高中数学知识点精编——数列.doc

高中数学知识点精编数列一、数列的概念：1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项2. 通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 3. 递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式4. 数列的前项和与通项的公式：（1）； （2）5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法6. 数列的分类：（1）有穷数列，无穷数列；（2）递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列； 递增数列: 对于任何,均有 递减数列: 对于任何,均有 摆动数列: 例如: 常数数列: 例如:6,6,6,6,（3）有界数列，无界数列 有界数列: 存在正数使 无界数列: 对于任何正数,总有项使得二、等差数列：1. 等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差 ；用递推公式表示为或2. 等差数列的通项公式：通项公式，为首项，为公差 ；3. 等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项 ，其中即：是与的等差中项，成等差数列4. 等差数列的前和公式： 或 5. 等差数列的判定方法：（1）定义法：（，是常数）是等差数列；（2）中项法：()是等差数列；（3）通项公式法：（a,b为常数）为等差数列；（4）前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列6. 等差数列的常用性质：（1）数列是等差数列，则数列、（、是非零常数）都是等差数列；（2）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；特别地，当时，则有（5）若等差数列的前项和，(,是常数，)，则是等差数列；（6）设数列是等差数列，且公差为 若项数为偶数，设共有项，则；奇偶； 若项数为奇数，设共有项，则；偶奇；（7）等差数列的单调性： 为递增数列，为常数列， 为递减数列（8）若等差数列、的前和分别为、，且，则7. 数列最值：（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法： 若已知，(,是常数，)，可用二次函数最值的求法（） 若已知，则最值时的值（）可如下确定 或 三、等比数列：1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比 ，即：2. 等比数列的通项公式：，为首项，为公比 3. 等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项 ，即：是与的等差中项，成等差数列 , G=4. 等比数列的前项和公式：设等比数列的前n项和是（1）当时，（2）当时， 或5. 等比数列的判定方法：（1）定义法：（，是常数）是等比数列 ；（2）中项法：()且是等比数列（3）通项公式法：为等比数列；（4）前n项和公式法：当时， ；当时，这里，但为等比数列6. 等比数列的常用性质：（1）数列是等比数列，则数列、都是等比数列；（2）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为（3）如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有（4）对于等比数列，若，则 ,特别地，当时，则有（5）若数列是等比数列，是其前n项的和，则、是等比数列（6）等比数列的单调性： 若，或则为递增数列； 若,或 则为递减数列； 若，则为摆动数列； 若，则为常数列（7）当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。（8）在等比数列中，当项数为偶数时，；当项数为奇数时，（9）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。（10）等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd ； 等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ；（11）成等差数列成等比数列；正项成等比数列成等差数列四、数列的通项的求法：1. 公式法： 等差数列通项公式； 等比数列通项公式2. 已知（即）求，用作差法：3. 已知求，用作商法：4. 若求用累加法：5. 已知求，用累乘法：6. 已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）：（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求 ； （2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项五、数列求和的常用方法：1. 公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论；常用公式：， ， 2. 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和3. 倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则采用此法（这也是等差数列前和公式的推导方法）4. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）5. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有： ； ； ，； ； ； ； 6. 通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和六、“分期付款”型应用问题：1. 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题. 但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”. 对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决2. 利率问题：单利问题： 如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型若每期存入本金元，每期利率为，则