2006年全国初中数学联赛试题及解答.pdf

2006年全国初中数学联赛试题 2006年全国初中数学联赛试题 第一试 第一试 一 选择题 每小题一 选择题 每小题7分 共分 共42分 分 1 已知四边形ABCD为任意凸四边形 E F G H分别是边AB BC EF GH CD DA的中点 用S P分别表示四边形的面积和周长 S1 P1分别表示四边形的 面积和周长 设 1 S S K 1 1 P P K 则下面关于K K1的说法中 正确的是 A K K1均为常值 B K为常值 K1不为常值 C K1为常值 K不为常值 D K K1均不为常值 2 已知m为实数 且sin cos 是关于x的方程 3x2 mx 1 0的两根 则sin4 cos4 的值为 A 29 B 13 C 79 D 1 3 关于x的方程a x x 1 2 仅有两个不同的实根 则实数a的取值范围是 a A a 0 B a 4 C 2 a 4 D 0 a 0 则实数a b c的大小关系是 02 22 caba 2 abc A b c a B c a b C a b c D b a c 5 a b为有理数 且满足等式 324163 ba 则a b的值为 A 2 B 4 C 6 D 8 6 将满足条件 至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数 从小到大排成一列数 20 40 60 80 100 104 则这列数中的笫158个数为 A 2000 B 2004 C 2008 D 2012 二 填空题 每小题7分 共28分 1 函数的图像与x轴交点的横坐标之和等于 2008 2006 2 xxy 2 在等腰Rt ABC中 AC BC 1 M是BC的中点 CE AM于点E 交AB于点F 则 S MBF 3 使16 8 4 22 xx取最小值的实数x的值为 4 在平面直角坐标系中 正方形OABC的顶点坐标分别为O 0 0 A 100 0 B 100 100 C 0 100 若正方形OABC内部 边界及顶点除外 一格点P满足 S POA S PBC S PAB S POC 就称格点为 好点 则正方形内部好点的个数为 注 所谓格点 是指在平面直角坐标系中横 纵坐标均为整数的点 第二试 A 第二试 A 一 20分 已知关于x的一元二次方程 无相异两实根 则满足条 件的有序正整数组 a b 有多少组 0 994 32 2 222 baxbax 二 25分 如图 D为等腰 ABC底边BC的中点 E F分别 为AC及其延长线上的点 已知 EDF 90 ED DF 1 AD 5 求线段BC的长 三 25分 如图 在平行四边形ABCD中 A的平分线 分别与BC DC的延长线交于点E F 点O O1分别为 CEF ABE的外心 求证 1 O E O1三点共线 2 OBD 2 1 ABC 第二试 B 第二试 B 一 20分 同A卷第一题 二 25分 同A卷第二题 三 25分 如图 在平行四边形ABCD中 A的平分线 分别与BC DC的延长线交于点E F 点O O1分别为 CEF ABE的外心 1 求证 O E O1三点共线 2 若 2 1 ABC 70 求 OBD的度数 第二试 C 第二试 C 一 20分 同A卷第二题 二 25分 同B卷第三题 三 25分 设p为正整数 且p 2 在平面直角坐标系中 点A 0 p 和点B p 0 的连线段通过p 1个格点 C1 1 p 1 Ci i p i Cp 1 p 1 1 证明 1 若p为质数 则在原点 0 0 与点Ci i p i 的连线段OCi i 1 2 p 1 上除端点外无其他格点 2 若在原点O 0 0 与点Ci i p i 的连线段OCi i 1 2 p 1 上除端点 外无其他格点 则p为质数 2006年全国初中数学联赛答案 2006年全国初中数学联赛答案 第一试 第一试 一 选择题 1 B 如图 易知 S AEH 4 1 S ABD S CFG 4 1 S CBD 于是 S AEH S CFG 4 1 SABCD 同 理 故S BEF S DHG 4 1 SABCD 故S EFGH 2 1 SABCD即 k 2为常值 又易知 P1 AC BD 特别地 若取邻边长分别为1 2的矩形 则k1 5 3 再取邻边长分别为1 的矩形 则k1 10 4 故k不是常值 2 C 由根与系数的关系知 sin cos 3 1 则有sin4 cos4 sin2 cos2 2 2 sin cos 2 9 7 3 D 当a0时 原方程化为a x x 1 2 整理得 x2 ax a 0 1 或x2 ax a 0 2 因为方程 2 的判别式 2 a2 4a 0 即方程 2 有两个不同实根 又因为原方程仅有两个不同实根 故必有方程 1 的判别式 1 a2 4a 0 从而 0 a a2及 b 0知c 0 由2ab a2 c2及 b 0知a 0 由a2 2ab c2 0 b2 c2 a b 2 0 从而b c 若b c 由a2 2ab c2 0知a b 从而a b c与bc a2矛盾 故b c 又由b2 bc a2 故b a 由a2 c2 2ab 2a2 故c a 从而b c a 5 B 因为333612 31 1632416 333 ba 即03 1 3 ba a b为有理数 a 3 b 1 a b 4 6 C 在正整数中 是4的倍数为末两位是4的倍数 其中包含数字0的情况 00 04 08 20 40 60 80 和不包含数字0的18种情形 显然 满足条件的两位数仅有4个 满足条件三数共9 7 63个 满足条件且 千数为1的四位数 共有7 10 18 1 88个 因为4 63 88 155 则从小到大第155个满足条件的数为1980 下面满足条件的数依次为2000 2004 2008 故这列数中的第158个数为2008 二 填空题 二 填空题 1 0 原问题可转化为求方程x2 2006 x 2008 0 的所有实根之和 若实数x0为方 程 的根 则其相反数 x0也为方程 的根 即与x轴交点的横坐标之和等于0 2 12 1 如图 过B作BG BC交CF延长线于G 易证Rt ACM Rt CBG 故BG CM S CBG S ACM 2 1 S ABC 又易证 BFM BFG 故S MBF S BMF S CMF 从而S BGF 3 1 S CBG 6 1 S ABC 12 1 3 3 8 在直角坐标系中 设A 0 2 B 8 4 P x 0 则 PA 4 2 x PB 16 8 2 x 所以 PA PB AB 1068 22 当且仅当A P B三点共 线时等号成立 即当且仅当A P B三点共线时原式取最小值 此时如图易知 BCP AOP 故有2 2 4 AO BC PO CP 从而 OP 3 1 OC 3 8 即原式取最小值式 x 3 8 4 197 如图 过点P作PD OA于D 作PE AB于E 作PF BC 于F 作PG OC于G 易知PF PD 100 PE PG 100 由 S POA S PBC S PAB S B POC 知PD PF PE PG 即 PD 100 PD PG 100 PG 化简为 PD PG PD PG 100 0 故 PD PG 或 PD PG 100 即PD PG 或 PG PF 于是 P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点 同理 可以知道当P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点时 满足S POA S PBC S PAB S B POC 因此 点P为 好点 当且仅当P为对角线OB上的点或对角线AC内部的格点 易知OB内部有99个 好点 PA内部也有99个 好点 又易知OB与AC的交点也 为 好点 于是 满足条件的 好点 的个数为 99 99 1 197个 第二试 A卷 第二试 A卷 一 无相异两实根 0 994 32 2 222 baxbax 所以 化简为 0 994 4 32 2 222 baba45632 baab a b 为正整数 54 32 3 ba 4 54 3 54 32 a b 2b 3 13 故b 5 当b 1时 5 54 3 a故a 7 符合条件的有序正整数对共有7组 当b 2时 7 54 3 a故a 4 符合条件的有序正整数对共有4组 当b 3时 9 54 3 a故a 3 符合条件的有序正整数对共有3组 当b 4时 11 54 3 a故a 1 符合条件的有序正整数对共有1组 当b 5时 13 54 3 a故a 1 符合条件的有序正整数对共有1组 综上所述 符合条件的有序正整数组共有7 4 3 1 1 16组 二 解 如图 过E作EG AD于G 过F作FH AD于H 则DFHRtEDGRtDFHEDG 设EG x DG y 则DH x FH y 且 1 1 22 yx AEGRt Q 则AFHRt AH AG FH EG 即 x y y x 5 5 化简为 由 1 2 知 2 5 22 xyyx 3 5 1 xy 由知 2 2222 yxxyyx 2 yx 25 49 25 1 2 即有 4 5 7 yx 由 3 4 知 5 4 5 3 yx 又 AEGRt AG EG AD CD ACDRt 故 7 5 5 4 5 5 3 5 AG EG ADCD 所以 7 10 2 CDBC 三 解 1 连接OE OF O1A O1E ABCD为平行四边形 ECFABE 又 点O O1分别为 CEF ABE的外心 OE DF O1A O1E ABEECFEOF22 1E AO 于是OEF EAO1 11 OEOAEOOEF 三点共线 2 解法一 连接OD OC ABCD为平行四边形 CFCECFEBAFDAECEF 又 点O为 CEF的外心OCFOCEOCOFOE OCDOEBOCFOFCOEC 又DCABEBAEBEADBAE OEBOCD OBODOBEODC ODBOBDOBCODC BDAODCCBDOBCOBD OBDABCBDOADC ABCOBD 2 1 解法二 连接OD OC ABCD为平行四边形 CFCECFEBAFDAECEF 又 点O为 CEF的外心OCFOCEOCOFOE OCFOFCOECOCFOCE OCFOCEOCOFOE OCFOFCOECOCFOCE OCDOEB DCABEBAEBEADBAE OEBOCD OBEODC O B D C四点共圆 ABCFCBOCFOBD 2 1 2 1 第二试 B卷 第二试 B卷 三 1 如图 连接 11 EOAOOFOE 因为四边形ABCD为平行四边形 所以 ECFABE 又因为点O O1分别为 CEF ABE的外心 所以 11 EOAOOFOE 22 1E AOABEECFEOF 于是 有 OEF O1EA 故 1 AEOOEF 所以 O E Ol三点共线 2 解法一 连接OD OC 因为四边形ABCD为平行四边形 所以 CFEBAFDAECEF 故CE CF 又因为点D为 CEF的外心 所以 OE OF OC 则有 OCFOCE OCFOFCOEC 故又 OCDOEB AEBEADBAE 则EB AB DC 因 此 OEBOCD 所以 OBODOBEODC ODBOBDOBCODC BDAODCCBDOBCOBD OBDABCBDOADC 故 2 1 ABCOBD 又因为 70 ABC所以 35 OBD 解法二 同上 有 故O B D C四点共圆 则 OBEODC 2 1 2 1 ABCFCBOCFOBD 又因为 70 ABC所以 35 OBD 第二试 C卷 第二试 C卷 三 1 用P a b 表示 OAB内的格点 a b为正整数 假 设结论不成立 则点P位于某条线段OCi内部 如图 过点P作PE OB于点E 过点Ci作CiF OB于点F 由 OEP OFCi 知 i ip a b 其中易知 11 pi 1 1ipbia 由 i ip a b 知 apiba 从而 因为p为质数 且 api 11 pi则i与p互质 从而 故 ai ai 这与矛盾