2011年中考数学试题分类23 等腰三角形.pdf

课件园 第 23 章 等腰三角形 第 23 章 等腰三角形 一 选择题一 选择题 1 2011 浙江省舟山 7 3 分 如图 边长为 4 的等边 ABC 中 DE 为中位线 则四边 形 BCED 的面积为 A 32 B 33 C 34 D 36 A D BC E 第 7 题 答案 B 2 2011 四川南充市 10 3 分 如图 ABC和 CDE均为等腰直角三角形 点B C D在 一条直线上 点M是AE的中点 下列结论 tan AEC CD BC S ABC S CDE S ACE BM DM BM DM 正确结论的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 M E D C B A 答案 D 3 2011 浙江义乌 10 3 分 如图 ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形 BAC DAE 90 四边形 ACDE 是平行四边形 连结 CE 交 AD 于点 F 连结 BD 交 CE 于点 G 连结 BE 下列结论中 CE BD ADC 是等腰直角三角形 ADB AEB CD AE EF CG 一定正确的结论有 课件园 A B C D G F E A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 4 2011 台湾全区 30 如图 十三 ABC中 以B为圆心 BC长为半径画弧 分别 交AC AB 于D E两点 并连接BD DE 若 A 30 AB AC 则 BDE的度数为何 A 45 B 52 5 C 67 5 D 75 答案 5 2011 台湾全区 34 如图 十六 有两全等的正三角形ABC DEF 且D A分别为 ABC DEF的重心 固定D点 将 DEF逆时针旋转 使得A落在DE上 如图 十七 所示 求图 十六 与图 十七 中 两个三角形重迭区域的面积比为何 A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 5 4 答案 6 2011 山东济宁 3 3 分 如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm 那么此三 角形的周长是 A 15cm B 16cm 课件园 C 17cm D 16cm 或 17cm 答案 D 7 2011 四川凉山州 8 4 分 如图 在ABC 中 13ABAC 点 为10BC D BC的中点 垂足为点DE DEAB E 则DE等于 A 10 13 B 15 13 C 60 13 D 75 13 答案 C 二 填空题二 填空题 1 2011 山东滨州 15 4 分 边长为 6cm 的等边三角形中 其一边上高的长度为 答案 3 3cm 2 2011 山东烟台 14 4 分 等腰三角形的周长为 14 其一边长为 4 那么 它的底边 为 答案 4 或 6 3 2011 浙江杭州 16 4 在等腰Rt ABC中 C 90 AC 1 过点C作直线l AB F是l上的一点 且AB AF 则点F到直线BC的距离为 答案 3131 22 或 4 2011 浙江台州 14 5 分 已知等边 ABC 中 点 D E 分别在边 AB BC 上 把 BDE 沿直 线 DE 翻折 使点 B 落在点 B 处 DB EB 分别交边 AC 于点 F G 若 ADF 80 则 EGC 的度数为 答案 80 课件园 5 2011 浙江省嘉兴 14 5 分 如图 在 ABC中 AB AC 40A 则 ABC的外 角 BCD B C A D 第 14 题 答案 110 6 2011湖南邵阳 11 3分 如图 四 所示 在 ABC中 AB AC B 50 则 A 答案 80 提示 A 180 2 50 80 7 2011山东济宁 15 3分 如图 等边三角形ABC中 D E分别为AB BC边上的 两个动点 且总使AD BE AE与CD交于点F AG CD于点G 则 FG AF C E F G B A 第15题 D 答案 1 2 8 2011湖南怀化 13 3分 如图6 在 ABC中 AB AC BAC的角平分线交 BC边于点D AB 5 BC 6 则AD 课件园 答案 4 9 2011四川乐山16 3分 如图 已知 AOB 在射线OA OB上分别取点OA1 OB1 连结A1B1 在B1A B B上分别取点A B 使B1 B2 B1 A2 连结A B2 按此规律上去 记 A B1 B2 11 222 2 1 32 B B3 2 A n 11 A nnn B B 则 1 n 答案 2 180 n n 2 18012 10 2011湖南邵阳 11 3分 如图 四 所示 在 ABC中 AB AC B 50 则 A 答案 80 11 2011贵州贵阳 15 4分 如图 已知等腰Rt ABC的直角边长为1 以Rt ABC 的斜边AC为直角边 画第二个等腰Rt ACD 再以Rt ACD的斜边AD为直角边 画第三个等腰Rt ADE 依此类推直到第五个等腰Rt AFG 则由这五个等腰直 课件园 角三角形所构成的图形的面积为 第15题图 答案 31 2 12 2011广东茂名 14 3分 如图 已知 ABC是等边三角形 点B C D E在同一 直线上 且CG CD DF DE 则 E 度 答案 15 三 解答题三 解答题 1 2011广东东莞 21 9分 如图 1 ABC与 EFD为等腰直角三角形 AC与DE 重合 AB EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 EFD绕点A 顺时针旋转 当DF边与AB边重合时 旋转中止 不考虑旋转开始和结束时重合的情况 设DE DF 或它们的延长线 分别交BC 或它的延长线 于G H点 如图 2 1 问 始终与 AGC相似的三角形有 及 2 设CG x BH y 求y关于x的函数关系式 只要求根据2的情况说明理由 3 问 当x为何值时 AGH是等腰三角形 课件园 解 1 HGA 及 HAB 2 由 1 可知 AGC HAB CGAC ABBH 即 9 9 x y 所以 81 y x 3 当 CG 1 2 BC时 GAC H HAC AC CH AG AC AG GH 又 AH AG AH GH 此时 AGH 不可能是等腰三角形 当 CG 1 2 BC时 G 为 BC 的中点 H 与 C 重合 AGH 是等腰三角形 此时 GC 9 2 2 即 x 9 2 2 当 CG 1 2 BC时 由 1 可知 AGC HGA 所以 若 AGH 必是等腰三角形 只可能存在 AG AH 若 AG AH 则 AC CG 此时 x 9 综上 当 x 9 或 9 2 2 时 AGH 是等腰三角形 2 2011山东德州19 8分 如图 AB AC CD AB于D BE AC于E BE与CD相交 于点O 1 求证AD AE 2 连接OA BC 试判断直线OA BC的关系并说明理由 E D O C B A 答案 1 证明 在 ACD与 ABE中 A A ADC AEB 90 AB AC 课件园 O D C E A ACD ABE 3分 AD AE 4分 2 互相垂直 5分 在Rt ADO与 AEO中 OA OA AD AE B ADO AEO 6分 DAO EAO 即OA是 BAC的平分线 7分 又 AB AC OA BC 8分 3 2011山东日照 23 10分 如图 已知点D为等腰直角 ABC内一点 CAD CBD 15 E为AD延长线上的一点 且CE CA 1 求证 DE平分 BDC 2 若点M在DE上 且DC DM 求证 ME BD 答案 1 在等腰直角 ABC中 CAD CBD 15o BAD ABD 45o 15o 30o BD AD BDC ADC DCA DCB 45o 由 BDM ABD BAD 30o 30o 60o EDC DAC DCA 15o 45o 60o BDM EDC DE平分 BDC 2 如图 连接MC DC DM 且 MDC 60 MDC是等边三角形 即CM CD 课件园 又 EMC 180 DMC 180 60 120 ADC 180 MDC 180 60 120 EMC ADC 又 CE CA DAC CEM 15 ADC EMC ME AD DB 4 2011湖北鄂州 18 7分 如图 在等腰三角形ABC中 ABC 90 D为AC边 上中点 过D点作DE DF 交AB于E 交BC于F 若AE 4 FC 3 求EF长 A D 答案 连结BD 证 BED CFD和 AED BFD 求得EF 5 5 2011浙 江 衢 州 23 10分 ABC 是 一 张 等 腰 直 角 三 角 形 纸 板 Rt2CACBC 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形 有甲 乙两种剪法 如图 1 比较甲 乙 两种剪法 哪种剪法所得的正方形面积更大 请说明理由 第18题图 B E F C A A M D E N Q 第23题 BBC C P F 第23题图1 课件园 图1中甲种剪法称为第1次剪取 记所得的正方形面积为 按照甲种剪法 在余下的 中 分别剪取正方形 得到两个相同的正方形 称为第2次剪取 并记这 两个正方形面积和为 如图2 则 1 S ADEBDF 和 2 S 2 S 再在余下的四个三角形中 用同样的方 法分别剪取正方形 得到四个相同的正方形 称为第3次剪取 并记这四个正方形的面积和 为 如图3 继续操作下去 则第10次剪取时 3 S 10 S 求第10次剪取后 余下的所有小三角形的面积和 答案 1 解法1 如图甲 由题意得 1 CFDE AEDEECECS1 正方形 即 如图乙 设MNx 则由题意 得 AMMQ PNNBMNx 2 2 2 32 2 3 2 28 39 PNMQ xx S 正方形 解得 又 8 1 9 甲种剪法所得的正方形的面积更大 说 明 图 甲 可 另 解 为 由 题 意 得 点D E F分 别 为ABACBC 的 中 点 1 1 2 ABCCFDE SS 正方形 解法2 如图甲 由题意得 AEDEEC 即EC 1 如图乙 设 MNxAMMQQPPNNBMNx 则由题意得 2 2 32 2 3 2 2 1 3 xx ECMN 解得 又即 甲种剪法所得的正方形的面积更大 2 2 1 2 S 3 10 9 1 2 S 3 解法1 探索规律可知 1 1 2 n n S 课件园 剩余三角形的面积和为 1210 99 1111 221 2422 SSS 解法2 由题意可知 第一次剪取后剩余三角形面积和为 11 2 1 SS 第二次剪取后剩余三角形面积和为 12 11 1 22 SSS2 第三次剪取后剩余三角形面积和为 23 111 244 SSS3 第十次剪取后剩余三角形面积和为 91010 9 1 2 SSS 6 2011 浙江绍兴 23 12 分 数学课上 李老师出示了如下框中的题目 在等边三角形在等边三角形ABC中 点中 点E在在AB上 点 上 点D在在CB的延长线上 且的延长线上 且ED EC 如图如图 试确定线段试确定线段AE与与DB的大小关系 并说明 理由 的大小关系 并说明 理由 E A B C D 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 1 特殊情况 探索结论 当点E为AB的中点时 如图 1 确定线段AE与的大小关系 请你直接写出结论 DB AE DB 填 或 理由如下 如图 2 过点E作 EFBC 交AC于点 F 请你完成以下解答过程 课件园 3 拓展结论 设计新题 在等边三角形ABC中 点E在直线AB上 点在直线DBC上 且EDEC 若ABC 的 边长为 1 2AE 求的长 请你直接写出结果 CD 答案 1 2 方法一 如图 等边三角形ABC中 E A BC D 60 ABCACBBACABBCAC EFBC 60 AEFAFEBAC AEF 是等边三角形 AEAFEF ABAEACAFBECF 即 又 60ABCEDBBED 60ACBECBFCE EDEC EDBECB BEDFCE DBEEFC DBEF AEBD 方法二 在等边三角形ABC中 课件园 60120 60 180120 ABCACBABD ABCEDBBEDACBECBACE EDEC EDBECB BEDACE FEBC AEFAFEBAC AEFEFCACBABD EFCDBE DBEF 是正三角形 而由AEF 是正三角形可得 EFAE AEDB 3 1 或 3 7 2011浙江台州 23 12分 如图1 过 ABC的顶点A分别做对边BC上的高AD和中 线AE 点D是垂足 点E是BC中点 规定 BE DE A 特别的 当点D重合时 规 定0 A 另外 对 B c 作类似的规定 1 如图2 已知在Rt ABC中 A 30 求 A c 2 在每个小正方形边长为1的 4 4 方格纸上 画一个 ABC 使其顶点在格点 格点即 每个小正方形的顶点 上 且2 A 面积也为2 3 判断下列三个命题的真假 真命题打 假命题打 若 ABC中 1 A 则 ABC为锐角三角形 若 ABC中 1 A 则 ABC为直角三角形 若 ABC中 1 A 则 ABC为钝角三角形 课件园 答案 解 1 如图 作CD AB 垂足为D 作中线CE AF BF CF A 1 Rt ABC中 CAB 30 AE CE BE CEB 60 CEB是正三角形 CD AB AE 2DE AE DE c 2 1 A 1 c 2 1 2 如图所示 3 8 2011浙江义乌 23 10分 如图1 在等边 ABC中 点D是边AC的中点 点P是线段 DC上的动点 点P与点C不重合 连结BP 将 ABP绕点P按顺时针方向旋转 角 0 180 得到 A1B1P 连结AA1 射线AA1分别交射线PB 射线B1B于点E F 1 如图1 当0 60 时 在 角变化过程中 BEF与 AEP始终存在 关 系 填 相似 或 全等 并说明理由 2 如图2 设 ABP 当60 180 时 在 角变化过程中 是否存在 BEF 与 AEP全等 若存在 求出 与 之间的数量关系 若不存在 请说明理由 3 如图 3 当 60 时 点E F与点B重合 已知AB 4 设DP x A1BB1的面 积为S 求S关于x的函数关系 课件园 图 1 图 2 P B1 FM A D E C B A1 P B1 FM A D E C B A1 P A DC B A1 B1 图 3 答案 答案 1 相似相似 由题意得 由题意得 APA1 BPB1 AP A1P BP B1P 则则 PAA1 PBB1 2 90 2 180 PBB1 EBF PAE EBF 又 又 BEF AEP BEF F AEP 2 存在 理由如下 易得 存在 理由如下 易得 BEF F AEP 若要使得 若要使得 BEF AEP 只需要满足 只需要满足 BE AE 即可即可 BAE ABE BAC 60 60 BAE 30 22 9060 ABE BAE ABE 30 2 即即 2 60 3 连结 连结BD 交 交A1 1B1 1于点于点G 过点 过点A1 1作作A1 1H AC于点于点H B P A D C A1 G H B1 B1 1 A1 1P A1 1PA 60 0 A1 1B1 1 AC 课件园 由题意得 由题意得 AP A1 1 P A 60 0 PAA1 1是等边三角形 是等边三角形 A1 1H 2 2 3 x 在在Rt ABD中 中 BD 32 BG xx 2 3 3 2 2 3 32 xxS BBA 332 2 3 34 2 1 11 0 0 x 2 2 9 2011广东株洲 20 6分 如图 ABC 中 AB AC A 36 AC 的垂直平分线交 AB 于 E D 为垂足 连结 EC 1 求 ECD 的度数 2 若 CE 5 求 BC 长 答案 1 解法一 DE垂直平分AC CE AE ECD A 36 解法二 DE垂直平分AC AD CD ADE CDE 90 又 DE DE ADE CDE ECD A 36 2 解法一 AB AC A 36 B ACB 72 ECD 36 BCE ACB ECD 36 BEC 72 B BC EC 5 解法二 AB AC A 36 B ACB 72 BEC A ECD 72 BEC B BC EC 5 课件园 10 2011重庆綦江 24 10分 如图 等边 ABC中 AO是 BAC的角平分线 D为AO 上一点 以CD为一边且在CD下方作等边 CDE 连结BE 1 求证 ACD BCE 2 延长BE至Q P为BQ上一点 连结CP CQ使CP CQ 5 若BC 8时 求PQ 的长 答案 1 证明ABC和 CDE均为等边三角形 AC BC CD CE 且 ACB DCE 60 ACD DCB DCB BCE 60 ACD BCE ACDBCE 2 解 作 CHBQ交BQ于H 则PQ 2HQ 在 RtBHC中 由已知和 1 得 CBH CAO 30 CH 4 在 RtCHQ中 HQ 345 2222 CHCQ PQ 2HQ 6 课件园 11 2011江苏扬州 23 10分 已知 如图 锐角 ABC的两条高BD CE相交于点O 且OB OC 1 求证 ABC是等腰三角形 2 判断点O是否在 BAC的角平分线上 并说明理由 答案 1 证明 OB OC OBC OCB BD CE是两条高 BDC CEB 90 又 BC CB BDC CEB AAS DBC ECB AB AC ABC是等腰三角形 2 点O是在 BAC的角平分线上 连结AO BDC CEB DC EB OB OC OD OE 又 BDC CEB 90 AO AO ADO AEO HL DAO EAO 点O是在 BAC的角平分线上 12 2011广东省 21 9分 如图 1 ABC与 EFD为等腰直角三角形 AC与DE 重合 AB EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 EFD绕点A 顺时针旋转 当DF边与AB边重合时 旋转中止 不考虑旋转开始和结束时重合的情况 设DE DF 课件园 或它们的延长线 分别交BC 或它的延长线 于G H点 如图 2 1 问 始终与 AGC相似的三角形有 及 2 设CG x BH y 求y关于x的函数关系式 只要求根据2的情况说明理由 3 问 当x为何值时 AGH是等腰三角形 解 1 HGA 及 HAB 2 由 1 可知 AGC HAB CGAC ABBH 即 9 9 x y 所以 81 y x 3 当 CG 1 2 BC时 GAC H HAC AC CH AG AC AG GH 又 AH AG AH GH 此时 AGH 不可能是等腰三角形 当 CG 1 2