一道自主招生试题的解法剖析与推广.pdf

2 0 1 5 年第 6 期 数 学教 学 6 3 5 一 道 自主招生试题的解法剖析与推广 2 0 1 2 0 3 华东师范大学第二附属 中学任念兵 波利亚主张 与其穷于应付繁琐的教学内 容和过 量的题 目 还不 如选择一个 有意义但又 不太复杂的题 目去帮助学生深入发掘题 目的 各个侧面 使学生通过这道题 目 就如同通过 一 道大门而进入一个崭新的天地 很 多优秀 的竞赛题和 自主招生考试题 都 是匠心独 具的 2 0 1 0 年清华大学等五校合作 自主选拔通用基 础测试中 就有这样一道好题 问题 1 正四棱锥的体积为 求正四棱 锥表面积 的最 小值 此 题 将 求 函数 最 值 的 问题 融 入 到 简 单 几何 体的背景 中 解题 的入 口宽泛 从不 同 视 角出发 可以得 到各种有趣 的解法 真理 此 时 AB的斜率 k A B t 锄 O 1 且 A B Ay 则 C O S O L 一 一1 t a O Lt a n 3 一 l J 2 1 C O S O L 可知 点c坐标 1 0 连结 BC 如图4 所 示1 0 c 一 1 0 1 图 4 由 圆 的 性 质 得 B j B A B t a n 詈 Ay s i n 一 0 s i n Bc X C OS COS Ol l i 越 辨 越明 倘若能顺势剥丝抽茧 深入辨析 问题 的本源才会逐渐 显现 出来 本文将 从解法 剖析和结论推 广两个层面呈现该 问题 的探究过 程 1 解法剖析 某些资料上给出了下面的解答 过程相当 简洁 方法 1 设 正四棱锥 的底面 正方形 的边 长 为 a 高 为h 则 有 a 2 h 侧 面斜 高 为 詈 危 其 表 面 积 为 s 表 2 4 詈 而 k A B k B C 一1 所 以 t a n 詈 4 故由 3 4 式可知 0 s i n oL l cos o L t an 一 2 1 C OS s i n 以上 已经 证 明半 角 公式 在 区 间 0 丌 及 7 r 2 7 r 中均成立 当 7 r t a n 不存在 故 7r 当 0时 t 肌 O L 1 c o s a无意义 一尢 恧 义 S 1 n 故 O Z 0 0 但 1 COS OL 一 般地 设 O L 2 r k 0 7 r u 丌 2 7 r k Z 贝 0 2 丌 t a n t a n t a n s i n s i n 2 丌 1 s i n 1 C O S Q 1 c 0 s 2 7 r 1 C O S 1 一C O S l c o s Z 2 7 r 1 一C O S s i n s in Z 2 7r 1 s i n 证明 同理 1 l 一 一 2 一 一 6 3 6 数 学教学 2 0 1 5 年第 6 期 v a 2 4 h 2 a 2 A 02 a f 等 号当且仅 当 a 4 即 a 1时取得 一 2 G2十 1 4 等 0 3 0 3 n 3 口 3 号当且仅当n 即a 1 时取得 所 以 a一3 当底面边长为 1 高为 时 正四棱锥表面积 最小 最小值为 4 方法 1 巧妙拆项 两次使用多元均值不等 式 并且 等号 能够 同时取 得 从 而顺 利得 到表 面 积 的最 小值 然而 这种 巧妙 也恰好 是本 题 的难点所在 如何拆项 第一次拆项的过程 会影响第二次拆项 从而影响到两次均值不等 式 等号成立 的条件 难道这 只能靠难 以捉 摸 的 数学直觉吗 回答 是否 定 的 这 两次拆 项 不 是凑 出来 的 而是算出来的 为了叙述 的方便 记 a 0 则问题 l 转化为 厂 问题 2 求 函数 t x 2 三 0 的最小值 方法 2 待定系数法 Y X 一 一 一 昙 南 堂 2 n 1 个 s A 2 n 1 c其 一 1 f 旦 1 等 号 当 且 仅 当 f z 旦 t 南 一 至 一 时 骗此 时 L n 一 2 2 Y mi n 4 在 式 中 如何拆 尚不清楚 先假 设 拆成n项 式中 为了使得拆项后使用均值 不等式得到常数 所 以要使得 X 与 分别 拆 项后 的乘 积 中不含 变量 X 自然 想 到将 X拆 成 n一2项 将 拆成 2 f 佗 1 项 引入系 数 n的好 处 就是两 次均值 不等式 等号成 立 的 条件可以由解方程组得到 从而确保等号能同 时成立 这也是 在不等式 问题 中运用 待定系数 法的关键 所在 将 n 8 代 入方 法 2的解 题过 程 即得到 方法 1 看起 来精 妙 的拆 项 技 巧 原来 是可 以 由 笨 办法 待定系数法推算出来的 解题 时 我们不但要 知其然 更要 知其所 以然 对于 问题 2 从方程 的方 向思考 可 以得到 判别式法 从函数最值的方向思考 容易想到 导数法 再回到问题1 以角度作为主变量 还 会有新 的解题思路 方法 3 函数与方程 Y Y X 2 Y 仁 y 2 2 y x Q 兰 即方 程 2 一 8 0 在 0 Y 内有解 而关于 X的二次函数 Y 2 y 一y 2 8的对 称轴 0 故 式等价于 A y 4 6 4 y 0 4 当且仅当X 1 时取等号 值 得 一 提 的 是 从 式 子 结 构 分 析 也 较 易想 到 这种 判 别 式 法 Y 是 二次方 程求 根 公式 的结构 故 Y是关 于 X的方 程 Y 2 x y一 0的根 2 0 1 5 年第 6 期 数 学教 学 6 3 方 法 4 导 数 法 jF 十 三 2 一 8 故 f 1 了 令 0 得 2 兰 卅兰 一 z 0 一n兰 一 旦 X 2 f 0 1甘 l 在上述解方程的过程中 将等式改为不等 式 易知 当X 1 时 f z 1 时 f X 0 f 单调递增 所 以 i f 1 4 方 法 5 设 正 四 棱 锥 的 高 为 h 底 面 正 方 形 的边 长 为 a 侧 面 与 底 面所 成 的二 面角为o t 则有a 2 h h 芸 t a n o L 因此0 2 c o t 斜高为芸 s e c 所 以 表面 积 s 表 a 2 4 n 号 s e c 0 1 s e c 0 从而 s n 6 1 S e C 0 3 8 f 1 s e c a 3 c o t 8 1 C O S 3 C O S C O S 3 s i n 2O l 问题转化为求一个关于c cosQ l cos I 的 函数 的最 值 可 利用 方 法4 或 方 法 3 的 思 路 处 理 记 9 z 贝 0 9 z 一 z 1 3 x一1 X r 1 最 小值 当 c s 时 表取 得 2 结论推广 在利 用各种方 法解决 问题 1 或 问题2 之 后 倘 若就此 偃旗 息鼓 则是 错过 了一 次深入 探究的时机 没有充分挖掘本题所蕴含的价值 其实 正 四棱锥 这个条件可 以有多种变化 因此 问题 1 可 以有多个维度 的推广 先是底面棱数的变化 由四棱锥可以推 广到n棱锥 推广 1 体积为 的正n棱锥 当且仅当 棱锥 的高 h与底面正 n边形 的内切 圆半径 r 满 足 h 2 2 7 时 棱 锥 表 面 积 取 得 最 小 值2 9 2 n t a n V n 证明 设正 n 棱锥的高为 h 底面正多边 形 的边长 为 a 内切圆半径 为 底面积 为 S 侧 面与底面所成 的二面角为 则有 c o t 丸 r t a n a Sh 1 nn r rt an ta n 刍 co t2 3 ta n 所 以表面积 n r 1 去 n c t a 2 1 于 是 9 V 2 n t a n 由 方 法 5 知 当 C O S 妄 时 s 表 m i 2 9 2 n t a n 一7r 此 时 t a n 2 即 得 2 其 次是几何 体形状 的变化 由正棱锥 可 以 推广到直棱 柱 圆锥和 圆柱 推广 2 体积为 的直佗棱柱 当且仅 当 棱柱为正 几 棱柱且底面正n边形的内切圆半 径 r 与棱柱高h 满足h一2 r 时 棱柱表面积取 得最小值 3 3 2 佗t a n一7 r V 礼 证 明 这个结论 的证 明需要用到下面两个 引理 引理 1 f 平面等周定理 1 周长为定值 的 凸 n边形 中 正 仉边形的面积最大 面积 为定值 的凸 几边形 中 正 n边形 的周长最小 引 理2 若 正n 边 形 面 积 为 则 周 长C 2 1 n S t a n 回到推广 2 记 直 n棱柱 的底 面面积 为 则表 面积 为 2 S C 2 V 2 n ta n 2 n 兰 三n 篓 3 2 2 t t a n 7 r 当 且 仅 当 2 S 即 S S 且 棱 柱 为 正 棱 柱 时 取 等 号 2 0 1 5 年第 6 期 数 学教 学 6 4 3 J B D A 图5 1 求该反比例函数的关系式 2 设 P C垂直Y 轴于点G 点 关于 轴 的对称点为 A 求 B 的周长和 s in B A C 的值 对 于 大 于 1的常 数 m 求 X轴 上 点 M 的坐标 使得 s i n LBM C 二 评 析 本 题题 干 简 明扼 要 以一 次 函 数 反 比例函数为背景 由两个 函数的图像 的交点关 于 轴 的对 称变 换入 手 由浅入 深 层层递进地设置三个 问题 问题设置具 有 明确 的 指 向性 和 连 续性 顺 应 学 生 思 维展 开 不断深入 梯度较为明显 需综合运用数 学 的核心知识 去灵活地分析 解 决 问题 特别 是第 2 题的第 小题 学生若能抓住本质 联想 圆周角 的性质特征 将 问题情境 X轴 上 点 M 转化为 C 的外接 圆与 轴的 交 点 把 BMC 转 化 为 A BND 进 而 得 到 r 仇 这 一 结 论 再 依 据 图形 的对 称 性 加 以分类探究 便能迅速获解 且解答简单明 了 运算量很小 当然 这对学生的数学思考 和解决问题能力方面提出了较高的要求 因而 能将 不同能力水平 的学生区分开来 总之 这份试题靠 题海 训练 和强化记忆 很难获取高分 更能客观 真实评价学生的 学 业成 就 有 效考 查 学 生 的 思 维 品质 学 习 能力 应用能力和创新意识 体现 过程教 育 的价值 引导教学关注生活情境数学化 数 学 问题 生活化 的过程 注 重知识 间的生成 和联 系 让问题 返璞归真 让学生感受数学解答 是 言之有理 的 从中培养理性思维和数学能 力素养 鼓励学生自主探索和有个性的发展 r 上接第6 3 7 页 记正棱柱高为 h 底面正n边形边长为a 则 内 切 圆 半 径 r 差 c t n s 仡 r 由 S V 2 n t a n V T 卫 得 s S 2 h 2 咒t a Il 佗 所 以 S h 2 t a n z 因 此 h 2 r 4 t an 佗 4 考虑到当佗一 时 正n棱锥 正n棱 柱分别变成 了圆锥 圆柱 而 l i m nt a n 丌 n 几 o t a n l i m 7 r 7 r 因此易得下面的两个结论 n o 几 推 广3 体积 为 1