导数和三次曲线.doc

导数教材分析与教学建议导数是新课程增加的内容，随着课程改革的不断深入，导数知识在高考中的考查要求也逐年加强，导数已经由前两年只是在高考中的辅助地位上升为分析和解决问题所必不可少的工具。那么如何恰如其分地进行导数的教学呢？如何将这一研究函数及其性质的先进方法融入学习者原有的知识结构呢？如何组织导数的复习教学呢？一、教材分析1本章教材第一节讲导数的概念，它有着什么广泛的应用，因此是本章教材的一个重点。导数概念是从许多实际问题中概括出来的一个非常抽象的概念，也是本章的难点。教材从切线及其斜率出发引入导数概念，为了便于学生掌握，又按导数定义，对求导数的一般方法规定了三个步骤，接着又阐明了导数的几何意义及其在求切线方程中的应用。教师在教学过程中要充分利用这些材料帮助学生理解导数概念的实质，对理科班的教学应不失时机地介绍其相关的物理意义，而不要停留在形式地记住定义，会套用三个步骤求函数的导数。然后，不知何故，大纲与考纲存在脱节现象。考试说明在对文科的考察要求上对极限不作要求。受功利的影响，没有极限的导数便成为无源之水，必然导致导数教学“掐头去尾烧中段”现象的产生。把主要精力放在了如何求导及简单应用上，对导数的背景、概念及综合应用重视不够。为扭转这一被动局面，花5课时左右的时间对极限进行教学。有了极限的基础知识，学生才能逐步领会微积分方法的精神实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态，这今后学生打下一个良好的基础。2第二节讲求导的方法。当我们想知道一个问题的具体解答时，求导方法无疑是非常重要的。由于仅限于多项式函数的导数，因此，本节只需要求导的二个公式及三条法则，学生定能准确而又熟练的掌握。同时，这些公式和法则的推导过程，既能巩固导数概念和极限运算法则，又能复习代数式的恒等变形，应充分发扬学生的能动作用。3第三节导数在研究函数方面的应用，应引导学生在定性思考的基础上给出定量的判断。对结论的把握要准确：导函数为正（负），函数为增（减）函数，这显然是判断函数增减性的充分条件而非必要条件；函数在极值点处的导函数为零，这是函数在该点处取得极值的必要条件。对解题过程的规律要求：求导数解方程列表格写结论，待学生积累了大量感性认识后再提出更高的要求。二、教学建议1改进一道课本例题人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第三册（选修）（2001年12月版）P64例2是：已知曲线上一点.求(1)过点P的切线斜率；（2）过点P的切线方程.教科书中的解法是:. ,即过点P的切线斜率为4,从而由点斜式得切线方程为.然而笔者在讲解此例时学生提出了如下解法:设所求的切线与曲线相切于点.则切线斜率为,由切点与斜率知切线方程为: ,因所求的切线过点P,故,即,从而,所以切线斜率为4或1，相应的切线方程为或.学生的解法无可非议,这不得不引起笔者的思索.原来 “过曲线上点P的切线”与“曲线在点P处的切线”一般是不同的。曲线在点P处的切线系指曲线上以该点为切点的直线，它是惟一的；而过曲线上点P的切线，除了包括以点P为切点的切线外，还可能出现其它切线.教科书中的解法正是忽略了“过曲线上点P的切线”与“曲线在点P处的切线”间的这种区别,而造成的偏差.一般地,过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为。若M（x1，y1）是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为，因点M上此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或。综上所述，当点M是对称中心即时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。由此可见,在三次曲线中,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一.这正是三次曲线与二次曲线间的本质区别，至此P64例2可作如下改进:一方面,如果仅想做简单化的处理,那么建议将原题中的“求过点P的切线”改为“求在点P处的切线”；如果想让学生体会“二次”与“三次”的不同、“初等”与“高等”区别，那么就应改变原题的解法。2渗透三次函数的图象、性质及相关推理一二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数已是不争的事实，在初等数学范畴内利用直观的初等方法，学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识，并在某些方面具备了把握规律的能力。然而，三次多项式函数虽然同样初等，但是诸多问题的研究与探讨学生均显力不从心。目前，研究函数性质的高等工具导数，已进入中学课堂，作为教者理应力所能及地借助于这一工具让学生对三次多项式函数能有一些初步的理性认识。21 三次函数是中心对称曲线三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是f(m-x)+f(m+x)=2n,即+，整理得，。据多项式恒等对应系数相等,可得且，从而三次函数是中心对称曲线，且由知其对称中心仍然在曲线上；同理可探索出三次函数不是轴对称曲线。22 三次曲线有两种形状由于三次曲线是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次曲线的解析式简化为。不妨设，据导函数知，当时，f（x）在实数集R是为增函数，利用几何画板作其图像如图1所示；当时，f（x）在实数集R上有两个递增区间与一个递减区间，其图像如图2所示。 图1 图2三次曲线的如上两类图形为学习三次函数提供了直观的背景，指引着我们从定性思考顺利地走向定量证明。23 三次曲线性质及其联系借助于导数及三次函数的图象，很容易解决三次函数的定义域、值域、对称性、单调性、极值、切线等基本问题。此外，三次曲线的内部尚蕴藏着如下深刻的联系。性质1在三次曲线上存在惟一一点，使曲线在该点处的切线与该曲线有惟一公共点，并且此点即为三次曲线的对称中心。证明：设M（x0，y0）是曲线上任一点，则曲线y=f（x）在点M处的切线斜率k=，切线方程为：。由联立并消去y，得：，整理得： 切线与曲线有惟一公共点的方程有三个相等实根x0=0，故点M惟一确定且恰好为曲线的对称中心。性质2若三次曲线上存在极大值点与极小值点，则极值点连线段的中点也在三次曲线上，并且此点也为三次曲线的对称中心。证明：若三次曲线上存在极值点，则方程=0必有相异两实根，从而且实根，此时，三次曲线上的两个极值点为A（x1，f(x1)）,B（x2，f(x2)）,它们的中点恰是坐标原点,当然在曲线上且为曲线的中心。性质3过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。证明：若M（x1，y1）是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为，因点M上此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或。综上所述，当点M是对称中心即时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。 由此可见,在三次曲线中,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一.这正是三次曲线与二次曲线间的本质区别，三次曲线的这一性质告诉我们，“过曲线上点P的切线”与“曲线在点P处的切线”一般是不同的。曲线在点P处的切线系指曲线上以该点为切点的直线，它是惟一的；而过曲线上点P的切线，除了包括以点P为切点的切线外，还可能出现其它切线。人民教育出版社中学数学室编著的全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第三册（选修）（2001年12月版），由于忽视了这种区别，便将P64例2中过点P的切线错误看成以点P为切点的切线。24 与三次曲线相关的推理题例1 若，求证：。分析：该题的传统证法是数学归纳法，在证题过程中需要具备一定的放缩技巧；而导数证法则不然。证明：构造函数，其定义域为4，。，在4，为增函数，当时，即原不等式成立。例2 已知函数。(1)设f(x) 在处取得极大值、在处取得极小值,求证: ；（2）求证：过原点且与曲线y=相切的两条直线不可能垂直（3）若，求证：过原点且与曲线y=相切的两条直线不可能垂直。简析略证：（1）由题意知、必是方程的两个实根，且易列表发现。至此，问题已转化为二次方程实根分布：令，由，结合二次不等式知： 且。（2）因y=表示的曲线是开口向上的抛物线，故过原点与其相切的直线的斜率是存在的，设其方程为，与曲线y=联立并消去y，得，据一元二次方程的判别式，得 。假设过原点且与曲线y=相切的两条直线相互垂直，那么它们的斜率k1、k2必是关于k的方程的两实根，进而有 ，由知，此与式矛盾。综上所述，过原点且与曲线y=相切的两条直线不可能垂直。（3）同性质3的证明，可以求出切点的横坐标或，从而两条切线的斜率，所以，从而两条切线不垂直。评注：本例的第二小题使用的是初等方法，这是因为导数方法较为繁琐；而第三小题选择了导数方程，这是因为初等方法力不从心。也只有在初高等方法的结合中，才能将新旧知识融会贯通。例3 已知在（-，0）上是增函数，在(0，2)上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为.（1）求证：；（2）求证:.简析略证:由题意可知,方程即的一个根为0、另一个根不小于2，从而c=0且.f(2)=0,即4b+d+8=0.(1) f(1)=b+d+1=-3b-7；(2) 方程f（x）=0可化为,故一元二次方程的两实根为,从而=.评注: 一般地，三次函数的导函数是二次函数，因此，熟练把握二次函数的图像与性质便是研究三次函数图像与性质的起点。三、值得重视的几个问题1重视初高等方法的交融函数是高中数学的核心内容，在新教材高三数学选修本中虽然利用了导数方法重新研究了函数的若干性质，但是在离开导数背景的函数问题的学习与研究中，学生仍习惯于选择并不高明的初等方法进行问题解决。究其原因，在于未能将这些用于研究初等函数的先进的高等方法纳入原有的知识结构之中。为克服高中函数学习二年多的思维定向，笔者曾选用高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决且流传甚广的典型问题作为范例，在阐述原有的初等方法繁冗且难以思考的同时，给出其简捷明快的导数解法，旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质、并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中，形成自觉的应用意识。为节省篇幅又不影响问题的阐述，文中所选例题仅限于选修中多项式函数导数的应用问题。例1 已知函数，且（1）求m的值；（2）设，求g（x）的解析式；（3）是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数。分析：易得m=1，且，这样便是x的双二次函数。若将其转化为函与函数的复合函数，并用关于复合函数单调性的“同增异减”法则进行判断，一方面其思维的灵活性令学生较难把握；另一方面，该法则属于“非知识性”的结论，其解题的逻辑依据又令人难以信服。若利用函数单调性的定义逆向作差进行探索，则解题过程较繁且其中的恒不等式又较为抽象。而利用导数研究函数的单调性，则有如下简明扼要的解法。解 ，首先由题意知x=-1是的根，求得；其次易验证，当时，在上恒负、在上恒正。综上知，存在适合题意。例2 设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，在区间2，3上。（1）求时，f（x）的解析式；（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数的图象上，求这个矩形面积的最大值。分析：（1）首先由周期性和奇偶性知，在区间1，2上，；（2）因在区间0，1上，也有，故在时，。由二次函数图象的对称性知，可设A、B两点的坐标分别为（1-t，0）和（1+t，0）（。，矩形ABCD的面积。以往只能运用三元和积不等式求函数的最大值，殊不知直接由原式凑合出“和定”后，等号又不成立，尚需将原解析式平方后进行配凑，技巧性极强，稍有不甚便误入歧途。如今有导数作为工具，求上述函数的最值便是程序性的知识。，令，得区间0，2上的惟一极大值点，故它也是最大值点，所求面积的最大值为。例3 在的图象上有A，B两动点，满足ABx轴且点A在y轴右侧。点M（1，m）（m为常数，）是三角形ABC的边BC的中点。（1）写出用A点的横坐标t表示三角形ABC面积S的解析式S=f（t）；（2）试求f（t）的最大值及此时点C的坐标。分析：（1）利用解析几何的有关公式可得：。（2）用初等方法，由f（t）是t的高次函数，联想到和积不等式，煞费苦心地将f（t）变形成，利用和积不等式时等号却不成立，思维限入困境。而，当且仅当，即时，前述不等式取等号。如果就此断言，必将产生错误的结论。这是因为自变量t仅能在区间（0，1上取值，而据知，有时在（0，1内、有时不在（0，1内。故以上结论仅对，即时正确，而对必须重新选择方法。当时，又有几位学生能联想到通过证明函数f（t）在区间（0，1上是增函数来解题呢？可以说上述初等方法是一部“天书”，即使你在平时教学中反复操练，也难取得好的学习效益。而用导数方法则不然。，令，得（其中当然应该舍去）。下仅需就是否属于区间（0，1作简明扼要的讨论便可：当时，在处，此时相应的点C坐标为；当时，f（t）在区间（0，1为增函数，此时相应的点C的坐标为（3，2m-3）。例4 设f（x）是定义在上的偶函数，g（x）的图像与f（x）的图像关于直线x=1对称，且当时，其中a为实常数。（1）求f（x）的表达式；（2）问：是否存在正数a，使函数f（x）图象的最高点落在直线y=12上？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由。分析：（1）由对称性得；（2）该题的初等方法虽然有多种，但均不常规，此处从略，请读者试之。下仅给出导数解法：由偶函数知，只要研究函数在区间0，1上的最大值。由，得。若，即，则，故此时不存在a适合题意；若，即，则在区间0，1上为增函数，故，令其为12得a=8。综上知，存在惟一正数a=8，使函数f（x）图象的最高点落在直线y=12上。例5 已知，函数的最大值为1，试确定实数a的取值范围。分析：三角变换只能将原函数化为后便力不从心，而凭代数换元，即令又可将其转化为代数函数，且其定义域为-1，1。至此，若沿用初等方法，则既要深刻理解最大值的含义又要灵活地进行代数变形，解题方法极不常规。而转换思维利用导数方法，虽然不可避免地进行分类讨论，但是所有这一切工作都蕴藏在自然的思考之中。解 ，令，下就方程的根是否在代数函数的定义域-1，1内展开讨论：若，则，函数y=t在-1，1上为增函数，最大值恰好为1；若，则可化为，再据是否属于区间0，1进行讨论：（1）当即或时，。因区间的端点的函数值，故在时，f（x）在区间-1，1上的极大值即，结合图象知；在时，f（x）在区间-1，1上的极大值即，结合图象知，从而a=-1。（2）当即时，y在其定义域上为增函数，由闭区间端点的函数值知，此时函数的最大值为1，故适合题意。（3）当即时，y在其定义域上为增函数，由闭区间端点的函数值知，此时函数的最大值为1，故也适合题意。综上所述，a的取值范围是-1，8。由上可见，诸多在初等方法下技巧性极强的函数问题，在高等工具导数的作用下是那样的单纯与简捷。为将新增导数内容融入原有的知识体系，并找回其应有的位置，作为教者只有打破传统内容的束缚并深入挖掘新增内容在原有知识体系下潜在的应用功能，才能取得良好的教学效果。2重视导数的综合应用21涉及切线的推理题（与解几综合）例1 已知函数，设，设曲线y=在点处的切线为m.（1）求m的方程；（2）设