华南理工大学现代控制理论及系统最优化——数学基础.pdf

第2讲 计算机控制系统的理论基础 2 1连续线性系统的扼要回顾 2 1 1拉氏变换定义 2 1 2几个常用函数的拉氏变换 2 1 3常用拉氏变换法则 2 1 4拉氏反变换 2 1 5传递函数 2 1 1拉氏变换定义 设一个实变量t的函数f t 如果其线性积分 存在 则称其为函数f t 的拉氏变换 变换后的函数是复变量s的函 数 记作F s 或L f t 即 式中 F s 为原函数的拉氏变换 若已知的拉氏变换F s 可用下式求出原函数 该式称为F s 的拉氏反变换 拉氏变换和拉氏反变换称为拉氏变换对 其一般表达式为 1 2 1 2 几个常用的拉氏变换 2 1 3 常用的拉氏变换法则 1 线性性质 设 F s L f t a和b为常数 则拉氏变换的线性性质可表示为 2 微分定理 设 F s L f t 则有 3 积分定理 设F s L f t 则有 4 时滞定理 设F s L f t 则有 5 复位移定理 设F s L f t 则 6 初值定理 设F s L f t 则有 7 终值定理 设F s L f t 则 2 1 4拉氏反变换 已知求拉氏反变换的公式为 当已知某原函数的拉氏变换 要求其原函数时 可通过拉氏反变换 求得 但由于用公式求拉氏反变换 要用到复变函数积分 显然计算 复杂 因此常用部分分式法 然后再利用拉氏变换对照表查出对应的 原函数 线性定常系统中 系统微分方程经拉氏变换后 可写成下列一般 形式 下面就A s 的各种不同形式讨论拉氏反变换 1 A s 0无重根 当A s 0无重根时 各极点均不相同 故F s 可分解为几个 部分分式之和 即 式中 A为常数 可由下式求得 例2 1 求其拉氏反变换 其中 解 将F s 分解成部分分式 则 当F s 的分子与分母阶数相同时 必须先分解 2 A s 0含有共轭复根 当A s 0含有共轭复根时 可将F s 展开以简化运算 设 P1 P2为一对共轭极点 则 式中 A1 A2为可由下式求得 因为设 P1为复数 故上式两边都是复数值 令两边的实部与虚部 分别相等 可解得A1 A2 求出后对F s 进行适当变形 再由拉氏反变换查出原函数 例2 2 求其拉氏反变换 其中 解 将F s 分解得 确定部分分式的待定系数 令两边的实部与虚部分别相等 得下列方程组 对F s 进行适当变形得 解方程组得 查表得F s 的原函数为 3 A s 0含有重根 当A s 0含有重根时 设 P0为r阶重根 Pr 1 Pr 2 Pn为单根 则F s 可展开成如下形式 式中 Ar 1 Ar 2 An的计算与单极点情况下求待定系数的方法 相同 重极点项的系数Ar Ar 1 A1的计算公式如下 求出待定系数后带入F s 再求拉式反变换即可求得 例2 3 求其拉式反变换 其中 解 将F s 分解则 计算上式各项待定系数 将所求的各项细数回代得 查拉氏变换表 得其原函数为 2 1 5传递函数 1 传递函数的性质 线性系统的传递函数实在初始条件为零时系统输出量的拉式变 换与输入量的拉式变换之比 传递函数的一般形式为 传递函数具有如下性质 1 传递函数只表示了系统输出量和输入量之间的关系 而不是 系统的物理结构 不同物理性质的系统可以有相同的传递函数 2 传递函数只与系统结构参数有关 而与输入信号无关 3 传递函数分子多项式的阶次总是低于或等于分母多项式的阶 式 这是由于系统总是具有惯性及受到能源限制而决定的 4 传递函数的拉氏反变换 就是系统的脉冲响应 2 典型环节的传递函数 1 比例环节 2 惯性环节 3 积分环节 4 微分环节 5 振荡环节 6 延迟环节 2 2 线性离散系统的数学描述线性离散系统的数学描述 2 2 1 信号变换 系统中既存在连续信号又存在离散信号是计算机控制系统的固有特征 图2 1 为计算机控制系统信号变换示意图 图中 b 为离散的模拟量 c 为离散的数字 量 a d e 均为连续的模拟量 为了对计算机控制系统进行分析和设计 常要进行信号的变换 下面分别讨论模拟量到数字量的转换和数字量到模拟量 的转换 图图2 1计算机控制系统信号变换示意图计算机控制系统信号变换示意图 1 模拟量到数字量的转换 从连续对象测得的模拟量 需转换成数字量后才能送计算机进行处理 模拟量 到数字量的转换要经过采样和模 数转换两个步骤 采样的作用是将连续变化的 模拟量转换成离散的模拟量 而模 数转换的作用则是将离散的模拟量转换成 离散的数字量 由采样定理 也称香农shannon定理 可知 当且仅当采样频率大于连续 信号最高频率分量的二倍时 才能由采样离散序列信号完全地恢复出被采样的 连续信号 实际常选用4 10倍 设wmax为连续信号最高频率分量 ws采样频率 则根据采样定理应有 ws 2wmax 或 ws 2 wmax 图图2 2采样过程采样过程 连续函数通过采样开关S 采样开关每隔T秒闭合一次 从而在其输出端得到 f t 的采样序列f t f t 的数学表达式为 图2 2为在满足采样定理的条件下 连续信号f t 经采样后转换成离散 的模拟量的例子 由于K 0时 f t 0 式 2 6 也可表示 成 图2 2和式 2 6 2 7 中T为采样周期 经采样后的f t 是离散的模拟信号 再对其进行量化 即A D转换 使其变 成计算机能接受的离散的数字量 2 信号的恢复 将经计算机处理后输出的数字量转换成连续变化的模拟量的过程称为信号 恢复 在计算机控制系统中 信号的恢复常由数 模转换器和保持器 或保持 电路 来实现 数 模转换器 D A 将离散的数字量转换成离散的模拟量 保 持器将离散的模拟量转换成边缘的模拟量 1 零阶保持器恢复信号 零阶保持器是计算机控制系统中常用的一种保持器 它恢复信号的方法是将 某一采样时刻的信号原封不动地保持 外推 到下一采样时刻 零阶保持恢复信 号示意图如图2 3所示 图中 a 为原函数 b 为经采样后的离散函数 c 中虚线为原函数 实线为采样后的离散函数 b 经零阶保持器恢复的信号 从图中可见 经零阶保持器恢复的信号是阶梯信号 当采样周期T很少时 零阶 保持器的输出可近似地用图2 3 c 中的实线表示 比较图2 3 c 的实线 和虚线可见 经采样和零阶保持保持器恢复以后的信号与原函数f t 是有差别的 而且相位还滞后 频率越高 滞后越厉害 零阶保持器较好地恢复阶跃 信号 图图2 2 3 3 零阶保持器恢复信号示意图零阶保持器恢复信号示意图 零阶保持器的传递函数为 由于零阶保持器本身比较简单 容易实现 所以在计算机控制系统中用得较多 步进电机就是一个实际的零阶保持器的例子 它接受一个断续信号后 转动一步 至下一个信号到来之前 其转角一直保持不变 此外 寄存器和数 模转换器也起 零阶保持器的作用 它们将信号保持不变 直到下一个采样周期 2 一阶保持器恢复信号 一阶保持器恢复信号是以前两个采样时刻的值为基础进行外推 直至 下一个采样时刻一阶保持器恢复信号示意图如图2 4所示 图中 a 为原 函数 b 为采样后的离散函数 c 中虚线为原函数 实线为采样后 的离散函数经一阶保持器恢复后的信号 从图中可见 一阶保持器恢复信 号也有畸变 且相位的滞后比零阶保持器大 一阶保持器能较好地恢复斜 坡信号 图图2 2 4 4 一阶保持器恢复信号示意图一阶保持器恢复信号示意图 一阶保持器的传递函数为 在计算机控制系统中 被控对象一般具有低通特性 通过零阶保持器后 高频 分量已大大降低 对系统输出的影响已很小 所以 在控制系统中应用 零阶保持器也就足够了 2 2 2 z 变换 1 z变换 设有一连续函数f t 经采样后其离散函数为f t f t 的拉氏变换为F s 令 则 F z 称为f t 的z变换 对连续函数f t 其采样脉冲序列f t F s 表示原函数f t 的拉氏变换 F z 表示对原函数的采样脉冲序列f t 的z变换 由于在采样时刻 f t 的值就 是f KT 所以连续函数采样脉冲序列的z变换 也可写为即 2 几个常用的z变换 3 z变换的基本定理 设 1 线性定理 线性定理说明 函数线性组合的z变换等于各函数z变换的线性组合 2 滞后与超前定理 平移定理 z K和zK分别表示滞后和超前K拍 3 复平移定理 4 z反变换 z 反变换就是根据F z 求出原函数f KT 或f t 求z反变换的方法较多 这里主要复习两种常用的方法 长除法和部分分式法 1 长除法 长除法的基本思想是将F z 展开成z 1的幂级数 然后求得f t 这一方法很 简单 但不易得到闭式结果 长除法常用在只需数值序列的最初几个值的情况下 因为它难以得到闭式结果 2 部分分式法 部分分式法可以求出数值序列的表达式 具体求法和拉氏变换的部分分式法类似 2 2 3 差分方程和脉冲传递函数 1 差分方程的一般概念 在连续时间系统中 表示输出和输入 信号之间关系的数学模型用微分方程和传递 函数来描述 在离散时间系统中 则用差分 方程和脉冲传递函数来描述 设有一线性定常离散时间系统如图2 5所示 图中输入信号为一离散序列 用u uk u 0 u 1 u 2 来表示不同时刻的数值 输出y也是一序列 用y y k y 0 y 1 y 2 来表示 一般来说 系统在某一时刻 k n 的输 出值y k n 不仅与该时刻的输入u k n 有关 而且可能与过去时刻的输入u k n 1 u k n 2 有关 还可能与过去时刻的输出y k n 1 y k n 2 有关 这种关系可以表示为 这就是n阶线性差分方程 常用来描述线性离散系统在某一特定时刻 如n k时刻 的输出与该时刻的输入及该时刻以前的输入和输出之间的关系 2 脉冲传递函数 1 脉冲传递函数的定义 我们首先回顾连续系统的定义 在线性连续系统中 当初始条件为零时 系 统输出信号的拉氏变换和输入信号的拉氏变换之比 定义为系统的传递函数 脉 冲传递函数 指离散系统中的传递函数 其定义为 在线性离散系统中 当初始 条件为零时 系统输出信号的z变换与输入信号的z变换之比 图2 5所示的线性定常离散系统中 设输入信号的z变换为U z 输出信号 的z变换为Y z 则其脉冲传递函数为 定义 2 脉冲传递函数的求解 由差分方程求脉冲传递函数 例2 7 设数字计算机实现的差分方程为yk yk 1 Tek 1 求脉冲传递函数H z 解 对上式两边取z变换 Y z z 1Y z Tz 1E z 整理得Y z 1 z 1 TE z z 1 写成输出与输入之比的形式 即 由G s 求脉冲传递函数 2 2 4 离散系统的稳定性 条件 和瞬态响应 1 稳定条件 在线性连续系统中 系统稳定的 充要条件是闭环系统特征方程的所有 根都分布工在s平面的左半平面 在s 平面上 左半平面是稳定区域 右半 平面是不稳定区域 虚轴为稳定区域 和不稳定区域的分界线 线性连续系 统的稳定域如图2 6所示 图图2 2 6 6 连续系统的稳定域连续系统的稳定域 线性离散系统中 经z变换 系统 的特征多项式已变成z平面上的一个 点 此时 闭环系统的稳定性与闭环 系统特征方程的根在z平面上的分布有 什么关系呢 下面我们先分析z平面与 s平面的关系 z变换中令 其中s是复变量 所以z也是复变量 z的幅值和幅角分别为 对于s平面内虚轴上的一点s 0 jw 相应的z e 0 jw 模 Z e0T 1 幅角 z wT 当w从0 ws 4 ws 2 T 称为采样频率 ws 2 3ws 4 ws变化时 幅角 z相应地从0 2 3 2 2 变化时 而模始终为1 所以s 平面的虚轴从w 0到ws的一段映射到z平面上是一个单位圆 同样地 s平面从ws 到2ws的一段虚轴 映射到z平面上 则是重复的按逆时针方向旋转的单位圆 而 从w 0到 ws的一段虚轴 映射到z平面上则是按顺时针方向旋转的一个单位圆 等等 总之s平面上的虚轴映射到z平面上就是单位圆 对于s平面左半平面上的 点 由于 0 所以 z e T1 均映射到z平面的单位圆外 可 见 z平面上单位圆内为稳定区域 s平面上稳定域与z平面上稳定域的映射关系如 图2 7所示 图图2 2 7 s7 s平面与平面与z z平面的映射关系平面的映射关系 由上面分析可知 线性定常离散系统稳定的充要条件是 闭环系统特征方程的 所有根 闭环系统脉冲传递函数的所有极点 都分布在z平面的单位圆内 单位圆 是稳定边界 2 瞬态响应 下面我们定性地分析传递函数的极点在z平面上的分布与系统暂态响应之 间的关系 分两种情况讨论 1 实轴上的单极点 若脉冲传递函数H z 在实轴上有一单极点a 在脉冲信号作用下 便有一 脉冲响应序列y n 存在 当极点a在实轴上所处位置不同时 脉冲响应也不相 同 当a 1 y n 是发散序列 a 1 y n 是等幅脉冲序列 0 a 1 y n 是单调衰减正序列 1 a 0 y n 是交替变号的衰减序列 a 1 y n 是交替变号的等幅脉冲序列 a 1 y n 是交替变号的发散序列 极点a处于实轴上不同位置时与脉冲响应的关系如图2 8所示 显然 当a 在单位圆内时 y n 是收敛的 且 a 越小 y n 衰减越快 图图2 2 8 8 实轴上极点与脉冲响应的关系