数学单元测试卷选修4-5.pdf

不等式 解析 解析 当 时 当 时 当 时 解析 解析 成立 解析 恒成立 当 且 时结果等于零 成立 时 不成立 作差 变形 判断差的符号 解析 解析 或 或 或 均非负且至少一个大于零 解 解 而 解 当且仅当 时 号成立 解 显然 又 综上可得 解 由题意可得方程组 解得 不等式 解析 槡 槡 槡 解析 槡 槡 解析 当且仅当 即 时取 号 解析 解析 特值法 取 一正 二定 三相等 最大 解析 槡 解 或 舍去 的最小值为 解 当 时 槡 当且仅当 时取等号 当 时 槡 当且仅当 时取等号 函数 的值域为 解 设池长为 则池宽为 水池总造价 元 当且仅当 时等号成立 答 当池长和池宽都为 水池最低总造价为 元 解 槡 解 当且仅当 即 槡 时 绝对值不等式 或 解析 或 由于 如图所 示 所以 解 或 或 解 原不等式等价于 或 或 综上可得原不等式的解集为 解 原不等式 或 或 原不等式的解集为 或 解 根据绝对值不等式性质可得 证明 又 原不等式成立 第一讲 不等式和绝对值不等式 槡 槡 解析 槡 槡 槡 槡 或 解 原不等式等价于 或 或 综上可得原不等式的解集为空集 解 槡 证明 解 设圆柱体的底面半径为 高为 作出圆锥 圆柱的轴截面图 由相似三角形的性 质可得 圆柱 由三元均值不等式可得 圆柱 当且仅当 即 时 圆柱最大 比较法 或 解 解 证明 证明 解 综合法与分析法 从数学题的待证结论 数学题的已知条件 执果索因 由因导果 证明 要证 只需证 只需证 只需证 只需证 由已知条件可知 显然成立 故原不等式成立 证明 同理可证 证明 不全相等 不能取 号 证明 证法一 为不等正数 且 槡 槡 槡 槡 槡 槡 证法二 为不等正数 且 槡 槡 槡 槡 槡 槡 证明 要证 槡 槡 只要证 槡 槡 即 槡 槡 槡 只要证 槡 槡 槡 只要证 槡 槡 只要证 只要证 槡 即 成立 原不等式成立 反证法与放缩法 反设 归谬 结论 放大 缩小 至多有 个 证明 证明 假设 都是非负数 又 这与已知 相矛盾 假设不成立 即 中至少有一个是负数 证明 假设 均为小于 的正数 槡 槡 槡 从而 槡 槡 槡 可是 槡 槡 槡 与上式 矛盾 故假设不成立 原命题正确 证明 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 证明 设 中没有一个大于或等于 这是不可能的 表明原结论成立 第二讲 证明不等式的基本方法 槡 槡 槡 槡 一个也没有 槡 证明 证明 要证 槡 槡 槡 只要证 槡 槡 槡 只要证 槡 槡 只要证 成立 原不等式成立 证明 假设 则 从而 即 这与条件 矛盾 成立 证明 且 二维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 槡 槡 槡 证明 证明 根据柯西不等式 证明 槡 槡 槡 解 构造两组实数槡 槡 槡 槡 且 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解 原式可化为 即 排序不等式 反序和 乱序和 顺序和 证明 不妨设 则 为 的一个排列 由反序和 乱序和 得 即 证明 设 由排序不等式得 证明 由所证不等式的对称性 不妨设 为 的一个排列 由乱序和 反序和 得 即 证明 设 为 的一个排列 且 设 为 的一个排列 且 于是 由乱序和反序和得 即 证明 由 可得 即 移项整理即得 第三讲 柯西不等式与排序不等式 槡 证明 不妨设 于是 应用排序不等式可得 以上两个同向不等式相加再除以 即证 证明 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 解 由柯西不等式可得 即 当且仅当 即 时 成立 解 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 的取值范围为 槡 数学归纳法 取第一个值 且 解 不对 因为在证明当 时没有用到归纳假设 更正如下 当 时 证明 提示 用数学归纳法 当 时 能被 整除 证明 分别用 代入 解方程组 提示 数学归纳法 当 时 左边 证明 设 猜测 当 时 当 时猜测正确 当 时 当 时猜测正确 假设当 时 猜测正确 即 当 时 将 代入上式 得到 整理得 因为 所以 即 时猜测正确 综上所述 对所有的正整数 都有 从而 是等差数列 解 由 显然直线 的方程为 由 点 猜想点 在直线 上 提示 用数学归纳法 当 时 用数学归纳法证明不等式 当 时 左边 右边 命题正确 解 提示 当 时 证明 当 时 左边 证明 设 为等比数列 且 设 为等差数列 则 猜想 且 下面用数学归纳法证明 当 时 由 设 时成立 即 则当 时 证明 当 时 槡 时不等式成立 假设当 时不等式成立 即 当 时 槡 槡 槡 槡 槡 即 时不等式也成立 综上所述 对所有的 不等式 恒成立 解 计算得 当 时 猜想 时 用数学归纳法证明 即证 当 时 当 时用比较法证 第四讲 用数学归纳法证明不等式 证明 当 时 左边 项 右边 命题正确 解 槡 槡 槡槡 猜想 槡 槡 用数学归纳法证明 略 证明 先用数学归纳法证明 假设 与条件矛盾 解 由已知不等式可得 当 时 有 用数学归纳法可证 提示 综合测测评卷 一 或 槡 槡 解 原不等式等价于 证明 假设 都大于 槡 槡 槡 槡 槡 槡 又 槡 槡 槡 矛盾 原命题成立 解 猜想 用数学归纳法证明 略 解 当 时 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 当槡 槡 时 即 时 取最小值 槡 槡 槡 槡 或槡 槡 槡 槡 或 槡 槡 舍 记 槡 槡 槡 当 时 在 上单调递增 解得 或 舍 当 时 在 上单调递减 解得 当 时 槡 解得 综上有 综合测测评卷 二 解 原不等式等价于 或 或 或 或 原不等式的解集是 证明 分析法 要证槡 槡 槡 只要证 槡 槡 槡 即证 槡 即证 槡