_高观点_下数学试题编写的模式探究_张夏强.pdf

摘要 近几年高考数学试题中出现了大量与高等数学衔接 紧密的问题 以近三年各地高考数学试题为例 剖析此类问题 的解题方法和命题背景 总结得到以高等数学概念或符号 公 式或定理 著名数学问题等作为依托融于初等数学知识中的命 题模式 关键词 高等数学 数学试题 命题模式 随着课程改革的全面推进 全国各地高考试卷中经常出现 一些有着高等数学背景的试题 这类题目形式新颖 设计巧妙 既能开阔数学视野 有利于完成高等数学与初等数学的和谐接 轨 又能有效地考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能 因而成为高考命题中的一道亮丽的 风景 本文以近三年各地 高考数学试题为例 剖析此类问题的解题方法和命题背景 就 高观点 试题的编写模式进行初探 希望能起到抛砖引玉的作 用 对大家的教学有所帮助 一 以高等数学概念 符号为背景设计试题 1 以高等数学概念为背景 高等数学的许多概念是中学数学的延伸 以有界函数 闭 函数 单峰函数 凹凸函数 群 环 域等概念为命题背景的 高考试题层出不穷 考查学生的阅读理解能力及将新概念转化 为熟悉知识的能力 解决此类问题 通常要求学生善于挖掘概念 的本质 迅速提取有用信息 并合理迁移 运用已学的初等知 识加以解决 例 1 2008 年高考数学福建卷理科第 16 题 设 P 是一个 数集 且至少含有两个数 若对任意 a b P 都有 a b a b ab a b P 除数 b 0 则称 P 是一个数域 例如有理数集 Q 是数域 数集 F a b2姨a b Q 也是数域 有下列命题 整数集是数域 若有理数集 Q哿M 则数集 M 必为数域 数域必为无限集 存在无穷多个数域 其中正确的命题的序号是 把你认为正确 的命题序号都填上 分析 1 Z 2 Z 但 1 2 埸Z 故 错 对于满足 Q哿M 的集合 M Q 2 姨 显然 1 2姨埸M 错 若任给 a P 则 1 a a P 用 1 和自己重复相加 得全体正整数 而正 整数为无限集 正确 类似地 数集 F a b2姨a b Q 也是数域 正确 故答案选 点评 本题以高等代数中 域 的概念为背景 其实质是 对于数集 P 中的任意两个数满足四则运算的封闭性 除数不为 零 考查学生面对新概念 灵活利用合情推理训练思维正向迁 移的能力 解答本题 学生要懂得把新概念转化成熟悉的函数的 语言 数域实际上是建立在数集基础上的一种映射 f 即任给 a b P f a b c 则 c P 其中 表示加减乘除运算 2 以高等数学符号为背景 高等数学中涉及很多符号 以 x 表示取整函数 表示连 乘符号 茌表示直和 表示求和符号等为命题背景的试题陆 续出现各类型考试中 考查学生对运算律的认识程度 通过理 解新的运算符号的内涵解决问题 例 2 2010 年高考数学陕西卷理科第 10 题 某学校要召开 学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各班人数除 以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表 那么 各班可推选代表 人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x x 表 示不大于 x 的最大整数 可以表示为 A y x 10 B y x 3 10 C y x 4 10 D y x 5 10 收稿日期 2011 05 05 作者简介 张夏强 1979 男 福建闽清人 中学一级教师 硕士 主要从事中学数学解题与命题等方面的研究 高观点 下数学试题编写的模式探究 张夏强 福建省闽清县第二中学 陈清华 福建师范大学数学与计算机科学学院 Journal of Chinese Mathematics Education 2011 年第 10 期 No 102011 20 分析 当 x 除以 10 的余数为 0 1 2 3 4 5 6 时 由 题设知 y x 10 且易验证知此时 x 10 x 3 10 当 x 除以 10 的余数为 7 8 9 时 由题设知 y x 10 1 且易验证知 此时 x 10 1 x 3 10 综上可知 必有 y x 3 10 故答 案选 B 点评 该题取材于著名的 高斯函数 又叫 取整函数 十八世纪 函数 f x x 被 数学王子 高斯采用 因此得名 为 高斯函数 随着时代的发展 高斯函数不再仅仅指下取整 函数 x 还包括上取整函数和中取整函数 x 表示不小于 x 的 最小整数 称为高斯上取整函数 x 表示离 x 最近的整数 其 中 x n 1 2 n Z 称为高斯中取整函数 二 以高等数学运算系统为背景设计试题 近似代数主要以运算律为研究对象 但是运算律在中学代 数中得不到重视 学生比较机械地运用运算规律 不懂其数学 本质 群论是近世代数中的基本知识 它牵涉到集合之间新定义 运算的知识 以其为基础 定义一种新的运算系统是高考命题 的一种方向 试题经常与集合的概念及运算相结合 例 3 2010 年高考数学山东卷文科第 12 题 定义平面向 量之间的一种运算 如下 对任意的 a m n b p q 令 a b mq np 下面说法错误的是 A 若 a 与 b 共线 则 a b 0 B a b b a C 对任意的 R 有 a b a b D a b 2 a b 2 a2 b 2 点评 本题是以近世代数的运算系统结合平面向量的基础 知识为试题背景 解决此类问题时要先准确把握所给信息的本 质 然后应用类比等方法挖掘其内在属性 并运用新旧知识间 的内在联系及迁移规律 将新运算转化为熟悉的数学运算 定义 一种新的运算 运用新的运算法则来展开计算 可考查学生即 学即用的能力 体现高考命题指导思想提出的 由知识立意向 能力立意过渡 的要求 三 以高等数学公式为背景设计试题 近年高考试题中经常出现以高等数学公式为背景的数学试 题 如泰勒公式 贝努利不等式 Newton 迭代法 但命题设计 符合 高等背景 初等解法 的原则 例 4 2008 年高考数学广东卷理科第 21 题 设 p q 为实 数 是方程 x2 px q 0 的两个实根 数列 xn 满足 x1 p x2 p2 q xn pxn 1 qxn 2 n 3 4 1 证明 p q 2 求数列 xn 的通项公式 3 若 p 1 q 1 4 求 xn 的前 n 项和 Sn 分析 根据数列递推关系式求数列通项的问题 是近年高 考的热点和难点 本题将方程的根与系数关系与数列的递推关系 巧妙结合 综合考查了学生的迭代 递推 归纳 推理等方面 的能力 运用初等数学方法求二阶齐次线性递推数列通项 对学 生来说是一个不小的挑战 点评 仔细追究题源 该试题以组合数学中二阶线性递推 数列的特征方程问题为命题背景 要求学生运用初等数学方法 来证明高等数学公式 具体解题过程请参阅文 1 四 以高等数学定理为背景设计试题 高考中许多函数问题都是将某些高等数学中的函数定理或 条件进行特殊化 初等化处理 要求学生运用初等数学思想进 行转化与过渡 揭示了问题的本质及其变化规律 例如李普希茨 条件 不动点定理 介值定理 零点存在定理 拉格朗日定理 区间套定理等都能在近年的高考试题中找到它们的身影 例 5 2010 年高考数学辽宁卷理科第 21 题 已知函数 f x a 1 ln x ax2 1 1 讨论函数 f x 的单调性 2 设a 1 如果对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 求 a 的取值范围 点评 由 f x1 f x2 4 x1 x2 可想到数学分析中 的拉格朗日定理 若函数 f x 满足在 a b 连续 在 a b 可 导 则在 a b 内至少存在一点 使 f f b f a b a 细心观察 可以发现本题与 2006 年高考数学全国卷 II 第 20 题 2007 年高考数学全国卷 I 第 20 题 2008 年高考数学全国卷 II理 科第 22 题都是同一类题目 它们的命题背景都是拉格朗日定理 五 以高等数学中的著名问题为背景设计试题 人类数学发展史上 出现了许多经典的问题或定理 如哥 尼斯堡七桥问题 施泰纳问题 蝴蝶定理 中国剩余定理 欧 拉定理等等 普通高中数学课程标准 实验 的基本理念中强 调 数学课程应适当反映数学的历史 应用和发展趋势 体现 数学的文化价值 因此以著名数学问题或定理为背景的试题悄 然进入高考试卷中符合了课程发展的需要 此类试题形式上是名 题形式 但问题和方法已经简单化 学生只要坦然面对 善于 思考 往往较易突破 1 以高等数学中的著名代数问题为背景设计试题 例 6 2009 年高考数学湖北卷理科第 15 题 已知数列 a n 满足 a1 m m 为正整数 an 1 an 2 当 an为偶数时 3an 1 当 an为奇数时 若 a6 1 则 m 所有可能的取值为 点评 本题的背景是 3x 1 问题 也称角谷猜想 克拉茨 问题 叙拉古问题 是尚未解决的世界数学难题之一 3x 1 问题是这样的 一个正自然数 如果它是偶数 那么用 2 除它 如果是奇数 则将它乘以 3 以后再加上 1 再用 2 除它 这样不 Journal of Chinese Mathematics Education 2011 年第 10 期 No 102011命题研究 MINGTIYANJIU 21 断地运算下去 最终必然得到 1 如 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 题意如此清晰 明了 连小学生 都能看得懂的问题 却难倒了 20 世纪的许多伟大的数学家 当 时 许多专家 学者都陷入对这个问题狂热的迷恋中 日本数 学家角谷静夫曾撰文描写过人们对其狂热迷恋的情景 据说 耶鲁大学有长达一个月久 人人都在研究这个问题 但却没有 任何实质性的进展 经过几十年的探索与研究 人们似乎接受 了大数学家爱尔特希的说法 数学还没有成熟到足以解决这样 的问题 2 以高等数学中的著名几何问题为背景设计试题 例 7 2008 年高考数学江苏卷第 13 题 满足条件 AB 2 AC 2姨BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 分析 本题的参考答案是利用余弦定理及其面积公式 也 是学生比较容易想到的思路 假如从知识点的背景角度去分析 可知点 C 的轨迹是一个阿波罗尼圆 如此思考很快可以得出点 C 是在以 3 0 为圆心 22姨为半径的圆上运动 因此 S ABC 1 2 AB yc yc 22姨 点评 众所周知 平面内到两定点的距离之比为常数 不 等于 1 的点的轨迹是圆 这个圆就是阿波罗尼圆 阿波罗尼 希 腊 Apollonius of Perga 260 190B C 与 阿 基 米 德 Archimedes 287 212B C 欧几里得 Euclid 330 275B C 被称为亚历山大时期的数学三巨匠 阿波罗尼对圆锥曲线有深刻 的研究 其主要研究成果集中在他的代表作 圆锥曲线 一书 中 阿波罗尼圆是其研究成果之一 3 以高等数学中的著名概率问题为背景设计试题 例 8 2009 年高考数学福建卷文科第 14 题 点 A 为周长 等于 3 的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点 B 则 劣弧A 2 B 的长度小于 1 的概率为 分析 如右图 固定点 A 点 B 可落 在优弧C 2 D 上 其弧长为 2 由几何概型知 劣弧A 2 B 的长度小于 1 的概率为2 3 点评 本题的命题背景是概率论历史上一个颇为著名的贝 特朗 Bertrand 悖论 在半径为 R 的圆 C 内随机地作一条弦 试求弦长 L 大于圆的内接正三角形边长3 姨R 的概率 这是一 个几何概率问题 但是由于对 随机地作一弦 的不同理解 产生了多种不同的解法 本道高考试题则对贝特朗悖论作了特殊 化处理 明确指明 随机地 确切含义为 固定弦的一端点于 圆上 让弦的另一端点在圆周上 随机地 变动 才不致于发 生类似于贝特朗悖论所产生的理解纷争 由此可见 高数知识直接渗透到高考试题中 拓展了命题 思路 会当凌绝顶 一览众山小 作为一名高中数学教师 不 仅要吃透教材和通晓解题技巧 还应掌握高等数学与初等数学 的内在联系 运用高等数学的知识与方法解释一些初等数学的 问题 并在高等数学与初等数学的衔接上尝试用高等数学知识 编写一些不脱离中学实际的创新习题 培养学生的思维品质与 数学素养 附 模拟试题 1 如果对于函数 f x 定义域内任意的 x 都有 f x M M 为常数 称 M 为函数 f x 的下界 下界 M 中的最大值叫做 f x 的下确界 下列函数 f x sinx f x lgx f x ex f x 1 x 0 0 x 0 1 x 0 有下确界的函数为 自编 A B C D 答案 D 点评 该题是以数学分析中下确界的概念来命题的 通过 学习数学分析 还可知道 埚常数 M 0 如果对于函数 f x 定 义域内任意的 x 都有 f x M 则函数 f x 有界 如果对 于函数 f x 定义域内任意的 x 都有 f x M M 为常数 称 M 为函数 f x 的上界 上界 M 中的最小值叫做 f x 的上确界 由此可见 以函数有界或上确界为命题背景也未尝不可 2 已知矩阵 A a11a12 a21a22 22 若矩阵 A a11a21 a12a22 22 则称 A 是 A 的共轭转置矩阵 若 A 112i 218 3 22 i 则矩阵 A 的共轭 转置矩阵为 自编 A 1121 2i8 3 22 i B 11 2i 218 3 22 i C 1121 2i8 3 22 i D 11 21 2i8 3 22 i 答案 C 点评 本题是以高等代数矩阵的转置为背景 实际上命题 者还可以矩阵的共轭矩阵 对称或斜对称矩阵等概念进行命题 3 已知集合 A B 若集合 C 满足 C a b a A b B 且 A B 0 则称 C 是 A 与 B 的直和 记作 C A茌B 下列 集合 C 是集合 A 与集合 B 的直和的是 自编 A A 0 1 2 B 0 1 3 C 0 1 2 3 4 5 B A 0 1 2 B 0 3 4 C 0 1 2 3 4 5 C A 0 1 2 B 0 1 3 C 0 1 1 3 5 D A 0 1 2 B 0 3 6 C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D 点评 设 V1 V2是域 F 上线性空间 V 的子空间 如果 V1 V2中的每个向量 能唯一地表示成 1 2 V1 2 V2 A C D 命题研究 MINGTIYANJIU 命题研究 MINGTIYANJIU 22 所以 曲线左支上存在点 Q 满足条件 然后引导学生进行讨论辨析 若 QF1 25 4 QF2 65 4 则 QF1 QF2 F1F2 这与三角形两边和大于第三边 矛盾 可见这样点 Q 是不存在的 进行上述引导 让学生比较 找出了产生错误的原因 即 忽视了定义中的限制条件 所以除了考虑条件QF1 QF2 2a 还要注意条件 a c 和 QF1 QF2 F1F2 通过上述问题的辨析 不仅使学生从 陷阱 中跳出来 增强了防御 陷阱 的经验 更主要地是能使学生参与讨论 并在讨论中辨析正误 取得学习的主动权 5 创设应用性问题情境 为学生的思维服务 体现数学的 思维性 抽象性 引导学生发现新的数学概念 案例 5在 向量 一节的教学中 可设计如下两个实际问 题 引导学生认识到有些量仅仅用只有大小的数表示是不够的 还需要增加方向的描述 有一股强台风 台风中心在上海正东南 120 公里处 台 风以每小时 20 公里的速度移动 试问几小时后台风中心到达上 海 地面上有一辆汽车 拉动它需要 1200 牛顿的力 现有两 人各用一根绳子以 700 牛顿的力同时拉汽车 问他们能否拉动 汽车 学生通过审题 讨论 辨析 对于问题 得到结论 因为 台风移动的方向未知 因此我们无法确定它什么时候到达上海 对于问题 由于拉力的方向未知 因此得出结论不一定能拉 动 至此给出 向量 这一概念已水到渠成 其过程完全可以由 学生自主完成 以上两个应用问题 都是学生生活中的问题 贴近生活 贴近实际 给学生创设了一个观察 分析 联想 抽象 概括 数学化的空间 在这样的问题情境下 再注意给学生动手 动 脑的空间和时间 学生就容易想学 乐学 主动学 6 利用信息技术和多媒体 创设问题情境 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容 数学教学 数学学习等方面产生深刻的影响 课程标准要求教师在教学活动 中应根据学生实际 尽可能多地使用各种教学媒体 积极开发 和利用各种教学资源 为学生提供丰富多彩的学习素材 呈现 以往教学中难以呈现的课程内容 信息技术支持下的教学设计 比常规的情境更富有创新性和生命力 有助于丰富学生的学习 内容 增强他们创新的手段和工具 如 TI 图形计算器在处理数 据方面的功能 用几何画板来描绘动态函数图象等 总之 提出问题比解决问题更为重要 爱因斯坦 创设 情境是为了让学生更好地接受新知识 从学生的最近发展区来 引入 使学生更宜接受新的知识 激发学生的学习动力 让他 们更积极 更主动地参与到对知识的发生 发展的探究中去 参考文献 1 刘允忠 新课标背景下的高中数学情境创设策略的探讨 J 数学通报 2006 1 20 22 2 满银天 数学课堂教学情境创设的误区与思考 J 中 学数学杂志 2010 2 21 23 3 葛卫国 精心架设探究路径提升学生思维能力 J 中国数学教育 高中版 2010 11 9 11 则称 V1 V2是直和 记作 V1茌V2 V1 V2是直和的充要条件是 V1 V2 0 本题就是以高等代数中直和的概念为背景命题 实 现从高维到低维的下放 4 闽籍科学家池步洲是密码学专家 在抗日战争时期屡建奇 功 为提高信息在传输