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第八讲 三角形 四 1 复习直角三角形的判定与性质 回顾直角 复习直角三角形的判定与性质 回顾直角 三角形的边角关系 复习用勾股定理解某些简三角形的边角关系 复习用勾股定理解某些简 单的实际问题的方法单的实际问题的方法 2 回顾直角三角形的有关性质在线段计算 线 回顾直角三角形的有关性质在线段计算 线 段倍分关系证明 线段平方关系证明及与面积段倍分关系证明 线段平方关系证明及与面积 有关的计算等问题有关的计算等问题 一 复习目标 1 直角三角形的概念和直角三角形的性质 直角三角形的概念和直角三角形的性质 1 勾股定理 勾股定理 2 两锐角互余 两锐角互余 2 一个三角形是直角三角形的条件 一个三角形是直角三角形的条件 1 两锐角互余 两锐角互余 2 勾股定理逆定理 勾股定理逆定理 二 知识要点 例例1 如图 在四边形如图 在四边形ABCD中 中 A 600 B D 90 BC 2 CD 3 求 求AB的长度的长度 三 典型例题 分析 通过作辅助线 将四边形问题转化为三角形问分析 通过作辅助线 将四边形问题转化为三角形问 题来解决 其关键是对内分割还是向外补形题来解决 其关键是对内分割还是向外补形 答案 答案 8 3 3 E D C B A 例例2 如图 如图 P为 为 ABC边边BC上一点 上一点 PC 2PB 已 已 知知 ABC 450 APC 600 求 求 ACB的度数的度数 分析 本题不能简单地由角的关系推出分析 本题不能简单地由角的关系推出 ACB的度的度 数 而应综合运用条件数 而应综合运用条件PC 2PB及及 APC 60 来来 构造出含构造出含30 角的直角三角形角的直角三角形 这是解本题的关键这是解本题的关键 答案 答案 ACB 750 提示 提示 过过C作作CQ AP于于Q 连结 连结BQ 则则AQ BQ CQ 三 典型例题 Q P C B A 例例3 如图 公路如图 公路MN和公路和公路PQ在点在点P处交汇 且处交汇 且 QPN 300 点 点A处有一所中学 处有一所中学 AP 160米 假设汽车行米 假设汽车行 驶时 周围驶时 周围100米以内会受到噪声的影响 那么汽车在米以内会受到噪声的影响 那么汽车在 公路公路MN上沿上沿PN方向行驶时 学校是否会受到噪声的方向行驶时 学校是否会受到噪声的 影响 如果受影响 已知汽车的速度为影响 如果受影响 已知汽车的速度为18千米 小时 千米 小时 那么学校受影响的时间为多少秒 那么学校受影响的时间为多少秒 三 典型例题 F P E M D N Q A 分析 从学校 分析 从学校 A点 距离公路 点 距离公路 MN 的最近距离 的最近距离 AD 80米 入手 在距米 入手 在距A点方圆点方圆100米的范围内 利用图形 米的范围内 利用图形 根据勾股定理和垂径定理解决它根据勾股定理和垂径定理解决它 解 作解 作AD MN于于D 在 在Rt ADP中 易知中 易知AD 80 所以这所以这 所学校会受到噪声的影响所学校会受到噪声的影响 以以A为圆心 为圆心 100米为半径作圆交米为半径作圆交 MN于于E F 连结 连结AE AF 则 则AE AF 100 根据勾股 根据勾股 定理和垂径定理知 定理和垂径定理知 ED FD 60 EF 120 从而学校 从而学校 受噪声影响的时间为 受噪声影响的时间为 小时 小时 24 秒 秒 三 典型例题 1201 18000150 t F P E M D N Q A 例例4 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千 米范围内形成气旋风暴 有极强的破坏力 如图米范围内形成气旋风暴 有极强的破坏力 如图12 据气象观 据气象观 测 距沿海某城市测 距沿海某城市A的正南方向的正南方向220千米的千米的B处有一台风中心 处有一台风中心 其中心最大风力为其中心最大风力为12级 每远离台风中心级 每远离台风中心20千米 风力就会减千米 风力就会减 弱一级 该台风中心现正以弱一级 该台风中心现正以15千米 时的速度沿北偏东千米 时的速度沿北偏东300方方 向往向往C移动 且台风中心风力不变移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或超过若城市所受风力达到或超过 四级 则称为受台风影响四级 则称为受台风影响 三 典型例题 1 该城市是否会受到这次台风的影响 该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由请说明理由 2 若会受到台风影响 那么台风影响 若会受到台风影响 那么台风影响 该城市的持续时间有多长该城市的持续时间有多长 3 该城市受到台风影响的最大风力为 该城市受到台风影响的最大风力为 几级几级 C A B 解 解 1 如图 如图1 由点 由点A作作AD BC 垂足为 垂足为D AB 220 B 30 AD 110 千米 千米 由题意知 当由题意知 当A点距台风中心不超过点距台风中心不超过160千米时 将会受到台千米时 将会受到台 风的影响风的影响 故该城市会受到这次台风的影响故该城市会受到这次台风的影响 三 典型例题 2 由题意知 当 由题意知 当A点距台风中心不超过点距台风中心不超过160千米时 将千米时 将 会受到台风的影响会受到台风的影响 则则AE AF 160 当台风中心从当台风中心从E处移处移 到到F处时 该城市都会受到这次台风的影响处时 该城市都会受到这次台风的影响 由勾股定理得 由勾股定理得 2222 160110270 5030 15DEAEAD EF 60 15 千米 千米 该台风中心以该台风中心以1515千米 时的速度移动千米 时的速度移动 这次台风影响该城市的持续时间为这次台风影响该城市的持续时间为 小时 小时 60 15 4 15 15 3 当台风中心位于当台风中心位于D处时处时 A市所受这次台风的风市所受这次台风的风 力最大力最大 其最大风力为其最大风力为12 6 5 级级 三 典型例题 110 20 一 填空题 一 填空题 1 如果直角三角形的边长分别是 如果直角三角形的边长分别是6 8 x 则 则x的取的取 值范围是值范围是 2 如图 如图 D为 为 ABC的边的边BC上的一点 已知上的一点 已知AB 13 AD 12 BD 5 AC BC 则 则BC 四 能力训练 D C B A 3 如图 四边形 如图 四边形ABCD中 已知中 已知AB BC CD DA 2 2 3 1 且 且 B 900 则 则 DAB 4 等腰 等腰 ABC中 一腰上的高为中 一腰上的高为3cm 这条高与底 这条高与底 边的夹角为边的夹角为300 则 则 四 能力训练 D C B A ABC S 演 示 文 稿 1 2 3 后 等 微信红包群 微信红包群 列圤夻 5 如图 如图 ABC中 中 BAC 90 B 2 C D点在点在BC上 上 AD平分平分 BAC 若 若AB 1 则 则BD的的 长为长为 6 已知 已知Rt ABC中 中 C 900 AB边上的中线长边上的中线长 为为2 且 且AC BC 6 则 则 四 能力训练 D C B A ABC S 7 如图 等腰梯形 如图 等腰梯形ABCD中 中 AD BC 腰长为 腰长为 8cm AC BD相交于相交于O点 且点 且 AOD 600 设 设E F分别为分别为CO AB的中点 则的中点 则EF 8 如图 点 如图 点D E是等边 是等边 ABC的的BC AC上的点 上的点 且且CD AE AD BE相交于相交于P点 点 BQ AD 已知已知 PE 1 PQ 3 则 则AD 四 能力训练 F E O D C B A E P D C B A Q 9 如图所示 所有的四边形都是正方形 所有 如图所示 所有的四边形都是正方形 所有 的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的 边长为边长为7cm 则正方形 则正方形A B C D的面积的和的面积的和 是是 四 能力训练 二 选择题 二 选择题 1 如图 已知 如图 已知 ABC中 中 AQ PQ PR PS PR AB于于R PS AC于于S 则三个结论 则三个结论 AS AR QP AR BRP QSP中 中 A 全部正确 全部正确 B 仅 和 正确 仅 和 正确 C 仅 正确 仅 正确 D 仅 和 正确 仅 和 正确 2 如果一个三角形的一条边的长是另 如果一个三角形的一条边的长是另 一条边的长的一条边的长的2倍 并且有一个角是倍 并且有一个角是 300 那么这个三角形的形状是 那么这个三角形的形状是 A 直角三角形 直角三角形 B 钝角三角形 钝角三角形 C 锐角三角形 锐角三角形 D 不能确定 不能确定 四 能力训练 R Q P C B A S 3 在四边形 在四边形ABCD中 中 AD CD AB 13 BC 12 CD 4 AD 3 则 则 ACB的度数是 的度数是 A 大于 大于900 B 小于 小于900 C 等于 等于900 D 不能确定 不能确定 4 如图 已知 如图 已知 ABC中 中 B 90 AB 3 BC OA OC 则 则 OAB的度数为 的度数为 A 100 B 150 C 200 D 250 四 能力训练 O B C A 3 6 1 阅读下面的解题过程 已知 为 阅读下面的解题过程 已知 为 ABC的三边 且的三边 且 满足满足 试判断 试判断 ABC的形状的形状 解 解 ABC是直角三角形是直角三角形 问 问 1 上述解题过程中 从哪一步开始出现错误 请 上述解题过程中 从哪一步开始出现错误 请 写出该步的代号写出该步的代号 2 错误的原因是 错误的原因是 3 本题的正确结论是 本题的正确结论是 四 能力训练 222244 a cb cab 222244 a cb cab 2222222 c ababab 222 abc 2 已知 已知 ABC中 中 BAC 750 C 600 BC 求 求AB AC的长的长 3 如图 如图 ABC中 中 AD是高 是高 CE是中线 是中线 DC BE DG CE于于G 1 求证 求证 G是是CE的中点 的中点 2 B 2 BCE 四 能力训练 33 G D E C B A 4 如图 某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟 如图 某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟 为生物园 为生物园 ACB 90 BC 60米 米 A 36 1 若入口 若入口E在边在边AB上 且与上 且与A B等距离 请你在图中等距离 请你在图中 画出入口画出入口E到到C点的最短路线 并求最短路线点的最短路线 并求最短路线CE的长 保的长 保 留整数 留整数 2 若线段 若线段CD是一条水渠 并且是一条水渠 并且D点在边点在边AB上 已知水上 已知水 渠造价为渠造价为50元 米 水渠路线应如何设计才能使造价最低 元 米 水渠路线应如何设计才能使造价最低 请你画出水渠路线 并求出最低造价请你画出水渠路线 并求出最低造价 参考数据 参考数据 sin36 0 5878 sin54 0 8090 四 能力训练 C B A 5 已知 已知 ABC的两边的两边AB AC的长是方程的两个实数根 的长是方程的两个实数根 第三边第三边BC 5 1 为何值时 为何值时 ABC是以是以BC为斜边的直角三角形 为斜边的直角三角形 2 为何值时 为何值时 ABC是等腰三角形 求出此时其中一个是等腰三角形 求出此时其中一个 三角形的面积三角形的面积 四 能力训练 五 参考答案 参考答案参考答案 一 填空题 一 填空题 1 10或或 2 7 2 16 9 3 1350 4

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