勾股定理及逆定理答案与解析.pdf

学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 勾股勾股定理定理 一 重点 难点一 重点 难点 1 重点 勾股定理的内容及证明 2 难点 勾股定理的证明 二 二 勾股定理内容及证明勾股定理内容及证明 勾股定理勾股定理内容内容 1 文字文字描述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方描述 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 弦弦 勾勾 股股 勾 2 股 2 弦 2 2 符号描述 如果直角三角形的两直角边边长分别为 a b 斜边为 c 那么 2 2 2 c a b 2 2 2 注意 勾股定理的结论有许多变形 如下所示 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222222 bcabacbca 勾股定理的证明 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 例 已知正方形 ABCD 边长为 c 过点 A 作任 意直线 过 B 点作该直线的垂线交于点 E 同理 过 C 点作 BE 的垂线 设直角三角形 ABE 两直 角边分别为 AE b BE a 求证 2 2 2 证明 易证 四个直角三角形全等 故 4 SSS 大正方形三角形小正方形 即 22 1 c 4a b b a 2 化简得 2 2 2 即在直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方 三 例题精讲 题型一 勾股定理的应用 例一 1 赵爽弦图 是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 如果小 正方形的面积为 1 大正方形的面积为 13 直角三角形中短直角边 a 较长直角边为 b 那 么 a b 2的值为 A 13 B 14 C 25 D 169 考点 考点 勾股定理 分析 分析 根据正方形的面积公式以及勾股定理 结合图形进行分析发现 大正方形的面 积即直角三角形斜边的平方 13 也就是两条直角边的平方和是 13 四个直角三角形的 面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即 2ab 12 根据完全平方公式即可求解 解答 解答 解 根据题意 结合勾股定理 a2 b2 13 四个三角形的面积 4 ab 13 1 2ab 12 联立解得 a b 2 13 12 25 故选 C 点评 点评 本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用 解题的关键是注意观察图形 发 现各个图形的面积和 a b 的关系 c b a DC AB E 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 2 2005 漳州 如图 美丽的勾股树中 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是 直角三角形 其中最大的正方形边长为 13 厘米 则 A B C D 的面积之和为 考点 考点 勾股定理 分析 分析 根据正方形的面积公式 运用勾股定理可以证明 四个小正方形的面积和 等于最大正方形的面积即 169 解答 解答 解 根据勾股定理得到 C 与 D 的面积的和是 P 的面积 A 与 B 的面积 的和是 Q 的面积 而 P Q 的面积的和是 M 的面积 即 A B C D 的面积之和为 M 的面积 M 的面积是 132 169 A B C D 的面积之和为 169 点评 点评 注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论 四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积 题型二 常用的勾股数 例二 1 已知 a b c 是直角三角形的三边 且 a b 是直角边 c 是斜边 若 a 3 b 4 则 c 若 a 5 b 12 则 c 若 a 7 b 24 则 c 若 a 8 b 15 则 c 解析 利用勾股定理 2 2 2 便可求出 c 的值分别为 5 13 25 17 常用常用的勾股数记忆 的勾股数记忆 3 4 5 勾三股四弦五 5 12 13 512记一生 7 24 25 企鹅是 25 8 15 17 8 月 15 在一起 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 2 三角形的两边长分别为 3 和 5 要使这个三角形是直角三角形 则第三条 边长是 解析 本题只知道直角三角形的两边为 3 和 5 而运用勾股定理必须清楚斜边是哪 条边 因此本题需要分类讨论 若 5 为斜边 及 c 5 则由 2 2 2易得另一边为 4 若 3 和 5 均为直角边 则第三条边由 2 2 2可得为 22 c 53 34 3 已知直角三角形 ABC 三边的长分别是 x x 1 5 则直角三角形 ABC 的周 长为 解析 此题也要分类讨论确定斜边 若 5 为斜边 则有 222 x x 5 1 解得 x 3 则周长为 12 若 x 1 为斜边 则有 222 x 5 x 1 解得 x 12 则周长为 30 题型三 勾股定理的应用 1 如图 AB 25 CA AB 于 A DB AB 于 B 已知 CA 15 DB 10 CD 的 垂直平分线交 AB 于点 E 求 AE 的长度 分析 此题的关键在于找到 CE 和 ED 的等量关系 由勾股定理即可解题 解析 设 AE x 则 EB 25 x 在 Rt AEC 中 222 15CEx 在 Rt BED 中 222 25 10EDx CE ED 中垂线上的点到两端点的距离相等 解得 x 10 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 2 山西中考 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 BC 3 AC 4 AB 的 垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E 求 CE 的长 分析 此题关键点在于垂直平分线的应用 因此连接 AE 即可得到 AE BE 根据勾股 定理即可解题 解析 如图 连接 AE 设 CE x 在 Rt ACE 中 222 4AEx BE 3 x 且 BE AE 222 x 3 4x 7 6 x 总结 这两题均考察了垂直平分线的应用 因此 见中垂 连两端 即可得到 等量关系 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 3 如图 已知 Rt ABC 中 C 90 两直角边 AC 5 BC 12 D 是 BC 上一 点 当 AD 是 A 的平分线时 求 CD 的长 分析 此题关键点在于 AD 是角平分线 见到角平分线应该想到做垂直 即过点 D 作 DE AB 从而可以得到 CD DE 22 222 tt 51213 xx tx 8 x 10 x 3 DEABE RACDRAED R 解析 如下图所示 作 于点 易得 HL AE AC 5 AB 设CD 则BD 12 BE 13 5 8 在 BDE中 12 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 4 如图 ACB 90 AD 是 CAB 的平分线 BC 4 CD 3 2 求 AC 的 长 分析 此题关键任在 AD 是角平分线 因此思路与上题相似 22 222 tt 33553 2 22222 xx tx 4 x x 3 DEABECDDE RACDRAED R 解析 如下图所示 作 于点 则 易得 HL CD DE BD 4 BE 设AC 则AE AB 2 x 在 ABC中 2 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 总结 这两题均考察了角平分线的应用 因此 见角分 作垂直 即可得到等 量关系 勾股勾股定理定理的的逆定理逆定理 一 重点 难点 重点 理解并记忆勾股定理的逆定理 难点 学会应用勾股定理的逆定理 并熟悉勾股数 敏感的根据勾股数反应出直角三角 形 二 勾股定理逆定理的内容 1 文字描述 在一个三角形中 如果某两条边的平方和等于第三条边的平方 那么这 个三角形是直角三角形 2 符号描述 如果三角形的三边长 a b c 满足 222 abc 那么这个三角形是直角 三角形 并且 c 为直角边 所对的角为直角 若 222 abc 则 c 为斜边 C 90 ABC 为直角三角形 3 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步 骤 a 确定三角形的最大边 b 分别计算出最长边的平方和另外两边的平方和 c 比较最长边的平方和与另外两边的平方和是否相等 若相等 则为直角三角形 且最长边为斜边 所对角为直角 若不相等 则不是直角三角形 4 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理通常用来判断直角三角形或证明线段的垂直 关系 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 三 例题精讲 题型一 判断直角三角形 1 下列线段不能组成直角三角形的是 A a 6 b 8 c 10 B a 1 b 2 c 3 C a 5 4 b 1 c 3 4 D a 2 b 3 c 6 解析 根据勾股定理逆定理易知 D 中 222 abc 不满足勾股定理 的逆定理 因此选 D 2 下列式子所表示的线段中 一定能够构成直角三角形的是 A k 1 4k k 1 k 1 B m 1 m 2 m 3 m 是正整数 C 222 3 2k kk D 22 1 2m m 1 m m 1 解析 此类题目只需任意取一个数字代入即可 答案选 D 当 m 2 时 222 3 4 5 满足勾股定理逆定理 22 11 mma mb m c m 22 3 若 为奇数 3 求证 1 1 为勾股数 分析 此类题型只需把 222 abc 算出来 再观察是否符合勾股定 理逆定理即可 22 24242 24242 222 a m 1111 b m m m m 4424 1111 c m m m m 4424 a b c 解析 21 21 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 2222 mnmna m nb 2mnc m n4 若任取两个正整数 和 求证 为勾股数 分析 此类题型只需把 222 abc 算出来 再观察是否符合勾股定 理逆定理即可 2442222224422 222 a m n 2m nb 4m nc m n 2m n a b c 解析 总结 这类题型考察了 逆定理 的应用 因此判断直角三角形或者线段垂 直关系只需按照以下步骤即可 a 确定三角形的最大边 b 分别计算出最长边的平方和另外两边的平方和 c 比较最长边的平方和与另外两边的平方和是否相等 若相等 则为直角三角形 且最长边为斜边 所对角为直角 若不相等 则不是直角三角形 题型二 勾股定理的逆定理的图形应用 1 如图所示 四边形 ABCD 中 AD 4 AB 3 BC 12 CD 13 BAD 90 计算四边形 ABCD 的面积 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 分析 四边形 ABCD 是不规则的四边形 因此计算面积只能变成规则的图形 故应该 应用 割补法 解析 连接 BD 由 AB 3 AD 4 BAD 90 在 Rt ABD 中 BD 22 34 5 222 222 25144169BDCD BDCD BCDCD BC BC 为直角三角形 且为直角边 tt 63036 RABDRABCD SSS BCD四边形 2 如图所示的一块四边形地 ADCB 已知 AD 12m CD 9m ADC 90 AB 39m BC 36m 求这块地的面积 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 分析 四边形 ABCD 是不规则的四边形 因此计算面积只能变成规则的图形 故应该 应用 割补法 但此题若连接 BD 则无法构造直角三角形 因此连接 AC 用 补 的思想 解析 连接 AC 222 2222 222 2 tt t225 36 1296391521 216m RACBRACDADCB RACDACCDAD BC ACBC ACBAB SSS 四边形 在 中 而 AB AB 为直角三角形 且为直角边 总结 这两题均考察了 割补法 的应用 因此见到不规则的图形时应想到割 补法来解题 学而思学而思初二数学组初二数学组 吴明显吴明显 不明显不明显老师说 学而时习之老师说 学而时习之 不亦不亦悦悦乎乎 题型三 易错门诊 1 在 ABC 中 AB 15 AC 13 高 AD 12 求三角形的周长 分析 此题没给图形 因此应该注意是否多解 通常涉及三角形的高 往往