2009年高考数学试题分类汇编——立体几何.pdf

2009200920092009 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 立体几何立体几何 一 选择题 1 2009 年广东卷文 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 D 解析 错 正确 错 正确 故选 D 2 2009 广东卷 理 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 解析 选 D 3 2009 浙江卷理 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是侧面 11 BBC C的中心 则AD与平面 11 BBC C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 取 BC 的中点 E 则AE 面 11 BBC C AEDE 因此AD与平面 11 BBC C所成 角即为ADE 设ABa 则 3 2 AEa 2 a DE 即有 0 tan3 60ADEADE 4 2009 浙江卷文 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 l 则l D 若 l 则l 4 C 命题意图 此题主要考查立体几何的线面 面面的位置关系 通过对平行和垂直的考 查 充分调动了立体几何中的基本元素关系 解析 对于 A B D 均可能出现 l 而对于 C 是正确的 5 2009 北京卷文 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面边长为 1 1 AB与底面 ABCD 成 60 角 则 11 AC到底面ABCD的距离为 A 3 3 B 1C 2D 3 答案答案答案答案 D w 解析解析解析解析 k本题主要考查正四棱柱的概念 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念 属于基础知识 基本运算的考查 依题意 1 60B AB 如图 1 1 tan603BB 故选 D 6 2009 北京卷理 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面边长为 1 1 AB与底面ABCD成 60 角 则 11 AC到底面ABCD的距离为 A 3 3 B 1 C 2D 3 答案答案答案答案 D 解析 解析 解析 解析 本题主要考查正四棱柱的概念 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念 第 4 题解答图 属于基础知识 基本运算的考查 依题意 1 60B AB 如图 1 1 tan603BB 故选 D 7 2009 山东卷理 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为2 四棱锥的底面 边长为2 高为3 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 答案 C 命题立意 本题考查了立体几何中的空间想象能力 由三视图能够想象得到空间的立体图 并能准确地 计算出 几何体的体积 8 2009 山东卷理 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的 一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的 一条直线 m 则 反过来则不一定 所以 是 m 的必要不充分条件 答案 B 命题立意 本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 9 2009 山东卷文 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线 m 则 反过来则不一定 所以 是 m 的必要不充分条件 答案 B 命题立意 本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 10 2009 全国卷 文 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 AA 2AB E为 1 AA重点 则异面直线BE与 1 CD所形成角的余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 答案 答案 C C C C 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 解析 本题考查异面直线夹角求法 方法一 利用平移 解析 本题考查异面直线夹角求法 方法一 利用平移 CDCDCDCD BA BA BA BA 因此求因此求 EBA EBA EBA EBA 中中 A BEA BEA BEA BE 即可即可 易知易知 EB EB EB EB 2 A E 1 A B A E 1 A B A E 1 A B A E 1 A B 5 故由余弦定理求故由余弦定理求 coscoscoscos A BE A BE A BE A BE 3 10 10 或由向或由向 量法可求 量法可求 11 2009 全国卷 文 设 OA 是球 O 的半径 M 是 OA 的中点 过 M 且与 OA 成 45 角的平 面截球 O 的表面得到圆 C 若圆 C 的面积等于 4 7 则球 O 的表面积等于 答案 答案 8 8 8 8 解 析 本 题 考 查 立 体 几 何 球 面 知 识 注 意 结 合 平 面 几 何 知 识 进 行 运 算 由解 析 本 题 考 查 立 体 几 何 球 面 知 识 注 意 结 合 平 面 几 何 知 识 进 行 运 算 由 8 14 4 7 4 44 22 RS 12 2009 全国卷 理 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面ABC 上的射影为BC的中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 D A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解 设BC的中点为 D 连结 1 AD AD 易知 1 A AB 即为异面直线AB与 1 CC所成的角 由三角余弦定理 易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 故选 D 13 2009 全国卷 理 已知二面角 l 为60o 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的 距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 C A B 2 C 2 3 D 4 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 PDlD 于 连 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP 即AP点 与点重合时取最小值 故答案选 C 14 14 2009 江西卷文 如图 在四面体ABCD中 截面PQMN是正方形 则在下列命题中 错误 的为 A ACBD B AC 截面PQMN C ACBD D 异面直线PM与BD所成的角为45 答案 C 解析 由PQ AC QM BD PQ QM可得AC BD 故A正确 由PQ AC可得AC 截面PQMN 故B正确 异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角 故D正确 综上C是错误的 故选C 15 15 2009 江西卷理 如图 正四面体ABCD的顶点A B C分别在两两垂直的三条射线 Ox Oy Oz上 则在下列命题中 错误 的为 A OABC 是正三棱锥 B 直线OB 平面ACD C 直线AD与OB所成的角是45 D 二面角DOBA 为45 答案 B 解析 将原图补为正方体不难得出 B 为错误 故选 B y x z O A B C D P Q M N A B C D 16 2009 四川卷文 如图 已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形 ABPAABCPA2 平面则下列结论正确的是 A ADPB B PAB平面PBC平面 C 直线BC PAE平面 D 直线ABCPD与平面所成的角为 45 答案 答案 D D D D 解析 解析 AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直 所以 A 不成立 又 平面 PAB 平面 PAE 所以 PAB平面PBC平面 也不成立 BC AD 平面 PAD 直线BC PAE平面也不成立 在PADRt 中 PA AD 2AB PDA 45 D 正确 17 2009 四川卷文 如图 在半径为 3 的球面上有CBA 三点 ABC 90 BCBA 球心O到平面ABC的距离是 2 23 则CB 两点的球面距离是 A 3 B C 3 4 D 2 答案 答案 B B B B 解析 解析 AC 是小圆的直径 所以过球心 O 作小圆的垂线 垂足 O 是 AC 的中点 O C 2 23 2 23 3 22 AC 32 BC 3 即 BC OB OC 3 BOC 则CB 两点的球面距离 3 3 18 2009 全国卷 理 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2AAAB E为 1 AA中点 则 异面直线BE与 1 CD所成的角的余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 解解 令1AB 则 1 2AA 连 1 AB 1 C D 1 AB 异面直线BE与 1 CD所成的角即 1 AB 与BE所成的角 在 1 ABE 中由余弦定理易得 1 3 10 cos 10 ABE 故选故选 C C C C 19 2009 辽宁卷理 正六棱锥 P ABCDEF 中 G 为 PB 的中点 则三棱锥 D GAC 与三棱 锥 P GAC 体积之比为 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 解析 由于 G 是 PB 的中点 故 P GAC 的体积等于 B GAC 的体积 在底面正六边形 ABCDER 中 BH ABtan30 3 3 AB 而 BD 3AB 故 DH 2BH 于是 VD GAC 2VB GAC 2VP GAC 答案 C 20 2009 宁夏海南卷理 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D上有两 个动点 E F 且 2 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D 异面直线 AE BF所成的角为定值 解析 A 正确 易证 11 ACD DBBACBE 平面 从而B 显 然正确 EFBDEFABCD 平面易证 C 正确 可用等积法求得 D 错误 选 D 21 2009 宁夏海南卷理 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 c c c c 2 m 为 为 A 48 122 B 48 242 C 36 122 D 36 242 解析 选 A 22 2009 湖北卷文 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 0 ACC1 60 0 BCC 1 45 0 侧棱 CC 1的长为 1 则该三棱柱的高等于 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 3 3 A B C DE F H 答案 A 解析 过顶点 A 作底面ABC的垂线 由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长 23 2009 湖南卷文 平面六面体 1111 ABCDABC D 中 既与AB共面也与 1 CC共面的棱的条 数为 C A 3B 4C 5D 6 C C C C 1 1 1 1 D D D D 1 1 1 1 B B B B 1 1 1 1 A A A A 1 1 1 1 D D D D C C C C B B B B A A A A 解 如图 用列举法知合要求的棱为 BC CD 11 C D 1 BB 1 AA 故选 C 24 2009 辽宁卷文 如果把地球看成一个球体 则地球上的北纬 0 60纬线长和赤道长的比值 为 A 0 8 B 0 75 C 0 5 D 0 25 解析 设地球半径为 R 则北纬 0 60纬线圆的半径为 Rcos60 1 2 R 而圆周长之比等于半径之比 故北纬 0 60纬线长和赤道长的比值为 0 5 答案 C 25 2009 全国卷 文 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面ABC 上的射影为BC的中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解析 本小题考查棱柱的性质 异面直线所成的角 基础题 同理 7 解 设BC的中点为 D 连结 1 AD AD 易知 1 A AB 即为异面直线AB与 1 CC所成的角 由三角余弦定理 易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 故选 D 26 2009 四川卷文 如图 已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形 ABPAABCPA2 平面则下列结论正确的是 A ADPB B PAB平面PBC平面 C 直线BC PAE平面 D 直线ABCPD与平面所成的角为 45 答案 答案 D D D D 解析 解析 AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直 所以 A 不成立 又 平面 PAB 平面 PAE 所以 PAB平面PBC平面 也不成立 BC AD 平面 PAD 直线BC PAE平面也不成立 在PADRt 中 PA AD 2AB PDA 45 D 正确 27 2009 四川卷文 如图 在半径为 3 的球面上有CBA 三点 ABC 90 BCBA 球心O到平面ABC的距离是 2 23 则CB 两点的球面距离是 A 3 B C 3 4 D 2 答案 答案 B B B B 解析 解析 AC 是小圆的直径 所以过球心 O 作小圆的垂线 垂足 O 是 AC 的中点 O C 2 23 2 23 3 22 AC 32 BC 3 即BC OB OC 3 BOC 则CB 两点的球面距离 3 3 28 2009 陕西卷文 若正方体的棱长为2 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体 的体积为 A 2 6 B 2 3 C 3 3 D 2 3 答案 B 解析 由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体 即两个同底同高同棱 长的正四棱锥 所有棱长均为 1 其中每个正四棱锥的高均为 2 2 故正八面体的体积为 2 122 2 21 323 VV 正四棱锥 故选 B 29 2009 宁夏海南卷文 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D上有两 个动点 E F 且 1 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D AEFBEF 的面积与的面积相等 答案 D 解析 可证 11 ACD DBBACBE 平面 从而故 A 正确 由 11D B 平面 ABCD 可知 EFABCD平面 B 也正确 连结 BD 交 AC 于 O 则 AO 为三棱锥ABEF 的高 4 1 1 2 1 2 1 BEF S 三棱锥ABEF 的体积为 24 2 2 2 4 1 3 1 为定值 C 正确 D 错 误 选 D 30 2009 宁夏海南卷文 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 2 cm 为 A 48 12 2 B 4824 2 C 36 12 2 D 3624 2 答案 A 解析 棱锥的直观图如右 则有 PO 4 OD 3 由勾股定 理 得 PD 5 AB 62 全面积为 2 1 6 6 2 2 1 6 5 2 1 62 4 48 122 故选 A 31 2009 湖南卷理 正方体 ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D的棱上到异面直线 AB C 1 C 的距离相等的点的个数为 C A 2B 3C 4D 5 答案 C 解析 解析如图示 则 BC 中点 1 B点 D点 1 D点分别到两异面直线的距离相等 即满 足条件的点有四个 故选 C 项 32 2009 四 川 卷 理 如 图 已 知 六 棱 锥PABCDEF 的 底 面 是 正 六 边 形 2PAABC PAAB 平面 则下列结论正确的是 PBAD 平面PABPBC 平面 C 直线BC 平面PAE PDABC 直线与平面所成的角为45 考点定位 本小题考查空间里的线线 线面关系 基础题 同文 6 解 由三垂线定理 因 AD 与 AB 不相互垂直 排除 A 作PBPBPBPBAGAGAGAG 于G G G G 因面 PABPABPABPAB面 ABCDEF 而 AG 在面 ABCDEF 上的射影在 AB 上 而 AB 与 BC 不相互垂 直 故排除 B 由EFEFEFEFBCBCBCBC 而 EF 是平面 PAE 的斜线 故排除 C 故选择 D 解析 2 设低面正六边形边长为a 则2 22ADa PAABa 由PA 平面ABC可知 PAAD PA且AD 所以在Rt PAE 中有直线PD与平面PAE所成的角为45 故应 选 D 33 2009 四川卷理 如图 在半径为 3 的球面上有 A B C三点 90 ABCBABC 球心O到平面ABC的距离是 3 2 2 则BC 两点的球面距离是 A 3 B C 4 3 D 2 考点定位 本小题考查球的截面圆性质 球面距 基础题 同文 9 解析 由知截面圆的半径 3 3 3 32 2 2 23 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 4 4 4 4 18181818 9 9 9 9 BCBCBCBCr r r r 故 3 3 3 3 BOCBOCBOCBOC 所以BC 两点的球面距 离为 3 3 3 3 3 3 3 3 故选择 B 解析 2 过球心O作平面ABC的垂线交平面与D ABC BABC 则D在直线AC上 由于 3 2 2 OD 22 3 2 2 CDOCOD 所以3 2AC 由ABC 为等腰直角三 角形可得3BC 所以OBC 为等边三角形 则 B C两点的球面距离是3 3 34 2009 重庆卷理 已知二面角l 的大小为 0 50 P为空间中任意一点 则过点P且 与平面 和平面 所成的角都是 0 25的直线的条数为 A 2B 3C 4D 5 答案 B 解析 AFE 是度数为 0 50的二面角的一个平面角 FGAFE 为的平分线 当过 P 的直线与FG平行时 满足条件 当过点 p 的直线与 AD 平行 也是满足条件直线 与 AD 直 线类似 过点的直线与 BE 平行也是满足条件得共有 3 条 35 2009重庆卷文 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 顶点 1 B到对角线 1 BD和到平面 11 ABCD 的距离分别为h和d 则下列命题中正确的是 A 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 0 1 B 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 2 3 D 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 3 答案 C 解析设底面边长为 1 侧棱长为 0 过 1 B作 1111 B HBD BGAB 在 11 Rt BB D 中 2 111 2 2B DB D 由三角形面积关系得 111 1 2 1 2 2 B D BB hB H B D 设在正四棱柱中 由于 1 BCAB BCBB 所以BC 平面 11 AAB B 于是 1 BCBG 所以 1 BG 平面 11 ABCD 故 1 BG为点到 平 面 11 ABCD的 距 离 在 11 Rt AB B 中 又 由 三 角 形 面 积 关 系 得 111 1 2 11 AB BB dBG AB 于是 2 2 2 211 21 2 2 h d 于是当 1 所以 2 2 21 23 11 32 经检验 点 M 的坐标满足上述不等式组 所以在ABO 内存在一点M 使FM 平面BOE 由点 M 的坐标得点M到OA OB的距离为 9 4 4 4 2009 浙 江 卷 文 本 题 满 分 14 分 如 图 DC 平 面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB P Q分别为 AE AB的中点 I 证明 PQ 平面ACD II 求AD与平面ABE所成角的正弦值 证明 连接CQDP 在ABE 中 QP 分别是ABAE 的中点 所以BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所以 PQ平面 ACD 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四边形 DCQP 是平行四边形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 5 2009 北京卷文 本小题共 14 分 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 解法解法解法解法 1 1 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 平面与平面垂直 直线 与平面所成的角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理 论证能力 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PDABCD 底面 PD AC AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 O E 分别为 DB PB 的中点 OE PD 1 2 OEPD 又 PDABCD 底面 OE 底面 ABCD OE AO 在 Rt AOE 中 12 22 OEPDABAO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 解法解法解法解法 2 2 2 2 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 设 ABa PDh 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDPh 0 0 0 0ACa aDPhDBa a 0 0AC DPAC DB AC DP AC DB AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 112 0 0 2 222 PaEaaa 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 1122 0 0 2222 EAaaaEOa 2 cos 2 EA EO AEO EAEO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 6 2009 北京卷理 本小题共 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大 小 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说 明理由 解法 解法 解法 解法 1 1 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成的角 二 面角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 PA 底面 ABC PA BC 又90BCA AC BC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角ADEP 的平面角 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时90AEP 故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角 解法 解法 解法 解法2 2 2 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa 1 0 0 0 0 2 APaBCa 0BC AP BC AP 又 90BCA BC AC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC E 为 PC 的中点 13131 0 44242 DaaaEaa 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 13131 0 44242 ADaaaAEaa 14 cos 4 AD AE DAE ADAE AD与平面PAC所成的角的大小 14 arccos 4 同解法 1 7 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CD A 1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC1 C 的一个平面角 在 BCF 为正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D F1 O P E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以二 面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC 设平面 CC1F 的法向 量为 nx y z 则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取 1 3 0 n 则 1 31 131 00 22 n EE 所以 1 nEE 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB 设 平 面 BFC1的 法 向 量 为 1111 nx y z 则 1 11 0 0 n FB n FC 所 以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n 则 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 由图可知二面角 B FC 1 C 为锐角 所以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 命题立意 本题主要考查直棱柱的概念 线面位置关系的判定和二面角的计算 考查空间想 象能力和推理运算能力 以及应用向量知识解答问题的能力 8 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 E AB C F E1 A1 B1 C1D1 D x y z M 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC D E 分别为 AA1 B1C 的中点 DE 平面 BCC1 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 60 求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 解析 本题考查线面垂直证明线面夹角的求法 第一问可取解析 本题考查线面垂直证明线面夹角的求法 第一问可取 BCBCBCBC 中点中点 F F F F 通过证明 通过证明 AFAFAFAF 平平面面 BCCBCCBCCBCC1 1 1 1 再证再证 AFAF 为为 BCBC 的垂直平分线的垂直平分线 第二问先作出线面夹角 即证四边形 第二问先作出线面夹角 即证四边形 AFEDAFEDAFEDAFED 是正方形可是正方形可 证平面证平面 DEFDEFDEFDEF 平面平面 BDCBDCBDCBDC 从而找到线面夹角求解从而找到线面夹角求解 此题两问也可建立空间直角坐标系利用向此题两问也可建立空间直角坐标系利用向 量法求解 量法求解 解法一 取 BC 中点 F 连接 EF 则 EF 1 2 1 B B 从而 EFDA 连接 AF 则 ADEF 为平行四边形 从而 AF DE 又 DE 平面 1 BCC 故 AF 平面 1 BCC 从而 AF BC 即 AF 为 BC 的垂直平分线 所以 AB AC 作 AG BD 垂足为 G 连接 CG 由三垂线定理知 CG BD 故 AGC 为二面角 A BD C 的 平面角 由题设知 AGC 60 0 设 AC 2 则 AG 2 3 又 AB 2 BC 2 2 故 AF 2 由AB ADAG BD 得 2AD 22 2 2 3 AD 解得 AD 2 故 AD AF 又 AD AF 所以四边形 ADEF 为正方形 因为 BC AF BC AD AF AD A 故 BC 平面 DEF 因此平面 BCD 平面 DEF 连接 AE DF 设 AE DF H 则 EH DF EH 平面 BCD 连接 CH 则 ECH 为 1 BC与平面 BCD 所成的角 A C B A1 B1 C1 D E 因 ADEF 为正方形 AD 2 故 EH 1 又 EC 1 1 2 BC 2 所以 ECH 30 0 即 1 BC与平面 BCD 所成的角为 30 0 解法二 以 A 为坐标原点 射线 AB 为 x 轴的正半轴 建立如图所示的 直角坐标系 A xyz 设 B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则 1 B 1 0 2c E 1 2 2 b c 于是DE 1 2 2 b 0 BC 1 b 0 由 DE 平面 1 BCC知 DE BC DE BC 0 求得 b 1 所以AB AC 设平面 BCD 的法向量 ANx y z 则0 0 AN BCAN BD 又BC 1 1 0 BD 1 0 c 故 0 0 xy xcz 令 x 1 则 y 1 z 1 c AN 1 1 1 c 又平面ABD的法向量AC 0 1 0 由二面角CBDA 为 60 知 ACAN 60 故60cos ACANACAN 求得 2 1 c 于是 211 AN 211 1 CB 2 1 cos 1 1 1 CBAN CBAN CBAN 60 1 CBAN 所以CB1与平面BCD所成的角为 30 9 2009 江苏卷 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F 分别是 1 AB 1 AC的中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面 ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBC C 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面得位 置关系 考查空间想象能力 推理论证能力 满分 14 分 10 2009 全国卷 理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如 图 四 棱 锥SABCD 中 底 面ABCD为 矩 形 SD 底 面ABCD 2AD 2DCSD 点 M 在侧棱SC上 ABM 60 I 证明 M 在侧棱SC的中点 II 求二面角SAMB 的大小 I 解法一 作MN SD交CD于 N 作NEAB 交AB于 E 连 ME NB 则MN 面ABCD MEAB 2NEAD 设MNx 则NCEBx 在RT MEB 中 60MBE 3MEx 在RT MNE 中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x 从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M 解法二 过M作CD的平行线 解法三 利用向量处理 详细可见 09 年高考参考答案 II 分析一分析一 利用三垂线定理求解 在新教材中弱化了三 垂线定理 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的 方法求作二面角 过M作MJ CD交SD于J 作SHAJ 交AJ于H 作HKAM 交AM于K 则 JM CD JM 面SAD 面SAD 面MBA SH 面AMB SKH 即为所求二面角的 补角 分析二分析二 利用二面角的定义 在等边三角形ABM中过点B作BFAM 交AM于点F 则点F为 AM 的中点 取 SA 的中点 G 连 GF 易证GFAM 则GFB 即为所求二面 角 分析三分析三 利用空间向量求 在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可 另外 利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等 这些方法也能奏效 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自半 壁江山的状况 命题人在这里一定会照顾双方的利益 11 2009 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 13131313 分 分 如图 四棱锥 F ABCD 的底面 ABCD 是菱形 其对角线 AC 2 BD 2 AE CF 都与平 面 ABCD 垂直 AE 1 CF 2 I 求二面角 B AF D 的大小 II 求四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 公共部分的体积 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 相交平面所成二面角以 及空间几何体的体积计算等知识 考查空间想象能力和推理论证能力 利用综合法或向量法 解决立体几何问题的能力 本小题满分 13 分 解 I 综合法 连接 AC BD 交于菱形的中心 O 过 O 作 OG AF G 为垂足 连接 BG DG 由 BD AC BD CF 得 BD 平面 ACF 故 BD AF 于是 AF 平面 BGD 所以 BG AF DG AF BGD 为二面角 B AF D 的平面角 由FCAC 2FCAC 得 4 FAC 2 2 OG 由 2 2 OBOG OBOD 得2 2 BGDBGO 向量法 以 A 为坐标原点 BD AC AE 方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空 间直角坐标系 如图 设平面 ABF 的法向量 1 nx y z 则由 1 1 0 0 nAB nAF 得 2 0 2 220 xy yz 令1z 得 2 1 x y 1 2 1 1 n 同理 可求得平面 ADF 的法向量 2 2 1 1 n 由 12 0n n 知 平面 ABF 与平面 ADF 垂直 二面角 B AF D 的大小等于 2 II 连 EB EC ED 设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H 则四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 的公共部分为四棱锥 H ABCD 过 H 作 HP 平面 ABCD P 为垂足 因为 EA 平面 ABCD FC 平面 ABCD 所以平面 ACFE 平面 ABCD 从而 PAC HPAC 由1 HPHPAPPC CFAEACAC 得 2 3 HP 又因为 1 2 2 ABCD SAC BD 菱形 故四棱锥 H ABCD 的体积 12 2 39 ABCD VSHP 菱形 13 2009 安徽卷文 本小题满分 13 分 如图 ABCD 的边长为 2 的正方形 直线 l 与平面 ABCD 平行 g 和 F 式 l 上的两个不同点 且 EA ED FB FC 和是平面 ABCD 内的两点 和都与平面 ABCD 垂直 证明 直线垂直且平分线段 AD 若 EAD EAB 60 EF 2 求多面 体 ABCDEF 的体积 思路 根据空间线面关系可证线线垂直 由分割法可求得多面体体积 体现的是一种部分 与整体的基本思想 解析 1 由于 EA ED 且 EDABCDE DE C 面 点 E 在线段 AD 的垂直平分线上 同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上 又 ABCD 是四方形 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E F 都居线段 AD 的垂直平分线上 所以 直线 E F 垂直平分线段 AD 2 连接 EB EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E ABCD 和正四面体 E BCF 两 部分 设 AD 中点为 M 在 Rt MEE 中 由于 ME 1 3 2MEEE E V ABCD 2 114 2 22 333 SABCD EE 四方形 又 E V BCF VC BEF VC BEA VE ABC 2 1112 2 22 3323 ABC SEE 多面体 ABCDEF 的体积为 VE ABCD VE BCF 2 2 14 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以BD的中点O为球心 BD为直径的球面交PD于点M 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线PC与平面ABM所成的角 3 求点O到平面ABM的距离 解 方法 一 1 证 依题设 在以 为直径的球面上 则 因为 平面 则 又 所以 平面 则 因此有 平面 所 以平面 平面 设平面 与 交于点 因为 所以 平面 则 由 1 知 平面 则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射 影 所以PNM 就是PC与平面ABM所成的角 且PNMPCD O A P B C M D O N A P B C M D z x y tantan2 2 PD PNMPCD DC 所求角为arctan2 2 3 因为 O 是 BD 的中点 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半 由 1 知 平面 于 M 则 DM 就是 D 点到平面 ABM 距离 因为在 Rt PAD 中 4PAAD PDAM 所以M为PD中点 2 2DM 则 O 点到平面 ABM 的距离等于2 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ABM的一个法向量 nx y z 由 nAB nAM 可得 20 220 x yz 令 1z 则1y 即 0 1 1 n 设所求角为 则 2 2 sin 3 PC n PC n 所求角的大小为 2 2 arcsin 3 3 设所求距离为h 由 1 2 0 1 2 0 OAO 得 2 AO n h n 15 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以AC的中点O为球心 AC为直径的球面交PD于点 M 交PC于点N 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线CD与平面ACM所成的角的大小 3 求点N到平面ACM的距离 解 方法一 1 依题设知 AC 是所作球面的直径 则 AM MC 又因为 P A 平面 ABCD 则 PA CD 又 CD AD 所以 CD 平面 则 CD AM 所以 A M 平面 PCD 所以平面 ABM 平面 PCD 2 由 1 知 AMPD 又PAAD 则M是PD的中点可得 N O D M C B P A 2 2AM 22 2 3MCMDCD 则 1 2 6 2 ACM SAM MC 设 D 到平面 ACM 的距离为h 由 D ACMMACD VV 即2 68h 可求得 2 6 3 h 设所求角为 则 6 sin 3 h CD 6 arcsin 3 1 可求得 PC 6 因为 AN NC 由 PNPA PAPC 得 PN 8 3 所以 5 9NC PC 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 5 9 又因为 M 是PD的中点 则 P D 到平面 ACM 的距离相等 由 2 可知所求距离为 510 6 927 h 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ACM的一 个法向量 nx y z 由 nAC nAM 可得 240 220 xy yz 令 1z 则 2 1 1 n 设所求角为 则 6 sin 3 CD n CD n 所以所求角的大小为 6 arcsin 3 3 由 条 件 可 得 ANNC 在Rt PAC 中 2 PAPN PC 所 以 8 3 PN 则 10 3 NCPCPN 5 9 NC PC 所以所求距离等于点P到平面 CA M距离的 5 9 设点P到平面CA M距离为h则 2 6 3 AP n h n 所以所求距离为 510 6 h 927 16 2009 湖北卷理 本小题满分 12 分 注意注意 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 SD 平面 ABCD SD 2a 2ADa 点 E 是 SD 上的点 且 02 DEa 求证 对任意的 0 2 都有ACBE y x z D M C B P A i N i O 设二面角 C AE D 的大小为 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 若 tantan1 g 求 的值 18 18 18 18 证法 1 如图 1 连接 BE BD 由地面 ABCD 是正方形可得 AC BD SD 平面 ABCD BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影 AC BE 解法 1 如图 1 由 SD 平面 ABCD 知 DBE SD 平面 ABCD CD 平面 ABCD SD CD 又底面 ABCD 是正方形 CD AD 而 SD AD D CD 平面 SAD 连接 AE CE 过点 D 在平面 SAD 内作 DE AE 于 F 连接 CF 则 CF AE 故 CDF 是二面角 C AE D 的平面角 即 CDF 在 Rt BDE 中 BD 2a DE a tan 2 DE BD 在 Rt ADE 中 2 2 2ADa DEaAEa 从而