数学模型第六章.doc

第六章 代数模型线性代数在许多问题的解决中起着十分关键的作用,本章主要讨论以向量和矩阵为工具的数学模型.6.1投入产出模型6.1.1 投入产出表及其相关概念在对某地区作经济分析时，把该地区视作一个国民经济系统,把其分为若干个部门.各个经济部门在进行经济活动时的消耗称为投入,例如：原材料，设备，能源等. 而各经济部门在进行经济活动时的成果称为产出.如，产品.农作物等.反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型称为投入产出模型.投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年所创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖.投入产出模型由投入产出表 (或称平衡表)与平衡方程构成，按计量单位分为价值型和实物型. 我们在这里只介绍价值型投入产出表.投入产出表通常是以年度为单位编制的.规模可以是全国，也可以是某地区或某企业.表6.1.1是一张价值型投入产出表.表6.1.1 价值型投入产出表部门间流量消 耗 部 门最 终 产 品总产品12n消费积累出口合计生产部门12nx11x21xn1x12x22xn2x1nx2nxnny1y2ynx1x2xn净产值劳动报酬v1v2vn纯 收 入m1m2mn合 计z1z2zn总产品价值x1x2xn最终产品是指本年内不再加工，可直接提供给人们消费或积累或出口的产品; 本年内需再加工的产品称为中间产品;纯收入是指利润与缴税款; 净产值是指劳动报酬与纯收入之和,也即总产值减去中间消耗; 价值型投入产出表以货币单位为计量单位; 总产品是指每个部门的全部产品,在价值型投入产出表中,也即是每个部门的总产值.投入产出表主要由三大部分组成.第一部分是表中左上部分,部门间流量xij .我们把国民经济分解为n个部门，每个部门都有双重身分.一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品.另方面，它的产品也要分配给各部门使用.用表示部门j在本年度生产过程中对部门i的产品的消耗价值量.也即是本年度内部门i分配给部门j的产品价值量.称为部门间流量.例如 x23=560(万元),表示本年度内生产部门2分配给生产部门3的产品价值量有560(万元);同时,也说明本年度内生产部门3消耗了生产部门2提供的560(万元)的产品.第二部分是表中右上部分,最终产品.表示部门i的总产值扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量.第三部分是表中左下部分,净产值Zj. 设部门j的劳动报酬为，纯收入为，则,j =1,2,n.另外,部门j的总产值记为xj，j=1，2，n.投入产出表具有两个平衡关系:总产品=中间产品+最终产品总产值=中间消耗的价值+净产值由此获得两个平衡方程分配平衡方程 , i=1，2，n,(6.1.1)反映部门i的分配情况.消耗平衡方程 ,j=1，2，n, (6.1.2)反映部门的消耗情况.从(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得综合平衡方程 , (6.1.3)6.1.2 直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念.部门j所生产的单位价值的产品对部门i的产品的直接消耗量为 i，j=1,2,3,n (6.1.4)称为部门j对部门i的直接消耗系数，而称为直接消耗系数矩阵，aij的大小在很大程度上反映出部门j对部门i的依赖程度.从(6.1.4)得，把它代入(6.1.1)得(6.1.5) i=1,2,3.,n (6.1.5)设,得 AX+Y=X即 (I-A)X=Y(6.1.6)再由(6.2)得()+=j=1,2.,n (6.1.7)1-=0 (6.1.8)可见aij具有性质：(1) ，(2)(j=1,2,.,n), 即A矩阵每列的列和均小于1.以下我们证明一个结论.定理6.1.1 必存在.证明：(反证法)设 |I-A|=0 ，则I-A各行向量线性相关从而有不全为0的系数，使令 ，则 (不全为0)上述方程组中第k个方程为解出 ()，矛盾，说明，必存在.证毕.从而(6.1.6)可写成(6.1.9)模型(6.1.9)的作用.此式当然是已知A与Y，求X，但你可能会说必须先有X才能求出A. 通常的做法是利用上一年的直接消耗系数矩阵A略作修改(常用RAS方法修改A)后，作为本年度的A，再给出本年度的最终需求Y，进而求出本年度各部门的总产值X，以此为生产计划的依据.6.1.3完全消耗系数定理6.1.2 设A是直接消耗系数矩阵, 证明: 先定义一个矩阵函数（称为矩阵范数）,则 一般地,由数学归纳法可得, (k=1,2,)., 从而, 又因令, 得. 证毕.由(6.1.9)得 特别令 , 则即 , (6.1.10)(6.1.10)式说明了为了使部门j多生产1个单位价值的最终产品,部门k就要多生产Ckj个单位价值的周转产品供各部门生产过程消耗用,这种消耗包含了直接消耗与间接消耗,故我们把Ckj称为完全消耗系数,矩阵C称为完全消耗系数矩阵.完全消耗包含了直接消耗与全部间接消耗.以下以自行车生产过程对电的消耗为例说明完全消耗的概念. 如图6.1.1自行车 钢材 轮胎 设备 电 钢 电 橡胶 电 钢材 电 生铁 电 煤 电 钢 电第一次间接消耗直接消耗第二次间接消耗图6.1.1图6.1.1中, 在生产自行车时,加工零件和装配零件的过程需要耗用电,比如说每辆用电32度,这是自行车对电的直接消耗;另外,还需消耗钢材,轮胎和设备等,而这些东西在生产过程中,自然也消耗电, 这是自行车经过了一个中间环节对电的消耗,我们称为第一次间接消耗, 比如说每辆自行车用了20kg钢管,而生产这些钢管时用了25度电, 那么,这25度电就是自行车对电的第一次间接消耗的其中一部分.同理,可说明第二次间接消耗和第三次间接消耗等等. 间接消耗是指各次间接消耗之和. 完全消耗是直接消耗与间接消耗之和.各次间接消耗又是与直接消耗密切关联的.可以证明, 第一次间接消耗系数矩阵为A2; 第二次间接消耗系数矩阵为A3; 一般第k次间接消耗系数矩阵为Ak+1. 因此, 完全消耗系数矩阵=.例6.1.1 设有一个经济系统包含三个部门, 在某一年内,各部门的直接消耗系数矩阵A与最终产品Y已知为算出 完全消耗系数矩阵各部门总产值是6.2 效益分配模型在社会活动或经济活动中,若干实体(个人或企业)相互合作,常常能比他们单独行动获得更多的利益. 确定合理的分配方案是促成合作成功的前提.例6.2.1 设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利1元；若甲乙合作,可获利7元,甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作可获利10元.问三人合作时应如何合理分配10元的利益.由题可见，有甲参加的合作，获利最大，7+5=12，有乙参加的合作，获利次之，7+4=11，有丙参加的合作，获利最小，5+4=9，可见，在合作中，甲贡献最大，乙次之，丙最小.故在分配利益时，应考虑与贡献联系起来.具体如何分配，这方面的问题就是n人合作对策问题.6.2.1 n人合作对策与特征函数设有n个局中人的集合I=1，2，n，对I中任一子集S，定义一实函数V(S)满足条件：（a） =0 ; （b） 当时， (称为超可加性)二元体I，V称为一个n人合作对策, V(S)称为该对策的特征函数，描述合作的效益.在例6.2.1中，V(甲)=V(乙)=V(丙)=1， V(甲乙)=7V(甲)+V(乙)， V(甲丙)=5V(甲)+V(丙)， V(乙丙)=4V(乙)+V(丙).注： 条件(b)称为超可加性，描述了“团结力量大”的道理. 在合作对策中，假定参与结盟的各个成员都齐心协力，以保该结盟获得最大的利益. 有时也称V为合作对策.6.2.2 n人合作对策的解n人合作对策的解是指对总体结盟所获利V(I)的一个分配方案.用表示局中人i从合作V中获得报酬，为一个分配方案，则至少应满足： 个体合理性：, 即合作优于单干 总体合理性：一般地，n人合作对策有很多解，如何获得一个更合理的唯一解.Shapley在1953年提出了Shapley值三公理. 对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为I的一个排列，则 (i=1，2，n)其中V为重排序后的特征函数.为重排后原局中人i的新编号;有效性.(a)若成员i对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的分配应为0.即若，V(S)=V(S-i)，则 (i=1,2, n)这种局中人称为零局中人(null player);(b)完全分配 ;可加性 对I上任意两个特征函数U与V即若n人同时进行两项合作时，每人的分配是两项合作分配之和.满足上述三公理的称为Shapley值，Shapley证明了对任一n人合作对策，Shapley值是唯一存在的且 i=1，2，,n (6.2.1)其中 , 为集S的元素个数, (6.2.1)给出了合理的分配方案. 有2n-1项求和.特别对于三人合作对策,设I=，现有合作V, 记u1=V(A), u2=V(B), u3=V(C), u12=V(AB), u13=V(AC), u23=V(BC),合作V的解由(6.2.1)可得, (6.2.2)例，在例6.2.1中, 代入(6.2.2)得分配方案 6.2.3应用实例下面举例说明这个模型的应用.例6.2.2 有三个位于某河流同旁的城,从上游到下游依次为A、B、C,三城的污水必须经处理后方能排入河中,A、B距离为20公里,B、C距离38公里.设Q为污水流量(米3/秒),L为管道长度(千米).假设建污水厂费用为Cl=730Q0.712(千元),而建管道费用为C2=6.6Q0.51L(千元),已知三城的污水流量分别为QA=5,QB=3,Qc=5,问应该怎样处理(单独设厂还是联合设厂),可使总开支最少,又每一城镇负担的费用应各为多少? (参见图6.2.1)上游 下游QA=5QB=3Qc=5AB C20km38km图6.2.1解题思路：合作可省钱把省钱视作获利计算获利的分配导出费用的分担.以下分别计算与比较各方案的效益.(5)A与C合作，在C处建厂投资=A与C分别建厂的投资小于合建一厂的投资，故它们应选择分别建厂，即节省为0(因为假设合作都应齐心协力使该结盟获得最大利益)(6)B与C合作，在C处建厂投资比分别建厂节省(7)A,B,C合作建厂在C处投资 比各自建厂节省综合上述可知，最佳方案(节省最多)的方案是三城合作建一厂，共节省630.2(千元)，这合作的获利如何分配呢？现把节省的钱作为获利,则，代入(6.2.2)得从而三城投资的分担分别是 6.3 森林管理模型6.3.1 问题描述森林中的树木每年要有一批被砍伐出售，为使这片森林不被耗尽而且每年有所收获，每砍伐一棵树，应该就地补种一棵幼苗，使森林数目的总数保持不变.我们希望找到一个方案，在收获保持稳定的前提下，获得最大的经济价值.6.3.2 模型假设(1)把森林中树木按高度分为n级，第k级的高度在之间.第1级是幼苗，第k级树木的单位价值为;(2)开始时，第k级树木的数量是棵,每年砍伐一次，第k级砍伐棵，=0.为使每年维持稳定的收获.故每年砍伐后留下的树木与补种的幼苗.其状态与起始时相同（即各等级树木的数量相同）;(3)森林中树木总数是S，假设每一棵树木都可从幼苗长到收获，且砍伐一棵补种一棵幼苗.故总量保持不变.即;(4)树木每年至多生长一个高度级，第k级树木进入第k+1级的比例为,留在原级的比例为.6.3.3 建立模型 表示本年未砍伐时第k+1级新增的树木数（最顶级不会再长）由假设（2），k=1,2,，n-1 (6.3.1)是决策变量，可控制使其满足此不等式. （6.3.2） (幼苗长为2级的数量) 总收益 =于是得优化模型为： （等价于即视xn为松弛变量） k=1,2,n-1 （6.3.3） k=1,2,，n-1 整数另方面，我们可把变量xk转化为yk. 从（6.3.2）式得 代入 又得 同理得 ， k=1,2,3,，n-1此时，=这样，模型（6.3.3）等价于 (6.3.4) 整数 k=2,3,，n （注）6.3.4 特殊解法模型（6.3.4）若忽略整数约束，就是除非负要求外只有一个不等式约束的线性规划.这种情况是很容易求解的.一般地我们有如下结果：定理6.3.1 对于如下形式的线性规划模型 其中，都是正数.若，则其最优解为，其它 (jk), 最优值为证明：显然是可行解且现设x为任一可行解，则故是最优解.证毕.例6.3.1 解：max(6/3=2,8/2=4,3/1=3)= 8/2，s=10故最优解为：,最优值为：例6.3.2 设某森林有6年生长期，S10000, g1=0.28, g2=0.31, g3=0.25, g4=0.23, g5=0.37, g6=0; p1=0, p2=50, p3=100, p4=150, p5=200, p6=250; 问如何砍伐才能使持续经济效益最大？解：把数代入模型（6.3.4）得现忽略整数约束，得：最优解即即把长到第三年的树全部砍伐光，可使持续效益最大.6.6 生产配套模型6.6.1问题描述 设有n个车间要生产m种产品，第j车间每天生产第i种产品至多aij 件（即全天只安排生产产品i而不安排生产其他产品时的最大产量），假设这m种产品第i种需bi件配成一套，问如何安排生产任务才能使产出的成套产品最多？（i=1,2,.,m； j=1,2,.,n）6.6.2建模 以一天为制定生产计划的时间单位.设 xij 表示车间j安排用于生产产品i的时间（占全天的比例）, Z表示每天生产的成套产品数目, 则 aijxij表示车间j每天生产产品i的数目,例如：车间2每天至多生产某产品6件，若安排1/3天时间去生产，则至多可产出2件.若令,