情理之中+意料之外——2013年高考数学福建卷(理)答卷评析.pdf

5 6 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期 情理之中意料之外 2 0 13 年高考数学福建卷 理 答卷评析 倪莹莹陈清华 福建师范大学数学与计算机科学学院 3 5 0 0 0 7 试卷入手比较容易 角度宽 个别试题有难 度 这是大部分一线教师在高考结束后对数学试 卷做出的第一时间的评价 然而 揭榜的数学成 绩却如同一枚投入水中的石子 即刻打破这片平 静 引起一片哗然 根据阅卷组的统计 全省理科 数学平均分不足8 0 分 文科数学平均分不足 6 6 分 一方面 试卷稳中有变 人手容易 被认为是 一份值得研读的好卷子 另一方面 试卷考查的结 果又向我们呈现了一个 冰冷的现实 这让笔者 不由得产生这样的思考 为什么试题的预设难度 与实际难度之间会产生如此大的落差 这究竟是 命题的迷失 还是教学的失误 以下 笔者将在简 要分析试卷特点的基础上 对学生的答卷情况进 行分析 力求找出症结所在 以期为新一轮高三的 有效复习提供建议 1 试卷特点分析 1 1 规避模式 稳中求新 试卷的命制立足于 课标 及 考纲 内容涵 盖高中的主体知识 在合理传承我省以往命题中 逐渐形成的命题风格的同时 着力规避试题的模 式化 试题立意新颖 不落俗套 既有整体布局 新 设计背景新 设问方式新 交汇内容新 又绝无 偏题 怪题 1 2 源于教材 高于教材 问渠那得清如许 为有源头活水来 于考 试命题而言 教材是考试内容的载体 是试卷命题 素材的主要来源 今年的试卷就出现了不少源于 教材 构思巧妙的试题 如题6 题9 题1 8 等 此 类试题大多起点低 人口宽 有梯度 基于教材又 高于教材 1 3 突出本质 关注过程 过程与方法 作为 课标 倡导的三维目标之 一 也是命题的理念之一 试卷在注重考查考生网 络化知识体系的同时 特别关注学生分析问题 解 决问题的过程 关注对数学本质的考查 并在一定 程度上有效地规避了模式化的解题和公式的直接 套用 如题7 题8 题9 题1 0 题1 5 等 1 4 居高临下 甄别素养 会当凌绝顶 一览众山小 浓厚的高数味道 也是本卷的一大亮点 结合高等数学思想在初等 数学问题中的应用具有高起点 低落点 高要求等 特点 命题者巧妙地构造了选择 填空两道压轴 题 其中 题1 0 以近世代数中的 保序同构 概念 为背景 题1 5 以泰勒展开式及幂级数为知识背 景 试题清新自然 形式新颖 立意深刻 脱离题 海 既能开阔视野 又能有效地甄别考生的数学 素养 总的来说 试卷基本保持了我省近四年课标 高考的命题风格 更加注重体现 课标 所倡导的 注重发展人的数学思维 的理念 2 学生答卷评析 例1 理1 7 已知函数 厂 z z 一口l n z 口 R I 当a 2 时 求曲线Y 厂 z 在点A 1 厂 1 处的切线方程 I I 求函数厂 z 的极值 问题 1 运算能力较弱 比如由 Y 一1 一 一 z 一1 直接得出 y z 求导出错等 2 概念理解不清 第一问 求 z 在点A 1 厂 1 处的切线方程 已经很明确A 是切点 但部分考 生仍对其进行讨论 第二问 对极值概念理解不 清 3 忽视题目隐含条件 函数厂 z 的定义域 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期数学通报 5 7 应为z 0 4 题意理解不清 答非所问 如仅对 厂 z 的单调性进行讨论 而未点明厂 z 有无极 值 5 分类讨论不清 阅卷中发现 有不少考生 因忽视题目隐含信息而导致结果出错 评析本题选题背景普通 难度适中 题目短 小精悍 题型设置大众化 考生平时若能扎实复 习 应该能得到较好的分值 而部分考生之所以 丢分频繁 在于其对基本概念 公式掌握不清 基 本运算能力薄弱 审题能力较弱 以及分类讨论思 想掌握不清 启示 1 重视夯实基础知识 加强基本运算 能力 踏实练好 基本功 2 重视培养学生准确 阅读理解题给文字材料的能力 切实过好 审题 关 3 重视数学思想方法的学习 特别在分类讨 论思想的培养中 应注重让学生理清知识的来龙 去脉 只有理解了为何要进行分类讨论 才能有序 地进行分类讨论 做到不重不漏 4 重视解题规 范化训练 做到答题严密 规范 例2 理1 8 如图 在正方形O A B C 中 O 为 坐标原点 点A 的坐标为 1 0 0 点C 的坐标为 o 1 0 分别将线段O A 和A B 十等分 分点分别 记为A A z A 和B B z B 连接O B 过A 作z 轴的垂线与O B i 交于点P i N 1 i 9 I 求证 点P i i N 1 i 9 都在同一 条抛物线上 并求该抛物线E 的方程 U 过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的 两点M N 若 O C M 与 O C N 的面积之比为 4 l 求直线z 的方程 问题 1 书写不规范 乱用字母 如将直线 O B 的方程表示成y 和点P i A i 等 2 常量 变量使用混乱 如 直线O B i 的方程y 盍z 令z i 得y 2 而Z 故抛物线E 的方程为了一 熹 3 用特殊点求出抛物线E 的方程 但未加 上U 以检验 4 运算能力较弱 如联立方程出错 数 据显示本题全省的平均分仅为3 3 8 分 满分1 3 分 阅卷中发现 考生的主要问题集中在第一 问 由于变量较多 造成混乱 陷入困境 而导致零 分的现象层出不穷 评析本题是人教A 版数学选修2 1 中习 题2 2 B 组第4 题的改编 编者将原题中的椭圆 改为抛物线 将四等分点改为十等分点 注重基 础 设问直接 背景新颖 既有效地避免原题中出 现的繁杂计算 又将坐标法的考查落到实处 但 令人遗憾的是 此题却实实在在地成为了考生眼 中的 难题 究其原因主要在于 教师对于坐标 法的数学本质揭示不足 盲目进行模式化 解几 复习策略 考生只是单纯机械地记忆解题模式 却 未能吃透解几本质 于是 只须题型一变 考生便 错态百出 因而 在以坐标为核心的解析几何 的教学中 教师应注重以数形结合思想为导向 培 养学生用 几何 眼光分析问题 以 坐标系 为工 具研究平面几何问题的能力 启示 1 去模式化 解几 复习策略 突出 坐标法的核心地位 强调数形结合思想的培养 特别地 注重引导学生学会在坐标系下确定几何 要素 正确使用坐标和方程表示问题中涉及的几 何要素 2 少让学生做 解几 怪题 偏题 勿让学 生迷失在繁杂计算中 而应强调经历用坐标法解 决问题的完整过程 让学生集中精力于坐标法的 学习 方能实现知识迁移 3 关注学生的学习心 理 多给学生一些示范 一些时间 尽量使用板书 不能只教 这题怎么想 还要教会这题 怎么解 怎么算 怎么写 例3 理1 9 如图 在四棱柱A B 必 A B C D 中 侧棱A A 上底面A B C D A B D C A A l 1 A B 一3 k A D 一4 k B C 一5 k D C 6 k 忌 0 万方数据 5 8 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期 I 求证 C D L 平面A D D l A 若直线A A 与平面A B C 所成角的正 C 弦值为昔 求是的值 1 l I 现将与四棱柱A B C D A B C D 形状 和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱 柱 规定 若拼成的新四棱柱形状和大小完全相 同 则视为同一种拼接方案 问 共有几种不同的 拼接方案 在这些拼接成的新四棱柱中 记其中 最小的表面积为 志 写出厂 是 的解析式 直 接写出答案 不必说明理由 问题 1 平几知识掌握不佳 如对 C D 上 A D 不加证明或 乱证 2 推理不严谨 逻辑性 欠缺 3 建系不规范 如违背 右手系 准则 对坐 标系不加以描述 没有图标等 4 向量法求解空 间线面成角问题掌握不清 如 法向量计算出错 将线面角等同于法向量角 5 化归转化思想 欠缺 数据显示本题全省的平均分仅为5 8 4 分 满分1 3 分 阅卷中发现 证明过程中条件描述 不完整 逻辑关系不严谨的现象比比皆是 不少考 生甚至陷入循环论证的怪圈 评析本题既重视运用向量法突破空间线面 成角问题 又兼顾几何法对空间位置关系的考查 其中 第三问考查的是空间几何体的拼接问题 突 破 模式 对考生的能力提出了不低的要求 但 由于在平时的立几复习中 考生过分关注向量计 算 机械记忆各类向量计算公式 活生生地将立体 几何问题演变成纯粹向量计算的过程 而对向量 法的过程不加以理解 对几何证明过程不加以重 视 因而频频出现 推理不严谨 将线面角等同 于法向量角 等错误 而第三问中 考生之所以分 类不严谨 在于其未能将 表面积的最小 转化为 拼接面积的最大 并进一步转化为代数问题 这其中暴露的还是化归转化思想的欠缺 抽象思 维能力的薄弱 启示 1 加强平面几何知识的掌握 夯实基 础 2 定理教学中 应关注定理本质的挖掘 关注 其内在的逻辑性 3 加强规范化训练 注意语言 的严谨性 科学性 4 切勿只关注向量计算 应采 取 综合法 与 向量法 相扶持 交叉活用 培养空 间想象力 例4 理2 0 已知函数厂 z 一s i n J z p o J O o 9 兀 的周期为7 图象的一个对称中 心为 下7 1 0 将函数厂 z 图象上所有点的横坐 t 标伸长到原来的2 倍 纵坐标不变 再将所得到 的图象向右平移詈个单位长度后得到函数g z 厶 的图象 I 求函数厂 z 与g z 的解析式 是否存在2 詈 詈 使得f z vI g x f x g z 按照某种顺序成等差数列 若存在 请确定z 的个数 若不存在 说明理由 1 I 求实数n 与正整数咒 使得F z 一 z 口g z 在 o n n 内恰有2 0 1 3 个零点 问题 1 三角函数图象性质掌握不清 如对 图象的伸缩变换 对称中心的理解有误 2 欠缺 深刻挖掘题目隐含条件的能力 如第二问中未先 判断f x g x f x g z 的大小关系 导致 计算繁琐 3 数形结合思想 化归与转化思想欠 缺 4 计算能力较差 如三次方程处理不清 求导 出错等 数据显示本题全省的平均分仅为2 6 7 分 满分1 4 分 有9 4 5 9 的考生得分不超过4 分 大多考生仅停留在第一问 对后续两问束手 无策 评析自0 9 年以来 福建省的课标高考卷对 于三角函数知识的考查 大多停留在基础知识层 面 而今年的试卷却巧妙地以三角函数为载体 有效地实现了数列 导数 三角函数的交汇考查 视角新颖 彰显选拔 是一道不可多得的好题 实 际上 无论是数列还是三角函数 它们本质上都是 函数 都具有内在的联系 而大部分考生却对此缺 乏深刻认识 这折射出的是考生网络化知识结构 体系的不完善 此外 缺乏深刻挖掘题目隐含条 件的能力 及融会贯通各种数学思想方法的能力 也是考生在此类压轴题中找不到切人点的主要原 因 但更为令人惋惜的是 大部分考生往往因 畏 难 心理作祟 一到压轴题便 缴械投降 缺乏迎 难而上 勇于探索的精神 这应该是更值得引起关 注的 启示对于此类压轴题 建议教师展开分层 次的教学 对大部分学生而言 强调基础知识 基 本概念的掌握是关键 而对数学素养较高的学 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期数学通报 5 9 生 教师重在引导其领会知识的内在联系 搭建网 络化的知识体系 学会挖掘问题内涵 找准切入点 如根据题给的三角函数 考虑 周期性 就是本题 第三问的切入点 激发解决问题的潜能 针对大部分学生都有的 畏难 心理 根据斯 金纳的操作学习理论中 小步子 原则 教师在实 际教学中可依学情 将问题分解成若干个小步子 逐步推进 此举有利于 过程与方法 的呈现 更 有利于数学自信的建立 让学生切身体会到数学 美 提升学习兴趣 3 析后思考展望 通过对学生的答卷情况进行分析 深思细悟 之后 却又觉得试卷考查出现的意外结果也在情 理之中 学而不思则罔 应该可以对此作一个 最好的解释 此外 缺乏一种科学有效的试题难 度的测评机制也是一个不容忽视的因素 为此 笔者提出以下几点思考与展望 3 1 回归教材 夯实基础 构建知识网络 教材是包括高考在内的各类考试试题的主要 来源 以 课标 为基础 重视教材的基础和示范 作用 将高考命题视角准确聚焦在教材底板知识 技能 思想和能力上 这需要高考命题者的认真 研究 认真钻研教材 用好教材 构建知识网络 挖 掘典型例习题的潜在价值 这应该成为众一线教 师的共识 需要注意的是 回归教材并不等于简 单重复 而是要站在整体高度审视教材 做到层次 分明 结构清晰 让不同领域的知识交汇成为系 统 如教材中基本初等函数 三角函数 数列是以 单独的版块分别呈现在必修1 必修3 必修5 上 但实际上这三类都是函数 都有其内在的联系 教师若在复习时 能够深刻挖掘其本质联系 相信 将会有更多的考生在本卷第2 0 题上有所突破 此外 在以知识为主线进行复习时 也要适当兼顾 数学思想方法 特别要注意加强学生的基本计算 能力及规范化训练 3 2 注重过程 发展思维 实现知识迁移 授之于鱼 不如授之以渔 近年来 高考试 题普遍呈现出交汇题增多 灵活度变大 注重对数 学基本知识来龙去脉的考查等趋势 重要基本知 识不但要记住 还要会运用 更要知道是怎样得到 的 因而 在复习中教师应做到返璞归真 努力揭 示数学概念 法则 结论的发展过程和本质 让学 生在探求知识的本源中发展思维 建构真正的数 学理解 实现有效的知识迁移 3 3 紧扣学生 分层教学 激发学习潜能 就命题取向而言 命题者应该学会 紧扣 学 生 基于学生的认知发展水平及身心发展规律设 置试题 不设偏题 怪题 不人为设置陷阱 对于难 度较大的试题 可设 多级台阶 适应不同层次学 生的认知水平 实现分层次考核数学能力的目标 我国古代教育家孔子提倡 因材施教 基于 数学的学科特点 不同层次间学生数学能力的差 异 教师可针对性地展开分层次的教学 鼓励学有 余力的学生多进行一题多解 将一个问题的掌握 拓展到一类问题的掌握 培养其挖掘问题内涵 解 决问题的潜能 3 4 研究高考 体会精神 关注教改政策 作为高三教师 若要使备考复习工作更加科 学有效 那么研究高考 关注教改政策是绝不能少 的 不仅要常翻 考试说明 还要认真研读 字字 斟酌 做到心领神会 而对于历年的高考真卷 教 师更是要认真研究 反复琢磨 会编者弦外之音 悟编者未尽之言 如自2 0 1 0 年以来 福建卷的解 析几何大题全放在了解答题的前三题 编者的本 意在于降低解几难度 淡化繁杂的数值计算 减轻 学生负担 但令人遗憾的是 年年的解几还是无 一例外地成为了 难题 这其中最大的原因还是 模式化的复习策略 体现的是备考的盲目性 值得注意的是 党的十八届三中全会 决定 下称 决定 对考试招生制度改革作出了明确部 署 其中明确指出 探索全国统考减少科目 不 分文理科 外语等科目社会化考试一年多考 这 意味着统一高考在减少考试科目的同时 将重点 改革考试内容 进一步强调由知识立意向能力立 意转变 考查的内容也不再局限于课堂和课本所 学知识的简单识记与再现 而会更加强调知识在 不同情境中的应用 更加注重对考生运用所学知 识分析问题 解决问题能力素养的考查 1 3 对于数 学科而言 这昭示着教师必须更注重知识的发现 过程 突出数学的本质教学 关注数学思想 能力 的培养 教师若对此还没有深刻的认识 一定还 会吃大亏 下转第6 0 页 万方数据 6 0数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期 怎样的锐角三角形与其垂足三角形相似 凌明灿吴康 华南师范大学数学科学学院5 1 0 6 3 1 由三角形三条高的垂足形成的三角形叫垂足 三角形 垂足三角形是一个重要的衍生三角形 它 具有许多美妙的性质 如原三角形的高是垂足三 角形的内角平分线 从而原三角形的垂心就是垂 足三角形的内心等等 稍画一个图便知垂足三角 形并不像中位三角形那样始终与原三角形相似 那么 若一个锐角三角形与其垂足三角形相似 此 三角形应具有怎样的特征 定理锐角三角形与其垂足三角形相似当且 仅当此锐角三角形为等边三角形 一 么 N 忿 D C 证明如图 A D B E C F 为A A B C 的三条 高 A D E F 即为 A B C 的垂足三角形 记其三顶 角为么D 么E 么F 因为B D H F 四点共圆 C D H E 四点共圆 所以么1 一么2 么3 一么4 又么1 么A 9 0 么4 么A 9 0 所以么1 一 么4 么2 么3 于是么D 一2 么1 2 9 0 一么A 一1 8 0 一2 么A 同理么E 一1 8 0 一2 么B 么F 1 8 0 一2 么C 充分性 若A A B C 为等边三角形 此时垂足三 角形A D E F 是中位三角形 显然与 A B C 相似 必要性 不失一般