微分方程满足初始条件的特解。解： （6分）利用初始条件，得出，（7分）。 （8分）六（8分）证明不等式： 。证明：设 ， （1分）则 ，所以函数单调上升，即 （2分） （4分）装 订 线设 ， （5分）则 ，所以函数单调上升，（6分）即 （8分）七、（8分）证明：（1）方程（这里为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；（2）方程（其中为正整数，为实数）当为偶数时至多有两个实根，当为奇数时至多有三个实根证明：（1）反证法。设有两个不同的实根 ，而在上连续，在内可导，则存在，使。 （1分）由于， （2分）而都不在内，即不可能存在，使，矛盾。 （4分） （2）结论成立，用反证法证明情形。：设方程有三个实根 ，函数在与上分别满足罗尔定理。故存在使（5分），与矛盾。 （6分）：设方程有四个实根 ，函数在，上分别满足罗尔定理。故存在使 （7分）而，由于分别有两个，一个
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