模糊与概率二.ppt

模糊与概率 二 问题的提出 如何表征模糊集合的模糊程度模糊熵 如何表征模糊集合间的包含关系模糊包含度 如何用模糊集合间的包含关系表征某个模糊集合的模糊程度模糊熵 包含度定理 a的模糊熵e a 在单位超立方体in中从0到1 其中顶点的熵为0 表明不模糊 中点的熵为1 是最大熵 从顶点到中点 熵逐渐增大 引出熵的比例形式 模糊集合的模糊程度 模糊熵 模糊熵定理 模糊熵定理的几何图示 由对称性 完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点 最远顶点的距离都相等 该定理正式宣告了 西方逻辑 的终止 模糊集合的模糊程度 模糊熵 续 模糊集合间的包含关系 包含度定理 主导隶属度函数关系 dominatedmembershipfunctionrelationship 如果a 30 7 和b 4 7 9 那么a就是b的一个模糊子集 但b不是a的模糊子集 显然 这种模糊包含度是非模糊的 它是非黑即白的 是二值定义下的子集性 zadeh s1965 1 模糊子集的几何表示b的所有模糊子集构成集合 模糊幂集f 2b 它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形 其边宽等于各隶属度值mb xi 可以 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 图7 7 用lebesgue测度或体积v b 来度量f 2b 的大小 其中 体积v b 为隶属度值的乘积 2 包含度定理 在图7 7中 点a可以是长方形内的点 也可以不是 在长方形f 2b 外不同的点a是b的不同程度的子集 而上述二值定义下的子集性忽略了这一点 考虑到集合a属于f 2b 的不同程度 通过抽象隶属度函数来定义包含度 s 在 0 1 之间取值 其代表了多值的子集测度 包含度 是模糊理论中的基本的 标准的结构 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 度量s 的两种方法 1 代数方法 即失配法 fit violationstrategy 假定x包含有100个元素 x x1 x100 而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系 使得ma x1 mb x1 直观上 我们认为a很大程度上是b的子集 可以估算 子集性为s a b 0 99 并且 如果x包括1兆个元素 a几乎完全是b的子集了 可见失配的幅度ma x1 mb x1 越大 失配的数目相对于模糊集a的大小越多 那么a就越不能算是b的子集 或者说 a就越象是b的超集 直观上有 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 失配数的计算 max 0 ma x mb x 归一化之后得到超集的最小度量 包含度为 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 这种包含度满足主导隶属度函数关系 当时 s a b 1 如果s a b 1 则分子被加数应都为0 因此主导隶属度函数关系都满足 反之 当且仅当b是空集时 s a b 0 而空集本来就无法包含集合 无论是模糊集还是非模糊集 在这两种极端情况之间 包含度的大小为 0 s a b 1考虑匹配矢量a 20 4 5 和b 7 6 3 7 a几乎是b的子集 但不完全是 因为所以 类似可得 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 2 几何方法 在图7 7中 集合a或是位于f 2b 内 或是在外头 直觉上 当a接近f 2b 时 s a b 应接近于1 当a远离f 2b 时 s a b 应该减小 那么a与f 2b 之间的距离如何计算 图7 7 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 寻找b a位于f 2b 外 通过f 2b 边线的直线延伸 将超立方体in分割成2n个超长方形 他们分为混合的或是纯的主值隶属度 非子集a1 a2 a3 分别位于不同的象限 通过f 2b 与a1 a3的范数距离 分别找到与西北和东南象的点a1 a3距离最近的点b1 和b3 而离东北象限中的点a2距离最近的点b 就是b自身 由此可证得一般性勾股定理 且这种 正交 优化情况表明d a b 就是lp直角三角形的斜边 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 以b为中心的l1范数区域呈钻石形 a1和a2到f 2b 等距 但a1比a2离b更近 而同时 m a1 m a2 可见 包含度依赖于基数m a 考虑归一化 进一步猜测 定义超集度为 d a f 2b d a b 为了保证其值在 0 1 之间变化 要进行归一化处理 该常数等于最大的单位立方体距离 l1情况下值为n s a b 1 d a b n这种度量存在的问题 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 假定p 1 令正交性表明 设其充要条件是没有失配现象发生 恒有 设其充要条件是有失配现象发生 这时 综上 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 这种证明方法同样给出了优化子集b 的一个更重要的性质 因为如果有一个失配关系 那么 所以 其余的 所以故 b 是具有双重优化特性的点 它既是离a最近的b的子集 也是离b最近的a的子集a 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 包含度定理 推导相对频率 模糊集合间的包含关系 包含度定理 续 包含度是模糊中最基本的有代表性的一个数值熵 包含度定理 证明 将包含度定理中的a b分别用和代替 并注意到交集是并集的子集 即