2010年普通高等学校招生统一考试(福建卷)理科数学.pdf

中国校长网资源频道 2010 年普通高等学校招生统一考试 福建卷 数学试题 理工农医类 第第 I I 卷卷 选择题 选择题 共共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 计算 sin43 cos13 cos43 sin13 的结果等于 A A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 2 以抛物线 y 2 4x 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A x 2 y2 2x 0 B x 2 y2 x 0 C x 2 y2 x 0 D x 2 y2 2x 0 3 设等差数列 an 前 n 项和为 Sn 若 a1 11 a4 a6 6 则当 Sn取最小值时 n 等于 A 6B 7C 8D 9 4 函数 f x 的零点个数为 A 0B 1C 2D 3 5 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的 i 值等于 A 2B 3C 4D 5 6 如图 若 是长方体 ABCD A1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1后得 到的几何体 其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点 F 为线段 BB1上异于 B1的点 且 EH A1D1 则下列结论中不正确的是 A EH FGB 四边形 EFGH 是矩形 中国校长网资源频道 C 是棱柱D 是棱台 7 若点 O 和点 F 2 0 分别为双曲线 2 2 2 1 x y a a 0 的中心和左焦点 点 P 为双曲线 右支上的任意一点 则op fp uu r uu r g的取值范围为 A 3 2 3 B 3 2 3 C 7 4 D 7 4 8 设不等式组所表示的平面区域是 1 平面区域 2 与 1 关于直线 3x 4y 9 对称 对于 1 中的任意点 A 与 2 中的任意点 B AB 的最小值等于 A 28 5 B 4C 12 5 D 2 9 对于复数 a b c d 若集合 S a b c d 具有性质 对任意 x y S 必有 xy S 则 当时 b c d 等于 A 1B 1C 0D i 10 对于具有相同定义域 D 的函数 f x 和 g x 若存在函数 h x kx b k b 为常数 对任给的正数 m 存在相应的 x0 D 使得当 x D 且 x x0时 总有则 称直线 l y kx b 为曲线 y f x 与 y g x 的 分渐近线 给出定义域均为 D 1x x 的四组函数如下 f x x 2 g x x f x 10 x 2 g x 23x x f x 2 1x x g x ln1 ln xx x f x 2 2 1 x f x x g x 2 x 1 e x 其中 曲线 y f x 与 y g x 存在 分渐近线 的是 A B C D 第第 卷卷 非选择题 非选择题 共共 100100 分 分 中国校长网资源频道 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 在等比数列 an 中 若公比 q 4 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通项公式 an 12 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面积等于 13 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的 5 个问题中 选手若能连续正确回答出两个问 题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0 8 且每个问题 的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 14 已知函数 f x 3sin x 6 0 和 g x 2cos 2x 1 的图像的对称轴完全相 同 若 x 0 2 则 f x 的取值范围是 15 已知定义域为 0 的函数 f x 满足 1 对任意 x 0 恒有 f 2x 2f x 成立 2 当 x 1 2 时 f x 2 x 给出结论如下 对任意 m Z 有 f 2 m 0 函数 f x 的值域为 0 存在 n Z 使得 f 2 n 1 9 函数 f x 在区间 a b 上单调递减 的充要条件是 存在 k Z 使得 a b 2 k 2k 1 其中所有正确结论的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 设 S 是不等式 x 2 x 6 0 的解集 整数 m n S 记 使得 m n 0 成立的有序数组 m n 为事件 A 试列举 A 包含的基本事件 设 m 2 求 的分布列及其数学期望 E 17 本小题满分 13 分 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦点 求椭圆 C 的方程 是否存在平行于 OA 的直线 L 使得直线 L 与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与 L 的距离 等于 4 若存在 求出直线 L 的方程 若不存在 说明理由 18 本小题满分 13 分 如图 圆柱 OO1内有一个三棱柱 ABC A1B1C1 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形 且 AB 是圆 O 的直径 证明 平面 A1ACC1 平面 B1BCC1 设 AB AA1 在圆柱 OO1内随机选取一点 记该点取自于 中国校长网资源频道 三棱柱 ABC A1B1C1内的概率为 P i 当点 C 在圆周上运动时 求 P 的最大值 ii 记平面 A1ACC1与平面 B1OC 所成的角为 0 b 0 且可知左焦点为 0 2 F 从而有2 c解得2 c 853 2 FAAFa 4 a 又 222 cba 所以12 2 b 故椭圆 C 的方程为1 1216 22 yx II 假设存在符合题意的直线l 其方程为txy 2 3 由txy 2 3 得01233 22 ttxx 1 1216 22 yx 因为直线l与椭圆 C 有公共点 所以 012343 22 tt 解得3434 t 另一方面 由直线 OA 与l的距离4 d可得4 1 4 9 t 从而132 t 由于 34 34132 所以符合题意的直线l不存在 解法二 I 依题意 可设椭圆 C 的方程为1 2 2 2 2 b y a x a b 0 且有 中国校长网资源频道 1 94 22 ba 解得12 2 b或3 2 b 舍去 从而16 2 a 4 22 ba II 同解法一 18 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 以及几何体的体积 几何概型等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结 合思想 化归与转化思想 必然与或然思想 满分 13 分 解法一 I AA1Q平面ABC BC平面ABC BCAA 1 ABQ是圆 O 的直径 ACBC 又AAAAC 1 I BC平面 11ACC A 而 BC平面 11BCC B 所以平面 11ACC A 平面 11BCC B II i 设圆柱的底面半径为 r 则rAAAB2 1 故三棱柱 111 CBAABC的体积 rACV BCAC2rBC 2 1 1 又 2222 4rABBCAC Q 2 22 2 2 r BCAC BCAC 当且仅当rBCAC2 时等号成立 从而 3 1 2rV 而圆柱的体积 32 22rrrV 故 1 2 2 3 3 2 1 r r V V p 当且仅当 rBCAC2 即ABOC 时等号成立 中国校长网资源频道 所以 p的最大值等于 1 ii 由 i 可知 p取最大值时 ABOC 于是 以 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系xyzO 如图 则 0 0 rC 0 0 rB 2 0 1 rrB BCQ平面 11ACC A 是平面 11ACC A的一个法向量 设平面OCB1的法向量 zyxn 取1 z 得平面OCB1的一个法向量为 1 2 0 n oo Q900 解法二 I 同解法一 II i 设圆柱的底面半径为 r 则rAAAB2 1 故三棱柱 111 CBAABC的体积rACV BCAC2rBC 2 1 1 设 900 oo BAC 则 cos2cosrABAC sin2sinrABBC 由于 222 22sin2cossin4rrrBCAC 当且仅当12sin 即 o 45 时等号成立 故 3 1 2rV 而圆柱的体积 32 22rrrV 故 1 2 2 3 3 2 1 r r V V p 当且仅当12sin 即 o 45 时等号成立 中国校长网资源频道 所以 p的最大值等于 1 ii 同解法一 解法三 I 同解法一 II i 设圆柱的底面半径r 则rAAAB2 1 故圆柱的体积 32 22rrrV 因为 V V p 1 所以当 1 V取得最大值时 p取得最大值 又因为点 C 在圆周上运动 所以当ABOC 时 ABC 的面积最大 进而 三棱柱 111 CBAABC的体积最大 且其最大值为 3 222 2 1 rrrr 故p的最大值等于 1 ii 同解法一 19 本小题主要考查解三角形 二次函数等基础知识 绿茶推理论证能力 抽象概括能力 运算求解能力 英语意识 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分 类与整合思想 满分 13 分 解法一 I 设相遇时小艇航行的距离为 S 海里 则 3090cos 20302400900 2oo ttS 400600900 2 tt 300 3 1 900 2 t 故当 3 1 t时 310 min S 此时330 3 1 310 v 即 小艇以330海里 小时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 II 设小艇与轮船在 B 出相遇 则 3090cos 30202900400 222oo tttv 故 2 2 400600 900 tt v 中国校长网资源频道 300 且对于线段AC上任意点 P 中国校长网资源频道 有ACOCOP 而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 小时 故小艇与轮船不可能在 A C 之间 包含 C 的任意位置相遇 设 900 oo COD 则在CODRt 中 tan310 CD cos 310 OD 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 30 tan31010 t和 cos 310 v t 所以 cos 310 30 tan31010 v 由此可得 30sin 315 o v 又30 v 故 2 3 30sin o 从而 oo 9030 由于 o 30 时 tan取得最小值 且最小值为 3 3 于是 当 o 30 时 30 tan31010 t取得最小值 且最小值为 3 2 解法三 I 同解法一或解法二 II 设小艇与轮船在 B 处相遇 依据题意得 3090cos 30202900400 222oo tttv 0400600 900 22 ttv 1 若300 v 则由 900 1600360000 2 v 0 675 1600 2 v 得315 v 中国校长网资源频道 从而 900 67520300 2 2 v v t 30 315 v 1当 900 67520300 2 2 v v t时 令675 2 vx 则 15 0 x 3 4 15 20 225 20300 2 xx x t 当且仅当0 x即 315 v时等号成立 当 900 67520300 2 2 v v t时 同理可得 3 4 3 2 t 2 若30 v 则 3 2 t 综合 1 2 可知 当30 v时 t 取最小值 且最小值等于 3 2 此时 在OAB 中 20 ABOBOA 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东 o 30 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 20 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括能力 推理论证能 力 运算求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 特殊与一 般思想 满分 14 分 解法一 i 有 f x x 3 x 得 f x 3x2 1 3 x 3 3 x 3 3 当 x 3 3 和 3 3 时 f x 0 当 x 3 3 3 3 时 f x 0 曲线 C 在点 P1处的切线方程为 y 3x1 2 1 x x 1 x1 3 x 1 即 y 3x1 2 1 x 2 x 1 3 中国校长网资源频道 由 得 x 3 x 3x 1 2 1 x 2 x 1 3 即 x x1 2 x 2x 1 0 解得 x x1或 x 2x1 故 x2 2x1 进而有 用 x2代替 x1 重复上述计算过程 可得 x3 2x2和 S2 4 2 27 4 x 又 x2 2x1 0 所以 S2 4 1 27 16 0 4 x 因此有 1 2 1 16 s s 记函数 g x ax 3 bx2 cx d a 0 的图像为曲线 C 类似于 ii 的正确命 题为 若对于任意不等于 3 b a 的实数 x1 曲线 C 与其在点 P1 x1 g x1 处的切线交于另 一点 P2 x2 g x2 曲线 C 与其在点 P2处的切线交于另一点 P3 x3 g x3 线段 P1P2 P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 S2 则 1 2 S S 为定值 证明如下 因为平移变换不改变面积的大小 故可将曲线 y g x 的对称中心平移至 解法二 同解法一 记函数 g x ax 3 bx2 cx d a 0 的图像为曲线 C 类似于 ii 的正确命题 为 若对于任意不等于 3 b a 的实数 x1 曲线 C 与其在点 P1 x1 g x1 处的切线交于另一 点 P2 x2 g x2 曲线 C 与其在点 P2处的切线交于另一点 P3 x3 g x3 线段 P1P2 P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1 S2 则 1 2 S S 为定值 中国校长网资源频道 证明如下 用 x2代替 x1 重复上述计算过程 可得 x3 2 b x a 和 4 2 2 3 3 12 axb S a 又 x2 11 2 3 bb xx aa 且 所以 44 211 2 333 3 62 16 3 0 121212 axbaxbaxb S aaa 故 1 2 1 16 S S 21 1 选修 4 2 矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换等基础知识 考查运算求解能力 满分 7 分 解法一 由题设得 因为矩阵 M 为对应的线性变换将直线变成直线 或点 所以可取直线 y 3x 上的两点 0 0 1 3