高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(8)-数列 (1).doc

1 第六章 数列 第一节 等差数列 等比数列的概念及求和 第一部分 五年高考体题荟萃 一 选择题 1 年广东卷文 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a A 2 1 B 2 2 C 2 D 2 答案 B 解析 设公比为q 由已知得 2 284 111 2a qa qa q 即 2 2q 又因为等比数列 n a的公比为正数 所以2q 故 2 1 12 22 a a q 选 B 2 安徽卷文 已知为等差数列 则等于 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 204 1aad 选 B 答案 B 3 江西卷文 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比中项 8 32S 则 10 S等于 A 18 B 24 C 60 D 90 答案 C 解析 由 2 437 aa a 得 2 111 3 2 6 adad ad 得 1 230ad 再由 81 56 832 2 Sad 得 1 278ad 则 1 2 3da 所以 101 90 1060 2 Sad 故选 C 4 湖南卷文 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和 已知 2 3a 6 11a 则 7 S等于 A 13 B 35 C 49 D 63 解析 1726 7 7 7 7 3 11 49 222 aaaa S 故选 C 或由 211 61 31 5112 aada aadd 7 1 6 213 a 所以 17 7 7 7 1 13 49 22 aa S 故选 C 5 福建卷理 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 且 3 S 6 1 a 4 则公差 d 等于 A 1 B 5 3 C 2 D 3 2 答案 C 解析 313 3 6 2 Saa 且 311 2 4 d 2aad a 故选 C 6 辽宁卷文 已知 n a为等差数列 且 7 a 2 4 a 1 3 a 0 则公差 d A 2 B 1 2 C 1 2 D 2 解析 a7 2a4 a3 4d 2 a3 d 2d 1 d 1 2 答案 B 7 四川卷文 等差数列 n a 的公差不为零 首项 1 a 1 2 a是 1 a和 5 a的等比中项 则数列的前 10 项之和是 A 90 B 100 C 145 D 190 答案 B 解析 设公差为d 则 41 1 1 2 dd d 0 解得d 2 10 S 100 8 宁夏海南卷文 等差数列 n a的前 n 项和为 n S 已知 2 11 0 mmm aaa 21 38 m S 则m A 38 B 20 C 10 D 9 答案 C 解析 因为 n a是等差数列 所以 11 2 mmm aaa 由 2 11 0 mmm aaa 得 2 m a 2 m a 0 所以 m a 2 又 21 38 m S 即 2 12 121 m aam 38 即 2m 1 2 38 解得 m 10 故选 C 9 重庆卷文 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案 A 解析 设数列 n a的公差为d 则根据题意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或0d 舍去 所以数列 n a的前 n项和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 二 填空题 10 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 9 72S 则 249 aaa 答案 24 解析 n a 是等差数列 由 9 72S 得 59 9 Sa 5 8a 3 2492945645 324aaaaaaaaaa 11 浙江理 设等比数列 n a的公比 1 2 q 前n项和为 n S 则 4 4 S a 答案 15 解析 对于 44 3 14 441 3 4 1 1 15 1 1 aqsq saa q qaqq 12 北京文 若数列 n a满足 11 1 2 nn aaa nN 则 5 a 前 8 项的和 8 S 用数字作 答 答案 225 解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题 属于基础知识 基本运算的考查 121324354 1 22 24 28 216aaaaaaaaa 易知 8 8 21 255 2 1 S 应填 255 13 全国卷 文 设等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 若 361 4 1ssa 则 4 a 答案 3 解析 本题考查等比数列的性质及求和运算 由 361 4 1ssa 得 q3 3 故 a4 a1q3 3 14 全国卷 理 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 53 5aa 则 9 5 S S 解析 n a 为等差数列 95 53 9 9 5 Sa Sa 答案 9 15 辽宁卷理 等差数列 n a的前n项和为 n S 且 53 655 SS 则 4 a 解析 Sn na1 1 2 n n 1 d S5 5a1 10d S3 3a1 3d 6S5 5S3 30a1 60d 15a1 15d 15a1 45d 15 a1 3d 15a4 答案 3 1 三 解答题 16 浙江文 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常数 I 求 1 a及 n a 4 II 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 解 当1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 经验 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比数列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 对任意的 Nm成立 10 kk或 17 北京文 设数列 n a的通项公式为 0 n apnq nNP 数列 n b定义如下 对于正整数m m b是使得不等式 n am 成立的所有n中的最小值 若 11 23 pq 求 3 b 若2 1pq 求数列 m b的前 2m项和公式 是否存在p和q 使得32 m bmmN 如果存在 求p和q的取值范围 如果不存在 请说明理由 解析 本题主要考查数列的概念 数列的基本性质 考查运算能力 推理论证能力 分类讨论等数学思想方法 本题是数列与不等式综合的较难层次题 解 由题意 得 11 23 n an 解 11 3 23 n 得 20 3 n 11 3 23 n 成立的所有n中的最小整数为 7 即 3 7b 由题意 得21 n an 对于正整数 由 n am 得 1 2 m n 根据 m b的定义可知 当21mk 时 m bk kN 当2mk 时 1 m bkkN 1221321242mmm bbbbbbbbb 1232341mm 2 13 2 22 m mm m mm 假设存在p和q满足条件 由不等式pnqm 及0p 得 mq n p 5 32 m bmmN 根据 m b的定义可知 对于任意的正整数m 都有 3132 mq mm p 即 231pqpmpq 对任意的正整数m都成立 当310p 或310p 时 得 31 pq m p 或 2 31 pq m p 这与上述结论矛盾 当310p 即 1 3 p 时 得 21 0 33 qq 解得 21 33 q 存在p和q 使得32 m bmmN p和q的取值范围分别是 1 3 p 21 33 q 18 山东卷文 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且 1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 所以得 n n Sbr 当1n 时 11 aSbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以1r 公比为b 所以 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相减 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 6 命题立意 本题主要考查了等比数列的定义 通项公式 以及已知 n S求 n a的基本题型 并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数 列对应项乘积所得新数列的前n项和 n T 19 全国卷 文 已知等差数列 n a 中 0 16 6473 aaaa求 n a 前 n 项和 n s 解析 本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力 利用方程的思想可求解 解 设 n a的公差为d 则 11 11 2616 350 adad adad 即 22 11 1 81216 4 adad ad 解得 11 8 8 2 2 aa dd 或 因此 819819 nn Snn nn nSnn nn n 或 20 安徽卷文 已知数列 的前 n 项和 数列 的前 n 项和 求数列 与 的通项公式 设 证明 当且仅当 n 3 时 思路 由 1 1 1 2 nn an a ssn 可求出 nn ab和 和 这是数列中求通项的常用方法之一 在求出 nn ab和 和后 进而得到 n c 接下 来用作差法来比较大小 这也是一常用方法 解析 1 由于 11 4as 当2n 时 22 1 22 2 1 2 1 4 nnn assnnnnn 4 m an nN 又当xn 时 11 26 2 nnnmm bTTb 1 2 nn bb 数列 n b项与等比数列 其首项为 1 公比为 1 2 1 1 2 n n b 2 由 1 知 221 11 1 16 2 n n Cabn 2 1 1 2 1 2 21 1 16 1 1 2 1 2 16 2 n n n n n Cn Cn n 由 2 1 1 11 2 n n Cn Cn 得即 2 21012nnn 即3n 7 又3n 时 2 1 2 1 2 n n 成立 即 1 1 n n C C 由于0 n C 恒成立 因此 当且仅当3n 时 1nn CC 21 江西卷文 数列 n a的通项 222 cossin 33 n nn an 其前n项和为 n S 1 求 n S 2 3 4 n n n S b n 求数列 n b 的前 n 项和 n T 解 1 由于 22 2 cossincos 333 nnn 故 312345632313 222222 222 1245 32 31 3 6 3 222 kkkk Saaaaaaaaa kk k 1331185 94 2222 kkk 3133 49 2 kkk kk SSa 2 323131 49 31 1321 22236 kkk kkkk SSak 故 1 32 36 1 1 3 31 6 34 3 6 n n nk nn Snk nn nk kN 2 3 94 42 4 n n nn Sn b n 2 1 132294 2 444 n n n T 1 12294 4 13 244 n n n T 两式相减得 12321 99 1999419419 44 3 13 13 8 1 24442422 1 4 n n nnnnn nnn T 故 2321 813 33 22 n nn n T 22 天津卷文 已知等差数列 n a的公差 d 不为 0 设 1 21 n nn qaqaaS 8 11 21 0 1 NnqqaqaaT n n n n 若15 1 1 31 Saq 求数列 n a的通项公式 若 3211 SSSda且 成等比数列 求 q 的值 若 2 2 22 1 1 2 1 1 1Nn q qdq TqSqq n nn 证明 1 解 由题设 15 1 1 2 31 2 1113 SaqqdaqdaaS将 代入解得4 d 所以34 nan Nn 2 解 当 321 2 3211 32 2 SSSdqdqdSdqdSdSda 成等比数列 所以 31 2 2 SSS 即 322 22 dqdqdddqd 注意到0 d 整理得2 q 3 证明 由题设 可得 1 n n qb 则 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaS 12 2 2 3212 n nn qaqaqaaT 得 2 12 2 3 4222 n nnn qaqaqaTS 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTS 式两边同乘以 q 得 2 22 12 2 3122 n nnn qaqaqaTSq 所以 2 2 123 22 1 1 2 2 1 1 q qdq qqqdTqSq n n nn 3 证明 nlklklk baabaabaacc nn 2121 2 12 11 1 1122111 n nn qdblkqdblkdblk 因为0 0 1 bd 所以 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 若 nn lk 取 i n 9 若 nn lk 取 i 满足 ii lk 且 jj lk nji 1 由 1 2 及题设知 ni 1 且 1 2211 1 21 n nn qlkqlklk db cc 当 ii lk 时 1 ii lk 由nq 1 2 1 1 iiqlk ii 即1 11 qlk 1 22 qqqlk 22 11 1 ii ii qqqlk 所以1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 21 i i ii q q q qqqqqqq db cc 因此0 21 cc 当 ii lk 时 同理可得 1 1 21 db cc 因此0 21 cc 综上 21 cc 考点定位 本小题主要考查了等差数列的通项公式 等比数列通项公式与前 n 项和等基本知识 考查运算能力和推理论证能力和综 合分析解决问题的能力 23 全国卷 理 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa I 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 II 求数列 n a的通项公式 解 I 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 则当2n 时 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 是首项 1 3b 公比为 的等比数列 II 由 I 可得 1 1 23 2n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 数列 2 n n a 是首项为 1 2 公差为 3 4 的等比数列 1331 1 22444 n n a nn 2 31 2n n an 评析 第 I 问思路明确 只需利用已知条件寻找 1nn bb 与的关系即可 10 第 II 问中由 I 易得 1 1 23 2n nn aa 这个递推式明显是一个构造新数列的模型 1 n nn apaqp q 为常数 主 要的处理手段是两边除以 1n q 总体来说 09 年高考理科数学全国 I 这两套试题都将数列题前置 主要考查构造新数列 全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法 一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识 基本 方法基本技能 重视两纲的导向作用 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心 24 辽宁卷文 等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 已知 1 S 3 S 2 S成等差数列 1 求 n a 的公比 q 2 求 1 a 3 a 3 求 n s 解 依题意有 2 2 111111 qaqaaqaaa 由于 0 1 a 故 02 2 qq 又0 q 从而 2 1 q 5 分 由已知可得3 2 1 2 11 aa 故4 1 a 从而 n n n 2 1 1 3 8 2 1 1 2 1 14 S 10 分 25 陕西卷文 已知数列 n a满足 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 1nnn baa 证明 n b是等比数列 求 n a的通项公式 1 证 121 1 baa 当2n 时 1 111 11 222 nn nnnnnnn aa baaaaab 所以 n b是以 1 为首项 1 2 为公比的等比数列 2 解由 1 知 1 1 1 2 n nnn baa 11 当2n 时 121321 nnn aaaaaaaa 2 11 1 1 22 n 1 1 1 2 1 1 1 2 n 2 21 1 1 32 n 1 521 332 n 当1n 时 1 1 1 521 1 332 a 所以 1 521 332 n n anN 26 湖北卷文 已知 an 是一个公差大于 0 的等差数列 且满足 a3a6 55 a2 a7 16 求数列 an 的通项公式 若数列 an 和数列 bn 满足等式 an 2 222 n 3 3 2 21 为正整数n bbbb n 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 解 1 解 设等差数列 n a的公差为 d 则依题设 d 0 由 a2 a7 16 得 1 2716ad 由 36 55 aa 得 11 2 5 55ad ad 由 得 1 2167ad 将其代入 得 163 163 220dd 即 2 2569220d 2 4 0 2 1 1 1 221 n ddd ann 1 又代入得a 2 令 121121 2 n nnnnn n b caccc accc 则有 两式相减得 1111 1 111 1 1 1 2 2 2 2 2222 2 1 2 2 nnnnn n nnn n n aacaaa ccnnbba n b n 由得 即当时 又当n 1时 于是 341 123 2222n nn Sbbbb 2341 22222n 4 1 22 2 21 426 26 2 1 n nn n S 即 27 福建卷文 等比数列 n a中 已知 14 2 16aa I 求数列 n a的通项公式 若 35 a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项 试求数列 n b的通项公式及前n项和 n S 12 解 I 设 n a的公比为q 由已知得 3 162q 解得2q 由 I 得 2 8a 5 32a 则 3 8b 5 32b 设 n b的公差为d 则有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 从而16 12 1 1228 n bnn 所以数列 n b的前n项和 2 16 1228 622 2 n nn Snn 一 选择题 1 天津 若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S 且 2 3a 则 7 a A 12 B 13 C 14 D 15 答案 B 2 陕西 已知 n a是等差数列 12 4aa 78 28aa 则该数列前 10 项和 10 S等于 A 64 B 100 C 110 D 120 答案 B 3 广东 记等差数列 n a的前n项和为 n S 若 1 1 2 a 4 20S 则 6 S A 16 B 24 C 36 D 48 答案 D 4 浙江 已知 n a是等比数列 4 1 2 52 aa 则 13221 nna aaaaa A 16 n 41 B 6 n 21 C 3 32 n 41 D 3 32 n 21 答案 C 5 四川 已知等比数列 n a中 2 1a 则其前 3 项的和 3 S的取值范围是 A 1 B 01 C 3 D 13 答案 D 6 福建 设 an 是公比为正数的等比数列 若n1 7 a5 16 则数列 an 前 7 项的和为 A 63B 64C 127D 128 13 答案 C 7 重庆 在等比数列 an 中 a2 8 a5 64 则公比 q 为 A 2 B 3 C 4 D 8 答案 A 8 安徽 等差数列 n a的前n项和为 x S若 则 432 3 1Saa A 12 B 10 C 8 D 6 答案 B 9 辽宁 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 3 9S 6 36S 则 789 aaa A 63 B 45 C 36 D 27 答案 B 10 湖南 在等比数列 n a n N 中 若 1 1a 4 1 8 a 则该数列的前 10 项和为 A 4 1 2 2 B 2 1 2 2 C 10 1 2 2 D 11 1 2 2 答案 B 11 湖北 已知两个等差数列 n a