2012欧洲女子数学奥林匹克.pdf

3 0 中 等 数 学 2 0 1 2欧洲女子数学奥林匹克 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 2 1 1 0 0 3 0 0 4 第 一 天 1 如 图 1 0是 A A B C的外心 点 D F分别在线段 B C C A A B 上 使 得 D E 上 C O D F 上 B O 设 K为 A F E的外心 证明 D K上 C 2 设 n是一 个 图1 给定的正整数 求最大的正整数 m 使得具有 如下性质 存在一张 m行 17 列 的实数数表 满足对任意两行数 0 1 0 2 和 b l b 2 b 均有 n k q x l a l b 1 l l 口 2 6 2 I l a 一 b I 1 3 求所有的函数 厂 R R 使得对任意的 Y R有 I厂 y f Y l厂 4 x 2 y f Y 成立 4 若整数集合 AC A A 其中 A A n b 1 0 A b A 则称 A为 饱和的 若除 0外的所有整数都 是整数集合 A的某个非空有限子集中所有元 素的和 则称集合 l 为 自由的 问 是否存 在一个整数集合既是饱和的又是 自由的 第 二 天 5 设 P q是质数 1 1 是正整数 满足 一 P 1 q n 2 求 g P所有可能的值 6 无限多的人参加某社交 网站 其 中的 一 些人员配对是朋友 即每人至少有一个朋 友 至多有有限个朋友 朋友关系是对称的 若 4是 的朋友 则 也是 A的朋友 每一 个人都要指定 一 个朋友作为 自己的 挚友 这种指定不影响对方对于挚友的选择 即 A 选择 了 B为挚友并不意味着 要选择 以作 为 自己的挚友 被某人指定为挚友 的人被称 作 1阶挚友 更一般地 被某 I1 一1阶挚友指 定为挚友的人是 n阶挚友 若某人是任意正 整数阶挚友 则称他是 受欢迎的 证明 1 每个受欢迎的人都是某个受欢迎的 人的挚友 2 若每个人可 以有无限个朋友 则某 个受欢迎 的人 可能不是任意受欢迎 的人 的 挚友 7 圆 厂是锐角 A B C的外接圆 日为垂 心 是 劣弧B C 上 的一点 分 别是点 Jl 关于直线 A B B C的对称点 E是 L B M 的 外接圆与圆 厂 除点 B外 的另一个交点 证 明 K H E M B C三线共点 8 单词是字母 表中字母 的有限序列 若 某单词是由至少两个完全相同的子单词串联 而成 则称为 重复的 如 a b a b a b和 a b c a b c 是重复 的 a b a b a和 a a b b不 是重 复 的 证 明 若某个 词交换任意两个相邻字母后都 变成重复的 则这个单词所有的字母都相同 参 考 答 案 第 一 天 1 设 z 是过点 C与 A B C的外接圆相 2 0 1 2年第 1 1期 3 1 切的切线 由于 C O上 f 因此 z D E 从而 C D E B C Z B A C 所以 D E A四点共圆 同理 C D F A四点共圆 故 C D E B A C F D B 又 是 X A F E的外 心 则 EDF 1 8 0 一2 EAF 1 8 0 一 EKF 所 以 E D F K四点共圆 故 E D K E F K K E F K D F 又由 C D E F D B 从而 D K上 B C 2 m 2 分两步证明 1 先 证 明 m 2 对 n用 数学 归纳 法 i 几 l的情形是显然的 i i 当 n 1时 设数表中第一列最小 的 数为 口 则第一列中所有数均属于 n 0 1 将数表中的行分成 A 两部分 其中 A 口 l 0 2 0 I n 1 a 即第一个元素为 n的行构成的集合 B 0 l 0 2 口 1 0 1 0 0 1 对于 A中的元素 由于 n 均相同 于是 转化为 n一1的情形 从而 I Al 2 对于 B中的两个元 素 6 b b 和 C 1 c 2 C 因为 6 1 c l 0 口 1 所 以 I b l c 1 l 2 对 于整数 1 F 一1 都存在集合 A的一 个有限子集 口 a 0 使得 口 l 2 n 1 0 I F 2 1 当 n 2时 由 1 1 2 3 1 2 3 3 4 3 1 知结论成立 假设结论对于 n 成立 下面考虑当n k I 时 对任何整数 m l F 2 讨论 若 m 则 m F 2 2 十m m 一 2 1 0 j 一 l m m 1 F z 1 由归纳假设 m 可以表示为集合 A中有 限个绝对值小于 的元素的和 因为 m F 2 2 一 m 所 以 m 可 以表示为集合A中有限个绝对值小于 3 2 中 等 数 学 的元素的和 若 m F 2 结论也成立 若 F 2 2 m F 2 m F 2 l n m 1 F 2 由归纳假设 知 m可以表示为集合 A中有 限 个绝对值小于 F 的元素的和 所以 当 n k 1时 结论也成立 由于斐波那契数列是无界的 因此 每一 个正整数都可以表示成集合A的一个有限子 集中所有元素的和 对于负整数可以类似证明 3 最后证明 0不能表示成集合 A的一 个有限子集中所有元素的和 假设存在一个有限集合 A 使得 中 所有元素的和为 0 记 B一 b BI b 0 b l ma x B 6 2 rai n B一 不妨设 l b l I I b 2 I 令 b l F 2 b 2 一F 2 则 i 1 故 B一 中所有元素的和 一F3一 一 一F2 l 一F2 2 1 一F2 1 由此 曰中所有元素的和不小于 1 矛盾 从而 0不能表示成集合 的一个有 限 子集中所有元素的和 由 1 2 3 知整数集合 A是 自由的 故整数集合 A满足要求 第 二 天 5 等式两边同时减去 2得 1 1 4 一一 P 1 q n 2 由于 n是正整数 故等式左边大于0 因此 q p 1 又由于 q 是质数 则 q P 1 1 对式 通分得 垡 二 L q P 1 n 2 易知 q q p一1 q P 1 l P l q P一1 P 1 q 1 因此 等式左边是最简分数 所以 q P一1是 4的约数 故 q P一1 1 2 4 q P 2 3 5 经验证 以上情形分别在 P q n 3 5 7 8 2 5 2 8 2 7 l 9 时取 得 6 1 对于任意人员 A 记厂 A 为 的 挚 友 令f A A f A 厂 厂 A 所以 任意一位 k阶挚友必然属于某人 A的 A 令 是一个受欢迎 的人 对任意的正整 数 k 令 为满足厂 X的一个人 由于 的朋友数是有 限的 因此 必 有 无限多个 k 使得f 他们都指定 为 自己的挚友 是 同一个人 此人 也是受欢迎 的人 这是因为对任意的 Z k k阶挚友一定 是 f 阶挚友 2 当每个人 可以有无 限多个好友时 可以将 人员标号 为 X P i X 指 定 为 自己的挚友 P 指定 为 自己的挚 友 P 指 定 P 自己的挚友 i J 则所 有的 都是受欢迎的人 但 不是任何 一 个受欢迎的人的挚友 7 如 图 2 图 2 由 E M B L四点共圆知 BEM BL M C 2 0 1 2年第 1 1期 3 3 由于 B K B L B M 故 B L M 9 0 一 MB L 9 0 o 一 1 8 0 一 号 一 号 黜 L B K K B M 一 9 0 1 8 0 一 A BC一9 0 9 0o一 ABC 则 B E M B L M B A H 所以 E M与 A H的交点 在圆 厂上 而点 日关于 B C的对称点 也在 圆 厂 上 因此 点 与 重合 从而 B C是 H N 和 MK的垂直平 分线 即 K I t E M B C三线共点 8 称所有 字母 都 相 同 的单 词 是 恒 定 的 利用反证法得到矛盾 首先 考虑一个不恒定的单词 长度为 I l 由于 至少有两个不 同的相邻字母 不 妨假设 A a b B n 6 再不妨设 B c C非 空 因此 A a b c C 由条件得到两个重复的单词 g A b a c C P 是一个子单词 P的 P周 期重复 其中 P I J l p g f A a c b C Q 是一个子单词 Q的 q周 期重复 其中 g I o o l q 易知 若一个单词 U V是重复的 则单词 也是重复的 且子单词的长度相同 因此 对单词进行处理 C A b a c P 是一个子单词为 P 的 P周期重复 口 c 6 Q i 是一个子单词为 Q 的 g周期重复 接下来 考虑这两个重复单词的共同前 缀不能太长 若对任意的 1 Jj 一t 均有 0 a 成立 则称一个单词 口 口 n 是 t 周期的 故 c A既是 P周期 的也是 q周期的 先证明一个引理 引理设 P q为正整数 是一个 长度 为 n的单词 且 既是 P周期又是 q周期 若 n p q 贝 0 N是 p q 周期 证明首先证 明 对于两个非空的单词 V U的充分必要条件为 存在一个 单词 满足 I WI 1 I I V I 使得 I I I VI U V 而 充分性显然 必要性 对 l l l I 用数学归纳法 1 若 I I I V I 2 则 l UI I VI 1 显 然 取 U V即可 2 假设对 l I I V I Ji 成立 下面考虑 I I I V I 1 若 I UI I I 则取 U V即可 否则 不妨设 I I I l 则 V 因此 U U V U V U U V V 又 I I I l 2 I UI I l I I I V I 由归纳假设 存在 使得 I UI I I U 丽 V 而 故 V U V 而 丽 而 从而 当 I U l I I 1时 结论也 成立 回到引理的证明 不妨设 P g q r 则 N Q P s 1 QI q I PI p 若 r 0 引理显然 若 r 0 记 P U V Q V I V I r 由 V U P Q Q P 故存在一个单词 满足 l I P g 使得 P Q 从而 是 P g 周期的 回到原题 由引理知 l C A I p q一1 p q 2 否则 与 完全相同 矛盾 中 等 数 学 国际数学奥林匹克各入堂 熊 斌 华东师范大学数学系 2 0 0 2 4 1 中图分类号 Gl l 3 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 2 1 1 0 0 3 4 0 4 许多国际数学奥林匹克 I M O 的参赛 者 在他们之后从事数学研究 的事业中都得 到过数学研 究领域里最高荣誉 的奖项 同 时 许多成功 的数学研究者在他们年轻 的时 候也都参加过国际数学奥林匹克 本文列举 了一些最知名的数学奖项 以及其 中参加过 国际数学奥林 匹克的获奖者 也列举 了在 国 际数学奥林匹克中获得过三枚及以上金牌的 年轻获奖者 收稿 13期 2 0 1 2 0 6 1 5 修回 日期 2 0 1 2 0 9 0 7 1 菲尔兹奖 菲尔兹奖 F i e l d s Me d a l s 于 1 9 3 6年首 次颁发 奖项 中包括一枚金牌与奖金 就声 誉而言 菲尔兹奖被视为数学家可获得的最 高荣誉 在每 四年举 行的 国际数 学家大会 上 最多只有四个菲尔兹奖颁发给 年轻 的 数学家们 最多 4 o岁 表 1 是 I MO获奖选手获得菲尔兹奖 的 情况 由于PI to 且 1 p13 所以 k 2奢 2 m a x p q 1 若 m a x p q mi n p g 则 2 p 2 q 矛 盾 2 若 m a x p q mi n p q l 则由 3 m i n p g 2 n m x p q 2 m i n p q 2 m i n p q 2 mi n p q 2 m a x p q 3 由前面可知 q 13 故 P 2 q 3 b c c c J 2 m a x p q 6