嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏.pdf

1 4中等数学 嵌入不等式 数学竞赛命题的一个宝藏 朱华伟 广州大学教育软件研究所 5 1 0 0 0 6 中圉分类号 0 t 2 2 3文献标识码 A文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 1 0 0 1 4 一0 3 1 关于嵌入不等式 定理1 对 A B C 和任意的实数z Y z 均有 z 2 Y 2 z 2 一 2 y z c o sA 2 z x c o sB 2 x y c o sC 其中 当且仅当搿 y z s i nA s i nB s i nC 时 式 等号成立 不等式 称为嵌入不等式 显然 嵌入不 等式中的条件么A 么B 么C c 可推广 到么A 么曰 么C 2 尼 1 瓦 嵌入不等式还有一个形象的几何解释 如果0 么A 么B 么C 0 求证 型 丝 旦 石i 而手 石i C 2 2 1 口2 l 6 2 l 题6 设 A B C 为锐角三角形 求证 c c o s 日A 2 弋c c j o sB c 2 c c o 8A C 2 8 c o sA C O SB C O SC 4 M O S P 2 0 0 0 证明将所证不等式写成关于C O S 2 A C 0 8 2 B C O S 2C 的形式 由恒等式 得 4 8 c o sA C O SB C O SC 4 C 0 8 2 A C O S 2 B C O S 2 C 故只要证明 篙c o s 曰A 1 2 旧c o sB c 1 2 筹 2 1 5 4 C O 2 A C O S 2 B C O S 2 C 设戈 丽c o sB C O y S 乙 C O SCC O SA 三 万 2 丽 由嵌入不等式得 器 2 旧C O S B c 1 2 c o c o s A C 2 石2 2 z 2 一2 y z c o sA 就c 0 8B x y c o sC 2 掣 百c o s A c o sB 百eos B c o s C 再设石 c o sB C O SC C O SA c o sC C O SAc o sA C O SB C O SBP 一 C O SC 由嵌入不等式得 2 C O SC C 0 8AC O SA C O S 磊万一 丽 BC 0 B C 0 C C O S 五 2 戈z 2 z 2 I 4 y z c o sA Z O g C O SB x y c o sC 4 c o s 2 A C O S 2 B C O S 2 C 题7设 O 反 0 I i 昆 n 1 且 哦 卢 兀 则 i 1 C O S 母 s i n o t i c o ta i i 1 第2 9 届I M O 预选题 证明当n 2 时 C O S 卢1 一 s i na 1 C O S 口2 s i no t 2 C O S8 1 S i n O t I C O S 卢l s l na l 0 c o ta 1 c o ta 2 当n 3 时 即要证 已知两个三角形的 内角分别为O t 够 7 和a 3 l y 1 则 C O S 理1 C O S 卢I C O Sy I r 一 4 一 4 一 S i l ln s i np s i ny 一 c o ta c o t 卢 c o ty 由c o ta 鼍 I s 面积 知 上式等价于 表示三角形的 4 S c o sa 1 4 S c o s 3 1 4 S c o s7 l s i na s i n 卢 s i n7 口2 6 2 C 2 又由s 寺口6 s i n 知上式等价于 万方数据 1 6中等数学 2 b c c o sa 2 c a c o s 卢1 2 a b c o sy l 口2 b 2 c 2 此即为不等式 甄 假设所证不等式对于n 一1 3 成立 则对于n 有 咝 台s i na f rC O S 卢 i 而 C O S8 s i no q C O S 卢2 s i na 2 f C O S 卢i 台s i n0 f i C O S 反 8 l n 仅 而C O S 卢2 骞鬟S l l l s I na 五j 0 盖s i n 等导 0 f l d 2 J C O S 履 S l n0 h 皮 1 再万J c o s 兀一 崩 s i n 7 c 一 d l 1 3 2 O t 2 耋慧 黜 c o t i t l c o ta 2 c o t 丁c 一仅l a 2 c o to L i c o t a a i 3 一V 一上一 i l 冈此 题8 c o ta i 对一切凡 2 所征不等式成立 设口 b C 是给定的正实数 求所有 的正实数石 Y z 满足方程组 暖二瑟 去 牡如 第3 6 届I M O 预选题 解首先证明如下引理 引理方程 戈2 2 于 x y z 4 有正实数解戈 Y z 当且仅当存在一个锐角 A B C 使得石 2 c o sA Y 2 c o sB z 2 C O Sc 引理的证明首先 由恒等式 知 所有 的i 元数组 2 c o sA 2 c o sB 2 c o sC 均是方 程 的解 反之 易看出0 z Y z 4 C O S 2 A C O S 2 B C O S 2 C 在不等式 中 取 Z 2 c o s A C O SB C O SC 2 c o sB C O SC 2 0 0 sA C O SC i 丁 5 i 矿 口一a 一 卜眦 llI 万方数据 2 0 1 0 年第1 期 两种拆分方法在解不等式问题中的应用 李涛 天津师范大学数学科学学院0 7 级研究生 3 0 0 3 8 7 中国分类号 0 1 2 2 3 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 1 0 0 1 7 0 3 1 差项比较法 定理1 对于数列 戈 Y 有 茗 茹l x 2 一z 1 z 3 X 2 一戈n 1 h l 托 y 1 y 3 h h h 1 若石l 1 且省女 X I l 一儿一1 后 2 则石 y 例1 求证 2 堡n l 虿1 了1 去 儿 又菇I 一龙 一l 1 111 扎一 尹 两 I t 矿j 于是 只须证 士 方i 去 式 右边 击 两1 1 一一1 2 k 2 k 1 趔 1 尹 F 扣一 一一地 引 2 I 琢 设磊 詈 则z 2 1 Y 2 缸一缸一l 寺 于是 只须证明 嘉 南 去 i 尹 而 歹玎 拶 一厘竺竺 墨 竺竺 里 一 C O SC 即得证 把此题稍加改造 即为 题1 0 设正数配 秽 似满足 秽 埘 历i 4 求证 詈 詈 詈 H 栅 舭 2 0 0 7 中国国家集训队测试题 顺便指出 在大学自主招生试题中也有 嵌入不等式的影子 如 题1 l已知a 卢 y 1 8 0 O t 卢 y O 求3 c o s 仅 4 c o s p 5 c o s7 的最大值 解在不等式 中 令 2 y z 3 2 z x 4 2 x y 2 5 馏舻篙舻僻 且a 么A 届 么B 7 么c 则 3 c o sa 4 c 那 5 c s y 篙 当且仅当s i n