二次函数与四边形形状相结合的存在性试题解题策略.pdf

中学数学杂志2 0 0 8 年第4 期 妊嬲彩始荡彩彩勿铉朗饿 名磊嬲少 砍函数5 回也彤耐状相f j 合幻 存在牲 诫题解题策略 浙江省衢州市兴华中学 3 2 4 0 0 0 郑耀文 存在性 问题属于探索性问题的一种 以二次 函数为载体的四边形形状 存在性 问题是近几年 中考压轴题的热点 它以能力立意取代知识立意 立足基础 突出能力和数学思想的考查 对学生分析 问题和解决问题的能力要求较高 有较高的区分度 现例举近两年以二次函数为载体的四边形形状 存 在性 问题评析如下 1 与平行四边形形状相结合的存在性问题 如图l 要使四边形A B C D 成为平行四边形 根 据平行四边形的判定定理 需满足的条件 1 A D 曰C 且A D B C 2 A D B C 且A B C D 3 O A O C 且O B O D 对于 1 这种需满足两个 不同条件的判定方法 我们常常让其中一个条件先 满足 再根据所需满足的第二个条件求解 D 1 一 彳 故i 图1图2 例l 2 0 0 7 浙江省 如图2 抛物线Y 舅2 2 菇 一3 与茗轴交A B 两点 A 点在B 点左侧 直线z 与 抛物线交于A C 两点 其中C 点的横坐标为2 1 求A B 两点的坐标及直线A C 的函数表达式 2 P 是线段A C 上的一个动点 过P 点作Y 轴的平行线交 抛物线于E 点 求线段P E 长度的最大值 3 点G 是抛物线上的动点 在舅轴上是否存在点F 使A C F G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的F 点坐标 如果不存 在 请说明理由 解 1 令Y 0 解得菇l 一1 或茗2 3 所 以A 一l 0 Z 3 0 I 将C 点的横坐标石 2 代人Y 石2 2 髫一3 得Y 一3 所以C 2 一3 所以直线 A C 的函数解析式是Y 一菇一1 2 设P 点的横坐标为茹 一l 茗 2 则P E 的坐标分别为 P x 茗一1 E x 茄2 2 菇一3 因为P 点在E 点的上方 P E 一髫一1 一 石2 2 石 1 一3 一茗2 菇 2 所以当茗 时 朋的最大值 是 一 3 若A F 为边 则C G A F 茗轴 所以c o 一3 A F C G 2 以A 为圆心2 为半径画弧交茹轴 于F R 则F 1 0 疋 一3 0 若A F 为对角线 A F C G 交于点D 作C M 上戈轴 G N 上戈轴 垂足分 别为肘 所以A A C M 鲨A F G N C M D 鲨 A F N D 所以G 点的纵坐标为3 刷 A M 3 所以 G l 1 7 3 G 2 1 一刀 3 因为删 A M 3 所 以B 4 万 0 F 4 4 一万 0 存在4 个这样的点 F 分别是 1 0 疋 一3 0 F 3 4 0 只 4 一 万 o 点评 第 3 小题中 因为四个点能组成平行 四边形的情况有多种 需分类讨论 把四个点全部找 出来有一定的困难 2 与矩形形状相结合的存在性问题 如图3 要使平行四边形A B C D 成为矩形 根据 矩形的判定定理 需满足的条件是 1 有一个角 如 B A D 等于9 0 由勾股定理的逆定理 需满足的 数量关系是A B 2 A D 2 B D 2 2 A C B D 解题的 常见思路是 根据所需的数量关系建立方程模型求 解 夕夕 D l y f E 一 彳 肖 一 Di M 图3图4 例2 2 0 0 6 年山西 如图4 已知抛物线c 与 坐标轴的交点依次是A 一4 O 曰 一2 0 E O 8 1 求抛物线C 关于原点对称的抛物线C 的 4 5 万方数据 中学数学杂志2 0 0 8 年第4 期 解析式 2 设抛物线C 的顶点为肘 抛物线c 2 与菇 轴分别交于C D 两点 点C 在点D 的左侧 顶点为 J r 四边形M D N A 的面积为S 若点A 点D 同时以每 秒一个单位的速度沿水平方向分别向右 向左运动 与此同时 点肘 点 同时以每秒两个单位的速度沿 竖直方向分别向下 向上运动 直到点A 点D 重合为 止 求出四边形M D N A 的面积S 与运动时间t 之间的 关系式 并写出自变量t 的取值范围 3 当t 为何值 时 四边形M D N A 的面积S 有最大值 4 在运动过 程中 四边形M D N A 能否形成矩形 若能 求出此时t 的值 若不能 请说明理由 解 1 抛物线C 2 的解析式为Y 一石2 缸一 8 过程从略 2 易知M 一3 0 N 3 1 过 作N H 上A D 于鼠当运动到时刻t 时 A D 2 0 D 8 2 t N H l 2 t 由中心对称的性质有O A O D O M O N 四边形M D N A 为平行四边形 则S 2 S 加 8 2 t 1 2 t 一4 t 2 1 4 t 8 由题设知0 t 4 L1 3 当t 一芝 属于0 t 4 的范围 o斗 0 1 时 5 有最大值 此时S 的最大值为竿 咔 4 解法l 由 2 知四边形M D N A 为平行四边 形 若能形成矩形 则A D M N 所以O D O N 因 此有O D 2 O N 2 O f f 馕产 即t 2 4 t 一2 0 解得t l 佰一2 t 2 一拍一2 舍去 解法2 因为四边形M D N A 为平行四边形 若能 形成矩形 则需 A N D 9 0 0 由勾股定理的逆定理 知 需满足的数量关系是A 酽 N D 2 A D 2 且p A H 2 慵f 2 俑f 2 H D 2 A D 2 所以 7 一t 2 1 2 t 2 1 2 t 2 1 一I 2 8 2 t 2 得t 2 4 t 一2 0 同上 所以在运动过程中 四边形 M D N A 可以形成矩形 此时t 6 2 点评在第 2 小题中涉及动点问题 关键是 弄清动点运动的路程是哪一段 第 4 小题要判断 矩形 既可以根据对角线相等的平行四边形是矩形 来判断 也可以根据有一个角是9 0 的平行四边形 是矩形来判断 3 与菱形 正方形 形状相结合的存在性问题 如图5 要使平行四边形A B C D 成为菱形 根据 菱形的定义及判定定理 需满足的条件是 1 邻边 相等 如A B B C 2 对角线互相垂直 如A C 上 4 6 B D 要使平行四边形A B C D 成为正方形 根据菱形 及矩形的判定定理 需满足的条件是 对角线相等且 互相垂直 y J 岗一 D 凝夕i 图5图6 例3 2 0 0 7 河南 如图6 对称轴菇 的抛 物线经过点A 6 0 和B 0 4 1 求抛物线解析式及顶点坐标 2 设点E x 是抛物线上一动点 且位于第 四象限 四边形O E A F 是以O A 为对角线的平行四边 形 求平行四边形O E A F 的面积S 与菇之间的函数关 系式 并写出自变量x 的取值范围 当平行四边形O E A F 的面积为2 4 时 请判断 平行四边形O E A F 是否为菱形 是否存在点E 使平行四边形O E A F 为正方 形 若存在 求出点E 的坐标 若不存在 请说明理 由 解 1 y 詈 菇一吾 2 2 百5 顶点为 吾 一警 过程从略 2 因为点E x 在抛物线上 位于第四象 限 且坐标适合 詈 戈一号 2 一警 N I x y 0 一 表示点E 到伽的距离 所以S 2 S 眦 2 了1 O A 一Y 一6 一4 髫一 2 2 5 因为抛物线与茹轴的两个交点是 1 0 和 6 0 所以 自变量菇的取值范围是l 戈 6 根据题意 当S 2 4 时 即一4 x 一 2 2 5 2 4 得石 3 菇 4 所以E 有两个 分别为 E 3 一4 如 4 一4 点E 3 一4 满足O E A E 所以平行四边形O E A F 是菱形 E 4 一4 不满 足O E A E 所以平行四边形O E A F 不是菱形 当D A 上E F 且O A E F 时 平行四边形 O E A F 是正方形 此时点E 的坐标只能是 3 一3 万方数据 中学数学杂志2 0 0 8 年第4 期 而坐标为 3 一3 的点不在抛物线上 故不存在这 样的点E 使得平行四边形O E A F 为正方形 点评第 2 题把点E 的坐标转化为三角形的 高时 需注意其位于第四象限 所以点E 到O A 的距 离为二y 这是易错点 第 小题 点E 需同时满足 三个条件 I E 上O A O A E F 点E 在抛物线上 本例的解法是让点E 先满足 I 两个条件 求出点E 的坐标为 3 一3 再检验 是否满足 从而判断是否存在 也可以让点E 满足 I 两个条件 求出点E 的坐标为 3 一 4 再检验 是否满足 这是解满足多个条件的 存在性问题的常用思路 4 与等腰梯形形状相结合的存在性问题 爿 D B E FC 图7图8 如图7 四边形A B C D 是梯形 A E 上B C D F 上 B C 要使梯形A B C D 成为等腰梯形 根据等腰梯形 的概念 需满足的条件是 1 A B C D 2 B E C F 3 厶B 二C 在表示A B C D 的长度时 常常 需构造R t A A B E R t A C D F 这样首先得表示出B E C 的长 所以 1 2 两种判定方法 我们常常以 2 这种判定方法作为判定等腰梯形的首选方法 例4 2 0 0 7 重庆 如图8 已知 在R t A O A B 中 二O A B 9 0 L B O A 3 0 0 A B 2 若以0 为坐 标原点 O A 所在直线为戈轴 建立如图8 所示的平面 直角坐标洗 点B 在第一象限内 将R t D A 日沿O B 折叠后 点A 落在第一象限内的点C 处 1 求点C 的坐标 2 若抛物线Y 戤2 k 口 0 经过C A 两 点 求此抛物线的解析式 3 若抛物线的对称轴与O B 交于点D 点P 为 线段D B 上一点 过P 作Y 的平行线 交抛物线于点 胍问 是否存在这样的点P 使得四边形C D P M 为 等腰梯形 若存在 请求出此时点P 的坐标 若不存 在 请说明理由 解 1 作C H 上省轴 垂足为日 求得c 石 3 过程从略 2 因为抛物线Y 似2 k 过点c 杉 3 A 2 压o 所以f 3 杉 2 口 犯6 0 2 石 2 口 2 届 解得口 一1 b 2 亨 所以抛物线的解析式为 Y2 一茗2 2 虱 3 解法1 若L D C M C D P 则梯形C D P M 为等腰梯形 因为L C D P L O D H 9 0 0 L B O A 6 0 所以2 D C M 6 0 因为 O C B 9 0 L O C H 9 0 0 L O C H 3 0 所以L D C B L O C B L O C H 6 0 所以等腰梯形顶点肘即为 直线C B 与抛物线的交点 直线凹的解析式为Y 厅 一 一 4 它与抛物线的交点为 f 舻 互x 2 2 Y x 黼 竽拈船执 1 y 争 4 褊一半瓤邓治刳 所以P 点的横坐标为竽 所以P 譬o l v 此时P 竿 寻 所以存在 解法2 因为Y 一菇2 2 佤的顶点坐标为 杉 3 即为点c 胛上膏轴 设垂足为N P N t 因为L B O A 3 0 所以O N 杉t 所以P 怕t9 t 作P F 上C D M E 上C D 把茗 西代入 一f 2 虱得Y 一3 t 2 6 所以肘 瓦 一3 f 2 6 t E 万 一3 1 2 6 同理F 万 t D 石 1 要使四 边形C D P M 为等腰梯形 只需C E F D 即3 一 一 3 t 2 6 t t 一1 解得t l t 2 1 舍 所以 P 华 丢 即存在 点评本题综合考查了求点的坐标 求抛物线 的解析式 解直角三角形等知识 既是代数与几何的 有机结合 又有运动与静止的辩证统一 第 3 小 题解法1 由一边上两个角相等的梯形是等腰梯形 得出等腰梯形C D P M 的顶点肘即为直线C B 与抛物 线的交点 需要学生有较强的观察能力及分析问题 的能力 有一定的难度 作者简介 郑耀文 1 9 7 2 年1 1 生 大学本科 中学一级教 师 主要从