数列求和-复习课.doc

复习课: 数列求和教学目标重点：探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法.难点：掌握特殊数列求和的常用方法（错位相减、分组求和、裂项相消）.能力点：由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.教育点：培养学生观察、分析、归纳能力.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：在具体的求和问题中，学生容易忽略对字母的讨论.学法与教具1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：多媒体、投影仪.一、【知识结构】 数列求和分组求和拆项相消错位相减倒序相加二、【知识梳理】1.等差数列前n项和Sn_，推导方法：_；等比数列前n项和Sn推导方法：乘公比，错位相减法.2.常见数列的前n项和(1)123n_；(2)2462n_；(3)135(2n1)_；(4)122232n2_；(5)132333n3_.3.数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.4.常见的拆项公式(1)；(2)； (3).【范例导航】例1求和：(1)Sn；(2)Sn222.【分析】将数列分解转化为若干个等差或等比数列，从而求得原数列的和.【解答】(1)由于ann，Sn(123n)1.(2)当x1时，Sn4n.当x1时，Sn222 (x2x4x2n)2n2n2n.Sn【点评】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.变式训练: 求和Sn1.解析和式中第k项为ak12.Sn22(111()22n2.例2设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项； (2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.【分析】解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n1an的前n项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n1an，进而求得an.【解答】(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，适合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.【点评】乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养.变式训练: 已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2an (nN*). (1)证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若bn(2n1)an2n1，数列bn的前n项和为Tn.求满足不等式2 013的n的最小值.答案：(1)证明因为Snn2an，即Sn2ann，所以Sn12an1(n1) (n2，nN*).两式相减化简，得an2an11.所以an12(an11) (n2，nN*)，所以数列an1为等比数列.因为Snn2an，令n1，得a11.a112，所以an12n，所以an2n1.(2)解因为bn(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1. 若2 013，则2 013，即2n12 013.由于2101 024,2112 048，所以n111，即n10.所以满足不等式2 013的n的最小值是10.例3已知数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San. (1)求Sn的表达式； (2)设bn，求bn的前n项和Tn.【分析】裂项相消求和法，基本方法是把数列各项拆成两项的差，使求和时中间各项相互抵消.【解答】(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列.12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.【点评】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.变式训练: 已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1Sn(n1,2,3，).(1)求数列an的通项公式； (2)当bnlog(3an1)时，求证：数列的前n项和Tn.答案(1)解由已知得 (n2)，得到an1an (n2).数列an是以a2为首项，以为公比的等比数列.又a2S1a1，ana2n2 n2 (n2).an(2)证明bnlog(3an1)logn.Tn1.四、【解法小结】1.数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和.(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.3.失误与防范1.直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程.2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断.4.含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论. 等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决.五、【布置作业】必做题：1. 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN)，则该医院30天入院治疗甲流的人数共有_解析：由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30构成公差为2的等差数列，所以a1a2a29a30151522255.答案：2552. 已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5C. D.解析：本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.答案：C3. 【2010河北隆尧一中五月模拟】等差数列中，是其前项和，则= （ ） A11B11C.10D10【答案】A【解析】，得 ，由，得，选 A4. (2011北京崇文一模)已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2n.数列bn满足bn22bn1bn0(nN)，且b311，b1b2b9153.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn对一切nN都成立的最大正整数k的值解析：(1)当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1n5.而当n1时，n56，ann5.又bn22bn1bn0，即bn2bn1bn1bn，bn是等差数列，又b311，b1b2b9153，解得b15，d3.bn3n2.(2)cnTnc1c2cn.Tn1Tn0，Tn单调递增，故(Tn)minT1. 令，得k19，所以kmax18.选做题：1. (2012潍坊调研) “嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是()A10秒种 B13秒种C15秒种 D20秒种解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，an，则数列an是首项为a12，公差为d2的等差数列，由求和公式得na1240，即2nn(n1)240，解得n15.故选C.答案：C2. (2011天津)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为 ()A.110 B.90 C.90 D.110答案：D3. 已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 009项之和S2 009等于_解析：由题意an1an1an，anan2an1，两式相加得an2an1，an5an1，即an是以6为周期的数列2 00933465.a1a2a2 009a1a2a3a4a52 0082 00912 0082 0091，即S2 0091. 答案：1.六、【教后反思】1. 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运