数学的起源与早期发展101109.pdf

数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展 公元前6世纪前 在这一时期 自然数及记数系统 算术 代数 几何初步形成 分数 四则运算 开方运算 解方程 一次 二次 三次 及计算表 平方 立方 指数 对数 几何图形 直线形 三角形 矩形 梯形 圆 方锥 截 头方锥 棱柱 及其度量 面积 体积 计算公式 勾股定理 相似都已出现 但 有的和现在还有区别 马克思马克思 人类最美 妙的文明之一 人类最美 妙的文明之一 美国数学史家丹齐克美国数学史家丹齐克 位值制不但是方法上 的根本变革 而且现 在我们知道 若是没 有它 算术上的任何 进步都是不可能的 位值制不但是方法上 的根本变革 而且现 在我们知道 若是没 有它 算术上的任何 进步都是不可能的 卡尔卡尔 马克思马克思 1818 1883 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯 用十 个记号来表示一切的数 每个 记号不但有绝对的值 而且有 位置的值 这种巧妙的方法出 自印度 用十 个记号来表示一切的数 每个 记号不但有绝对的值 而且有 位置的值 这种巧妙的方法出 自印度 这是一个深远而又重 要的思想 这是一个深远而又重 要的思想 它今天看来如此简 单 以致我们忽视了它的真正 伟绩 它今天看来如此简 单 以致我们忽视了它的真正 伟绩 但恰恰是它的简单性以 及对一切计算都提供了极大的 方便 才使我们的算术在一切 有用的发明中列在首位 但恰恰是它的简单性以 及对一切计算都提供了极大的 方便 才使我们的算术在一切 有用的发明中列在首位 拉普拉斯拉普拉斯 1749 1827 学习内容学习内容 一 自然数及其记数法的产生和发展 二 算术和代数的起源和早期发展 三 几何的起源和早期发展 一 自然数及其记数法的产生和发展 二 算术和代数的起源和早期发展 三 几何的起源和早期发展 河谷文明与早期数学河谷文明与早期数学 古代埃及古代埃及 古巴比伦古巴比伦 古代中国古代中国 古代印度古代印度 古代埃及的数学古代埃及的数学 莱茵德纸草书 莫斯科纸草书 公元前 莱茵德纸草书 莫斯科纸草书 公元前1850 前 前1650年年 84个问题个问题25个问题个问题 苏美尔计数泥版 文达 1982 古代巴比伦的数学古代巴比伦的数学 其年代当在公元前1600年以前 楔形文字楔形文字 在发掘出 来的 在发掘出 来的50万 块泥板中 约有 万 块泥板中 约有300多 块是数学泥 板 其中记 载有数字表 和数学问题 多 块是数学泥 板 其中记 载有数字表 和数学问题 殷墟甲骨上数学 殷墟甲骨上数学 商代商代 公元前公元前1400 前 前 1100年年 1983 84年间 河南安阳出土 年间 河南安阳出土 西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学 秦简秦简秦简秦简 2002 2002年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土 西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学 乘法口诀表 乘法口诀表 2002年湖南龙山里耶出土年湖南龙山里耶出土 西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学 一 自然数及其记数法的产生和发展一 自然数及其记数法的产生和发展 阿拉伯数字记数系统三要素 阿拉伯数字记数系统三要素 自然数 十进制 位值制记数法 自然数和进位制的产生自然数和进位制的产生 记数法的产生和发展记数法的产生和发展 自然数的产生自然数的产生 故事一故事一 一个原始部落的族长如何分配一天所捕获 的野兔 他遇到了确定事物多少的数量 问题 他不会数数 那应怎样解决呢 故事二故事二 古希腊 荷马史诗 波吕裴摩斯被俄底 修斯刺瞎后 以放羊为生 他怎样知道放 的羊全回了山洞呢 数的产生数的产生 如何确定事物的 多少 方法 匹配方法 匹配 思想 一一对应思想 一一对应 匹配对应的对象 手指 石子 贝壳 果核 绳结 划痕匹配对应的对象 手指 石子 贝壳 果核 绳结 划痕 伊拉克发现蛋形泥罐 表面刻有某种牲畜 里面放着48颗 泥粒 伊拉克发现蛋形泥罐 表面刻有某种牲畜 里面放着48颗 泥粒 手指计数 伊朗 1966 结绳计数 秘鲁 1972 幼狼胫骨 捷克 基普 印加 进位制的产生进位制的产生 匹配的原对象数量较多 匹配对象数量 有限时怎么办 匹配的原对象数量较多 匹配对象数量 有限时怎么办 进位制类别进位制类别 2 5 10 中国 埃及 12 20 玛雅 60 巴比伦 进制 周易 系辞下 周易 系辞下 上古结绳而治 后世易 之以书契 书契 就是刻画符号 体现进 位制想法 亚里士多德 采用十进制十进制是因为多数人生来具有十个手指 60进制 进制 最初起源于巴比伦 最初于1854年在巴比伦的 泥板上发现 这些泥板大约是公元前2300年到公元前1600 年的遗物 巴比伦人最初认为一年为360天 太阳每天走一 步 即一度 当时巴比伦人已熟知六等分圆 结合起来得 到60进位 年 月 日 度 分 秒 星期 认为60是许多简单数字如2 3 4 5 6 10 12 的公倍 数 它可以使一些较大单位的1 2 1 3 2 3 1 10 的小单 位 在转化为较大单位时成为整数 认为60 12 5 12是一年包含的月数 5是一只手的手指 数 长度单位长度单位 丈 尺 寸 分以下 载有厘 毫 丝 忽等十进制 单位 丈 尺 寸 分以下 载有厘 毫 丝 忽等十进制 单位 容积单位容积单位 斛 斗 升 合以下 载有勺 抄 撮 圭等十进制 单位 斛 斗 升 合以下 载有勺 抄 撮 圭等十进制 单位 有有 无无多多 少少 对对 应应 原原 则则 实物计数实物计数 结绳 书契 掐指 语语 言言 产产 生生 人人 类类 生生 活活 与与 生生 产产 实实 践践 的的 需需 要要 口头计数口头计数 抽抽 象象 数的概念的形成大约是在30万年以前 记数法的起源和发展记数法的起源和发展 算具计数阶段算具计数阶段 为不丢失零散的匹配工具 小石子 果核 贝壳 人们把它们串在细绳或 小树枝上或放在罐里 或绳结 书契 这样计算工具得到升级 拉丁文calculi 计算 原意是石 子 汉字 算 指细木枝 数码计数阶段数码计数阶段 时间 公元前5000年左右时间 公元前5000年左右 原因 书契推广 记帐需要原因 书契推广 记帐需要 意义 记数系统的出现使数与数之间的计 算成为可能 意义 记数系统的出现使数与数之间的计 算成为可能 几种古老文明的早期记数系统几种古老文明的早期记数系统 让你创造符号表示数 你会怎样表示 简单的累数制简单的累数制 埃及象形文字 1216 MDCCCLXXXVIII 1888 罗马数字 巴比伦契形文字 60以内数字 59 分级符号制分级符号制 埃及僧侣文 希腊字母记数法 记数系统 乘法累数制乘法累数制 中国甲骨文 方法 银行存单 数字 数位 数字 数位 0 个 十 个 十 0 百百 0 千千 0 万万 0 1 十万 百万 千万 亿 十亿 百亿 千亿 十万 百万 千万 亿 十亿 百亿 千亿 200 300 500 2656 位值制位值制 同一数字符号在不同位置表示不同的数值 同一数字符号在不同位置表示不同的数值 这一做 法充分体现了固定 位置固定 与变化 符号变化 有 限 数码符号个数有限 与无限 表示的数值无限 的辩 证关系 古巴比伦契形文字 60进位 60以上 7322 7202 古巴比伦契形文字 60进位 60以上 7322 7202 中国算筹计数 10进位 6728 中国算筹计数 10进位 6728 孙子算经 孙子算经 凡算之法 先识其位 一纵十横 百立 千僵 千十相望 百万相当 凡算之法 先识其位 一纵十横 百立 千僵 千十相望 百万相当 六不积 五不只 六不积 五不只 十进位位值制记数产生于中国十进位位值制记数产生于中国十进位位值制记数产生于中国十进位位值制记数产生于中国 是与算筹的使用与筹算制 度的演进分不开的 是与算筹的使用与筹算制 度的演进分不开的 记数系统 23 245110 1 24 51 10 11 414213 606060 算筹算筹 1971年陕西千 阳县西汉墓出土 年陕西千 阳县西汉墓出土 西汉以前的中国数学西汉以前的中国数学 算筹用竹 木 骨 金属 象牙制成 长 算筹用竹 木 骨 金属 象牙制成 长13 5cm 直 径 直 径0 89cm 算筹是中国古代的计算工具 而这种计算方法称为筹算 算筹的产生年代已不可考 但可以肯 定的是筹算在春秋时代已很普遍 算筹是中国古代的计算工具 而这种计算方法称为筹算 算筹的产生年代已不可考 但可以肯 定的是筹算在春秋时代已很普遍 中国出土的古代算筹 考考你考考你 6 7 2 86 7 0 8 公元六世纪 在古代印度产生了整 数的十进位位值制记数法 规定出 公元六世纪 在古代印度产生了整 数的十进位位值制记数法 规定出0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个数字 的符号 公元七世纪中叶 印度的记数 法开始向西方传播 公元八世纪末传入 阿拉伯国家 印度的数字经阿拉伯人改 进后传入欧洲 后传遍全世界 被称为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个数字 的符号 公元七世纪中叶 印度的记数 法开始向西方传播 公元八世纪末传入 阿拉伯国家 印度的数字经阿拉伯人改 进后传入欧洲 后传遍全世界 被称为 阿拉伯数字阿拉伯数字 十进位值制记数法的特点和意义十进位值制记数法的特点和意义 意义 意义 与世界其他古老民族的记数法比较 古埃及的数字 系统没有位值制 但如要记稍大一点的数目就相当繁难 古 美洲玛雅人虽然懂得位值制 但用的是20进位 古巴比伦人 也知道位值制 但用的是60进位 20进位至少需要19个数 码 60进位则需要59个数码 这就使记数和运算变得十分繁 复 远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位值制 来得简捷方便 数学是自然科学的基础 十进位值制在数学发展过程中 有着至关重要的作用 这种记数法的奇妙在于用有限的符号 可以表示无穷无尽的数 简捷 明快 方便运算 没有它 算术上的任何进步都是不可能的 与世界其他古老民族的记数法比较 古埃及的数字 系统没有位值制 但如要记稍大一点的数目就相当繁难 古 美洲玛雅人虽然懂得位值制 但用的是20进位 古巴比伦人 也知道位值制 但用的是60进位 20进位至少需要19个数 码 60进位则需要59个数码 这就使记数和运算变得十分繁 复 远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位值制 来得简捷方便 数学是自然科学的基础 十进位值制在数学发展过程中 有着至关重要的作用 这种记数法的奇妙在于用有限的符号 可以表示无穷无尽的数 简捷 明快 方便运算 没有它 算术上的任何进步都是不可能的 特点 特点 一是逢十进一 二是每个数码既有其自身的绝对值 又有其所在位数的十进制值 一是逢十进一 二是每个数码既有其自身的绝对值 又有其所在位数的十进制值 天文学天文学 时间与方向时间与方向 商品交易商品交易 政治管理政治管理 劳动分配劳动分配 产品分配产品分配 资料分配资料分配 信仰与祭祀信仰与祭祀 二 算术和代数的起源和发展二 算术和代数的起源和发展 四则运算四则运算 开方运算开方运算 解方程解方程 级数级数 加法加法加法 加法 加法运算是伴随着数的产生而产生 匹配的过程 实质上就是加法运算的过程 经验得到 加法的结合律 加法运算是伴随着数的产生而产生 匹配的过程 实质上就是加法运算的过程 经验得到 加法的结合律 2 2 4 2 2 4 皮亚诺提出1 后继和自然数3个概念和五条公理 皮亚诺提出1 后继和自然数3个概念和五条公理 1是自然数 每一个确定的自然数a 都有一个确定的后继数a a 也是自然 数 一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数 例如 1的后继 数是2 2的后继数是3等等 如果b c都是自然数a的后继数 那么b c 1不是任何自然数的后继数 任意关于自然数的命题 如果证明了它对自然数1是对的 又假定 它对自然数n为真时 可以证明它对n 1是自然数 每一个确定的自然数a 都有一个确定的后继数a a 也是自然 数 一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数 例如 1的后继 数是2 2的后继数是3等等 如果b c都是自然数a的后继数 那么b c 1不是任何自然数的后继数 任意关于自然数的命题 如果证明了它对自然数1是对的 又假定 它对自然数n为真时 可以证明它对n 也真 那么 命题对所有 自然数都真 这条公理也叫归纳公设 保证了 也真 那么 命题对所有 自然数都真 这条公理也叫归纳公设 保证了数学归纳法数学归纳法的正 确性 的正 确性 注 若将0也视作自然数 则公理中的1要换成0 注 若将0也视作自然数 则公理中的1要换成0 定义 加法 存在唯一的 二元运算 规定 NxN N滿足以下的性质 对任意的自然数x y 有 定义 加法 存在唯一的 二元运算 规定 NxN N滿足以下的性质 对任意的自然数x y 有 x 0 x x 0 x x y x y x y x y 皮亚诺 意大利 皮亚诺 意大利 1858 1932 乘法 除法乘法 除法 埃及 埃及 加倍程序与单位分数加倍程序与单位分数 古巴比伦 古巴比伦 乘法表乘法表 中国 中国 九九表 春秋时代齐国国君齐桓公招贤 九九表 春秋时代齐国国君齐桓公招贤 开方运算开方运算 美索不达米亚美索不达米亚 耶鲁第耶鲁第7289号泥板 号泥板 1 24 60 51 602 10 603 1 4142155 数表 数表 平方表 立方表 平方根表 立方根表 指对数表 复利问题 平方表 立方表 平方根表 立方根表 指对数表 复利问题 200块泥板 块泥板 2 解方程解方程 埃及埃及 古巴比伦 古巴比伦 公式求解一元二次方程 用表求解 特殊三次方程 英国大不列颠博物馆13901号泥板 英国大不列颠博物馆13901号泥板 我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二 得35 60 求该正方形的边长 我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二 得35 60 求该正方形的边长 这个问题相当于求解方程 泥板上的解法相当于将方程 的系数代入 公式 求解 只不过在计算时用的是60 进制 这个问题相当于求解方程 泥板上的解法相当于将方程 的系数代入 公式 求解 只不过在计算时用的是60 进制 2 235 360 xx 2 xpxq 2 22 pp xq 在一块泥板上 他们给出这样的数表 它不仅包含了从1到30的整数 的平方和立方 还包含这个范围的整数组合 专 家经研究认为 这个数表是用来解决形如 的 三次方程的 在一块泥板上 他们给出这样的数表 它不仅包含了从1到30的整数 的平方和立方 还包含这个范围的整数组合 专 家经研究认为 这个数表是用来解决形如 的 三次方程的 32 nn 32 xxb 设有本金为1 利率为20 问需要多久即可使利息与本金 相等 设有本金为1 利率为20 问需要多久即可使利息与本金 相等 这需要求解指数方程 解的结果是x 4年减去 2 33 60 20 602 月 这需要求解指数方程 解的结果是x 4年减去 2 33 60 20 602 月 已知依几布姆比依古姆大7 问依几布姆和依古姆各为多 少 已知依几布姆比依古姆大7 问依几布姆和依古姆各为多 少 1 1 20 2 x 级数级数 埃及埃及 莱茵德纸草书第79题 7座房 49只猫 343只 老鼠 2401棵麦穗 16807赫卡特 莱茵德纸草书第79题 7座房 49只猫 343只 老鼠 2401棵麦穗 16807赫卡特 7座房子 每座房子养7只猫 每只猫吃7只老 鼠 每只老鼠吃7棵麦穗 每棵麦穗产7赫卡特 粮食 问房子 猫 老鼠 麦穗 赫卡特各数 之总和 7座房子 每座房子养7只猫 每只猫吃7只老 鼠 每只老鼠吃7棵麦穗 每棵麦穗产7赫卡特 粮食 问房子 猫 老鼠 麦穗 赫卡特各数 之总和 巴比伦巴比伦 最初的几何知识从人们在 生活生产实践 农业生产 房 屋堤坝建造 纺织 陶器制作 等 中对形的直觉中萌发出来 这组照片显示了早期人类不止 是对圆 三角形 正方形等一 系列几何形式的认识 而且还 有对全等 相似 对称等几何 性质的应用 在不同地区 几何学的 来源不尽相同 最初的几何知识从人们在 生活生产实践 农业生产 房 屋堤坝建造 纺织 陶器制作 等 中对形的直觉中萌发出来 这组照片显示了早期人类不止 是对圆 三角形 正方形等一 系列几何形式的认识 而且还 有对全等 相似 对称等几何 性质的应用 在不同地区 几何学的 来源不尽相同 古埃及 土地的丈量古埃及 土地的丈量 古印度 宗教实践古印度 宗教实践 古代中国 天文观测古代中国 天文观测 三 几何的起源和发展三 几何的起源和发展 汉像砖伏羲女娲执规矩图 中国考古文物上的几何图案 形及其度量来自于人们对自然界的感受和体 验 来自于适应大自然 改善大自然的实践活动 各种几何图形面积 体积的计算公式是经验 积累 对近似值 精确值不加区分 本质上属于 算术的应用 形及其度量来自于人们对自然界的感受和体 验 来自于适应大自然 改善大自然的实践活动 各种几何图形面积 体积的计算公式是经验 积累 对近似值 精确值不加区分 本质上属于 算术的应用 埃及埃及 正方形 矩形 等腰梯形等图形面积 的正确公式 正方形 矩形 等腰梯形等图形面积 的正确公式 四边形面积公式近似公式 四边形面积公式近似公式 平截头方锥体积公式 平截头方锥体积公式 勾股定理 勾股定理 金字塔 初等三角萌芽 金字塔 初等三角萌芽 3 1605 3 1605 22 3 h Va ab b 22 ab cd 吉萨金字塔 公元前2600年 刚果 1978 美索不达米亚美索不达米亚 三角形 梯形等平面图形面积和棱柱 平截头方锥的体积公式 三角形 梯形等平面图形面积和棱柱 平截头方锥的体积公式 知道并利用图形的相似性概念 知道并利用图形的相似性概念 四边形面积公式 四边形面积公式 勾股定理广泛应用勾股定理广泛应用 8 1 3 22 ab cd 勾股定理的广泛使用勾股定理的广泛使用 有一块泥板上有这样一个问题 倚墙而立的木杆长有一块泥板上有这样一个问题 倚墙而立的木杆长0 30 尺 若上端下滑尺 若上端下滑0 6尺 问其下端将移离墙多远 尺 问其下端将移离墙多远 作者运用勾股定理求出了正确答案作者运用勾股定理求出了正确答案0 18 人教版人教版 北师版北师版 古代巴比伦的数学古代巴比伦的数学 泥版楔形文 普林顿泥版楔形文 普林顿322 普林顿322实际上是一张表格 由4列15行六十进制数字组 成 第二 三列是具有整数边长的直角三角形的斜边和直角边 长 互素 第四列是直角边所对的角的正割平方 角度以约1 度的间距从45度减至31度 2 9 13 15行有笔误 普林顿322实际上是一张表格 由4列15行六十进制数字组 成 第二 三列是具有整数边长的直角三角形的斜边和直角边 长 互素 第四列是直角边所对的角的正割平方 角度以约1 度的间距从45度减至31度 2 9 13 15行有笔误 中国中国 周髀算经 勾股定理 周髀算经 勾股定理 以日下为勾 日高为股 勾股各自乘 并而 开方除之 得斜至日 以日下为勾 日高为股 勾股各自乘 并而 开方除之 得斜至日 用相似性求日高 用相似性求日高 小结小结 古巴比伦和古埃及数学的内容都与那个地区的 社会和生活的需要密切相关 古巴比伦和古埃及数学的内容都与那个地区的 社会和生活的需要密切相关 古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣 因 此 相对而言 他们的以60进位记数法为基础 的 古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣 因 此 相对而言 他们的以60进位记数法为基础 的算术与代数算术与代数较为领先 较为领先 而古埃及人偏重于测量与建筑施工 因而他们 的 而古埃及人偏重于测量与建筑施工 因而