立足教材,着眼长远,培养高一学生推理证明的能力(最后稿).doc

立足教材，着眼长远，培养高一学生推理证明的能力无锡市立人高中数学名师工作室 214161 王华民、阮必胜1 问题的提出 【现象一】市年轻教师教学基本功大赛第一轮解题比赛，有一道源自教材的试题“向量共线定理的证明”，是推理证明题从答卷反馈：27位选手仅40%的得满分，约40%的得一半分，20%的不得分；错误主要表现在：对教材不熟悉，逻辑关系模糊，出现循环论证【现象二】市高一期末检测试题19：已知f(x)= +(m+1)xm+2，g(x)=f(x)+2m2， m是实数（）求证：f(x)必有零点；() 若m1，用定义证明g(x)在1,+上为减函数；（）若m1，是否存在互不相等的正整数a，b，使g(x)的定义域和值域均为a，b，若存在，求出a，b的值；若不存在，试说明理由统计显示：某三星级学校得分率仅为16.5%，是试卷中得分率最低的试题现象一反映出，在高考应试背景下，有些教师只重视结论的应用（习题训练），而忽视定理的形成过程及证明从现象二发现：高一学生形式运算能力尤其是推理证明能力较弱2. 推理证明的重要性与现状高中数学课程标准中指出：数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用，要崇尚数学的理性精神理性精神的基本内涵是：坚持以理性或以理性为基础的思维方法作为判断真假、是非的标准；每个论点都必须持之以理另外，代数推理题一直是高考的热点题型之一，得分率很低，不少考生望而生畏从课标教材分析，初中课标和教材淡化了几何证明的要求，降低了代数运算包括因式分解的要求；从学生现状分析，刚进入高一的学生，已经习惯于初中的直观、感性学习新知，给推理证明的教学带来了一定的困难；高二虽在选修教材中有“推理与证明”一章，但不少学校重视不够；到了高三复习，再来强化多字母和抽象函数的推理综合训练，学生当然难以接受因此，在高中数学教学中，加强推理证明的训练具有十分重要的作用3 推理证明能力的培养高中推理证明的能力如何培养呢？我们觉得必须从高一开始，充分挖掘教材的资源，用心体会、整合教材中推理证明的“点”；操作时需要低起点、小步子，逐步渗透、分层训练下面以苏教版数学必修1为例，谈一些做法与体会3.1 直接利用定义进行推理证明，使学生树立信心，有助于养成说理有据的思维习惯案例1 用函数最值的定义进行推理证明教材在出示函数的最大值、最小值定义后，安排了一道例题（第36页例5）：已知函数y=f(x)的定义域是a，b，acb，当xa，c时是单调增函数，当 xc，b 时，f(x)的单调减函数试证明f(x)在x=c时时取得最大值教材是直接利用最值的定义证明的：因为当xa，c时是单调增函数，所以对于任意当xa，c，都有f(x)f(c)；又因为当xc，b，f(x)是单调减函数，所以对于任意当xc，b，都有f(x)f(c)，即f(x)在x=c时取得最大值点评 上述推理证明虽然很简约，但它抓住了单调性和最值这两个定义反思我们的一些课堂，有的教师忽略了这一段推理，仅让学生看一看，他们觉得如果根据条件画图，那么结论是显然的，而且教材上一般是以画图观察来求函数的最值众所周知，一口不能吃成胖子，如果能让学生先熟悉这种简单的推理证明，从简单的开始，逐步过渡，使学生不惧怕推理，是否更合理呢！案例2 在必修1“集合”单元的习题课上，可根据“感受理解6和8”整合成下列问题：已知A= x | x 23x=0，B=x| a x = 1，若，求实数a的取值范围解析 ，A=0,3，B=或B=0或B=3（1）若B=，则a=0; (2)若B=0，=0矛盾；（3）若B=3，则=3，a=综上，a=0或a=.点评 以上推理含有三小段，第一段是根据并集定义，写出子集关系，第二段是根据二元素集合A写出其子集；第三段是对于三种情形的分类讨论、检验，最后是结论学生已经熟悉了初中简单的几何推理，但对于代数推理尚显陌生，可以在习题课上逐步渗透上述两个案例，一个是教材中的例题，一个是整合习题，它们都是从最简单、基本的定义（概念）或定理出发，让学生亲身经历推理证明，不仅让学生熟悉推理的基本套路，树立起推理的信心，而且有助于学生养成说理有根据、思考有条理和表达清晰的良好习惯3.2 通过代数变形进行推理证明，使学生熟悉推理中的变形手段，有助于严谨思维案例3 用增（减）函数的定义进行代数变形，证明函数的单调性教材第35页的例2“证明函数f(x)=在区间上是单调增函数”，需要用增函数的形式化定义证明一堂校级公开课显示：师生根据定义先作差，当推理到时，有不少学生认为：当，故f(x)在区间，0）上是单调增函数如何与学生解释呢？师：这是利用反比例函数的图象性质（在（，0）上单调减），但这只是几何直观说明，而不是代数证明代数证明讲究思维的逻辑性和严密性，步步有据，不能用图象的直观感知或用图象的性质来代替推理在这里，代数推理“定号”的依据只能是符号法则：同（异）号相乘得正（负）讲清了道理，学生理解了，方能产生自觉的行动因此，师生一同往前再“推”一步：，才能说明：（，0），1，所以f(x)=在R上是增函数，因为2.53.2, 所以1.52.5 0, a1，M0，N0）的探究证明这是必修1教材对结论的第一个推理证明，难度较大，需要引导好，手中的工具是指数与对数的定义以及指数幂的运算性质定义是研究问题的出发点，也是推理证明的主要依据第一步，探究性质教师从复习指数式与对数式的互化提出问题：“指数幂运算有性质(1) amanam+n (2) ，对数运算是否也有类似性质呢？”遂以特殊值探路、猜测出对数的运算性质：见上述 (1)、(2)第二步：推理证明教师启发引导：欲证性质（1），需利用指数幂的运算性质，因此，要将对数式转化为指数式，设一个中间量“过渡”设logaMp，logaNq，由对数的定义得：Map，Naq ，MNapaqap+q再由对数定义得loga（MN）pq，即loga（MN）logaMlogaN解题回顾：体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用，第一次是将对数式转化为指数式，第二次是把指数式转化为对数式尝试练习：证明性质（2），补充(3)logaM nnlogaM(nR)，由两人板演，师生一同评价点评 以上操作分成两大步，第一步设置一个局部探究的过程，是归纳推理；第二步是证明性质的过程，是演绎推理在解决问题的过程中，往往需要归纳推理与演绎推理相结合通过对数运算性质的教学，使学生进一步了解推理证明的操作方法，启发学生对指数、对数有更系统化的理解，并导致发现张乃达先生说：数学证明包括理性精神的教育价值，只有在学生的探索活动中才能得到整合和发挥理性思维是有明确的思维方向和充分的思维依据，能对事物或问题进行分析、比较、综合、抽象与概括可见，对数运算性质的探究证明有助于学生的理性思维案例6 对数函数y=log a x (a0, a1)两个性质的推理在2010年江苏省高中数学研讨会上，常州徐伟老师在执教“对数函数（一）”时，学生从所画的几个对数函数图象上观察得值域为R，徐老师没有就此停止，而是抛出了问题：“是否所有的对数函数都具有这个性质？能说明理由吗？”学生把对数式y=log a x 转化为指数式x=ay，根据指数函数中yR，推理出对数函数的值域也为R同理可推得过定点（1，0）点评 教师引导学生对“对数函数的性质”实施了简单的推理，虽然教材中没有涉及，但它是既作为知识层面（指数式和对数式定义转换）的复习，也作为推理方法层面（对数运算性质方法）的复习，这种推理方法的巩固复习尤为重要通过推理证明，不仅帮助学生进一步理解对数性质，还使学生构建系统化知识3.5 注意分层设计，努力为“尖子生”提供更多展示推理证明、演绎精彩的舞台在高一数学教学中，对于教材上已有的演绎推理点，不可以学生的认知水平跟不上为理由，随意降低要求；对于教材中没有推理要求的，可适当增加一些推理点但要根据学生的实际，把握适度性原则面对数学“尖子生”，应该提供更多的展示数学推理证明的舞台，例如在对数函数的复习课上，由教材P例4和P探究题12设置一道证明题：设f(x)=| lgx|，当0ab时， f(a)= f(b)，求证：a1b方法一，利用两边平方、因式分解；方法二，根据条件去绝对值，再取舍，能使不同思路碰撞，演绎精彩再如新授课中关于“奇偶函数图象的对称性质”的证明，也是推理证明的好素材，不妨一试立足教材，从高一开始进行简单的推理证明的训练，积累一些常用的推理手段：代数变形（作差、代入、消元、配方、因式分解等），围绕定义转换，尝试“构造”函数等；着眼长远，它既能为高二系统证明和高三