高中数学第二册(上)知识点梳理 第六章不等式 第七章 直线和园 第八章圆锥曲线.doc

高中数学第二册（上）知识点梳理不等式，直线和圆，圆锥曲线（广西民族大学卢亮总结）（不等式部分）1.不等式的基本性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：；(4)乘法法则：；(5)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则： 2.不等式证明的三种基本方法比较法：作差比较，根据ab0ab，欲证ab只需证ab0；作商比较，当b0时，ab1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。3. 平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：（当a = b时取等）特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： （，）；（）绝对值不等式：*算术平均几何平均（a1、a2an为正数）：（a1=a2=an时取等）*常用不等式的放缩法：4. 常用不等式的解法举例（x为正数）： 类似于（直线和圆部分知识梳理）1直线的倾斜角的范围是 ；求直线斜率的两种方法：定义： ； 斜率公式：答案2直线方程的几种形式：点斜式 ，适用范围：不含直线； 特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于轴的直线；两点式 ，适用范围：不含直线和直线；特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用3求过，的直线方程时：（1）若，且时，直线垂直于轴，方程为；（2）若，且时，直线垂直于轴，方程为；（3）若，且时，直线即为轴，方程为；（4）若，且时，直线即为轴，方程为。4已知直线：，直线：，则与相交 ； 与平行 ；与重合 ； 与垂直 5已知直线：，直线：，则与相交 ； 与平行 ；与重合 ； 与垂直 6两点，之间的距离 ；点到直线：的距离 ；两平行直线：与：之间的距离 7圆的标准方程为，其中 为圆心， 为半径 ；圆的一般方程为表示圆的充要条件是，其中圆心为 ，半径为 8点与圆的位置关系圆的标准方程为，点，（1）点在圆上：；（2）点在圆外：；（3）点在圆内：。9直线与圆的位置关系判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去或整理成一元二次方程后，计算判别式 ； ； 。（2）几何法：利用圆心到直线的距离和圆半径的大小关系 ； ； 。10圆的切线方程若圆的方程为，点在圆上，则过点，且与圆相切的切线方程为；经过圆上的的切线方程为：。11计算直线被圆截得的弦长的两种方法：（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。（2）代数法：利用韦达定理及弦长公式12设圆：，圆：，则有两圆相离 ；外切 ；内切 ；相交 ；内含 13对称问题点关于点的对称：利用中点坐标公式。直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法（坐车法）。点关于直线对称：利用垂直和平分。直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。常用的对称关系：点(a,b)点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点关于点的对称点的坐标为点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)， 点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)，点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线y= -x的对称点(-b,-a)， 点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m的对称点(m-b,m-a).（圆锥曲线方程部分）1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 （1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A B C D（答：C）；（2）方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，C同号，AB）。如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：）； （2）若，且，则的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且A，B异号）。如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_ _（答：）； （2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_（答：）（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆的离心率，则的值是_（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_（答：）（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。如 （1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：或）； （2）双曲线的离心率为，则=（答：4或）； （3）设双曲线（a0,b0）中，离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：）； （3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内6、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为_（答：）；（2）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_（答：）；（3）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_（答：）；7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。如 （1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_（答：6）；（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则_（答：）；8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则AMFBMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PAPB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且若分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8）； （2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_（答：3）；10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；（2）已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_（答：）；特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！11你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_（答：）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为AB，则；（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点12动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：）； 一动圆与两圆M：和N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化