国外数学归纳法教学研究综述.pdf

2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期 数学通报 3 国外数学归纳法教学研究综述 王科1 2汪晓勤1 1 华东师范大学数学系2 0 0 2 4 1 2 佐治亚大学数学教育系3 0 6 0 2 数学通报 近期刊登关于数学归纳法教学设 计的文章 在上海引发了高中数学教师对数学归 纳法教学的热烈讨论 这些讨论也引发了笔者对 国外的相关文献的搜索 并对其加以分析梳理 期 望能对国内数学归纳法教学及相关研究有所启示 和帮助 众所周知 推理和证明是数学的基本思维过 程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式 1 而对于数学归纳法 简称M I 是一种重要的 演绎推理证明方法 我国高中数学课程标准对其 有明确的要求 了解M I 原理 能用其证明一些简 单的数学命题 美国数学教师协会 N C T M 2 0 0 0 中 也要求学生学习M I 的方法 并应用其 证明一些特殊类型的题目 2 庞加莱 H P o i n c a r e 1 8 5 4 1 9 1 2 曾说过 M I 中推理的本质特征就是 把无穷的三段论纳 入唯一的公式中 3 然而学生在学习应用M I 时 会遇到各种困难 即使学生具有应用M I 的技 巧 也常常不能真正理解M I 中推理的本质特征 教师在教学中也会碰到一些问题 为此 国外很多 教育研究者对M I 教学进行深入研究 本文将从 M I 的本质 M I 教材内容 学生学习的困难与错 误及其原因分析 学生证明图式的演化 教学策略 五个方面对这些研究进行分析 以资国内数学归 纳法教学和研究之参考 1 数学归纳法的本质 对M I 本质的理解是教学的基础和前提 只 有分析和理解了M I 本质 才能恰当地提取教材 内容 对其进行再创造 作出适合学情的教学 设计 E r n e s t 1 9 8 4 从概念和行为技能两个方面对 M I 进行分析 在M I 概念的分析中 需涉及的数 学知识相当广泛 其中有两个概念群 界定自然 数性质和函数 递推和自然数的有序性 在行为 技能分析中 他以代数恒等式证明为例 将证明分 解为三种行为技能 完成基础步骤技能 完成 递推步骤技能 以正确的格式陈述M I 的技能 此外 还需培养学生一些辅助技能 如代数替换 代数操作 恒等式证明以及蕴涵表述的技能 4 M I 概念分析为设计其教学顺序提供了参考 而M I 行为操作技能分析则为M I 教学方法的选 取指引了方向 然而在深刻理解M I 的本质之后 仍需要对M I 的教材内容进行分析和 再创造 2 数学归纳法的教材内容 教材是教学设计的基本资源 在教学设计中 扮演着重要的角色 而适合学情的教材具有预防 学生犯错及帮助解决学习困难的功能 因此 对教 材的分析无疑显得特别重要 H a r e l 2 0 0 1 的研究或许会对我们有所启示 他对一些使用过的教材进行研究的过程中提到 教材中M I 的问题主要是显性递推问题 不等式 问题和整除性问题 然而这些问题很少需要学生 理解M I 原理去解决 更多的是需要学生机械地 应用M I 的两个步骤即可 所以学生常常误认为 M I 证明不过是一个程序式的表述而已 H a r e l 还指出了标准教材编写的若干缺点 标准教材中引入M I 原理太突然 学生并不知 道M I 是因为解决问题的需要而产生的 是源于 先前基本经验的抽象提升 如果学生只是被动地 接受M I 程序性的步骤 那么会导致学生形成权 威证明图式和非定量符号证明图式的思维模式 教材中问题的类型和顺序不当 首先 问题没有 依据M I 历史发展来设置 其次 问题中没有可引 导学生关注过程模式一般化的隐性递推问题 而 隐形递推问题是可以促进学生理解思维方式由结 果模式一般化向过程模式一般化的转变 5 万方数据 4 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期 对于如何分析研究教材 E r n e s t 1 9 8 4 的研 究可以给出一些参考 他曾对教材中的数学归纳 法内容进行了分析 4 从页数 例题数 习题数 题 目类型 数学归纳法的格式 反例 数学归纳法原 理类比解释 原理说明 证明的概念 蕴涵关系以 及归纳法与数学归纳法的区别 这几个维度进行 研究 3 学习困难与错误及其原因分析 学生在M I 的学习过程中会有很多困难和错 误 我们参照A v i t a l L i b e s k i n d 1 9 7 8 的分类 将学生学习M I 的困难分为概念上的困难 数学 上的困难和技术上的困难三类 6 3 1 概念上的困难 A v i t a l L i b e s k i n d 1 9 7 8 研究发现 学生 不理解 由P 惫 推出P k 1 的含义 经常会有 这样的疑问 如果不知道P 足 是否成立的情况 下 怎么去推导P 五 1 的正确性呢 学生已经 习惯于这样的事实 对于夕一q 不管P 是否正确 只需说明若P 对 则q 也对 6 E r n e s t 1 9 8 4 的研 究表明 对于很多学生来说 递推步骤是在一个含 有咒的等式两边加上一些项 从而得到一个用咒 1 代替咒的类似的等式 因此 学生常常把M I 理解成从一个单个例子中得到一般性结论的技术 性操作 并认为M I 证明是 一个机械的程序式的 表述 学生不理解从P 1 跳跃到P 愚 推出P 忌 1 且认为基础步骤不是必要的 常在证明中漏 掉这一步 4 H a r e l 2 0 0 1 对2 5 名师范生的教学 实验表明 虽然学生有能力套用例子模式 但实际 上并没有真正理解M I 的内在关系 并且在应用 M I 证明时 学生的错误往往发生在递推步骤中的 应用假设 5 D u b i n s k y 1 9 8 9 通过对8 名大学生 的访谈发现 有些学生并未意识到 若没有第一步 的证明 则第二步的证明往往是错误的 7 A v i t a l 8 LL i b e s k i n d 1 9 7 8 B a k e r 1 9 9 6 和D i c k e r s o n 2 0 0 6 研究发现 学生常常对递推步骤的正确性 心存疑虑 6 赞同 当我应用M I 的时候 我不相 信它是对的 这样的观点 8 甚至包括有些大学生 和师范生也不理解M I 的基础步骤和递推步骤的 关系 即通过假言推理得出一个无限集命题的 真理 引 3 2 数学上的困难 A v i t a l L i b e s k i n d 1 9 7 8 研究发现 一些学 生误认为基础步骤总是始于咒一1 对于复杂的问 题 他们几乎不能正确运用M I 原理 数学上的困 难通常发生在M I 的两个步骤中 例如 不等式2 z 2 对咒一1 成立 但对n 一2 3 4 不成立 6 于是 学生可能在完成第一步后 马上利用第二步 进行归纳推理 第二步本身就属于数学上的困难 当所证明 的命题涉及自然数子集时 学生通常意识不到 递 推步骤有时并非 从P k 到P k 1 而是 P 走 到P k 2 若竹为偶数 则在递推步骤 应先假设P 忌 成立 再证明P 忌 2 成立 如命 题 1 取何值时 3 7 一2 能被8 整除 6 3 3 技术上的困难 技术上的困难往往使学生不能按M I 的两个 步骤来证明命题 B a k e r 1 9 9 6 通过对1 3 名大学 生和4 0 名高中生的调查发现 一些学生 包括大 学生 未能正确使用符号 不会进行基本的代 数操作 明 A v i t a l L i b e s k i n d 1 9 7 8 和E r n e s t 1 9 8 4 研究表明 有些学生在用愚 1 替换是的代 数操作时 出现了很多问题 6 1 也有学生在递推步 骤中 用愚 1 代替竹时有困难 4 C h o w 2 0 0 3 对 3 0 名学生进行问卷调查和访谈 发现大多数学生 在应用M I 证明导数和数列问题时会遇到 困难u 0 3 4 其他错误与困难的分类 除了上述分类之外 E r n e s t 1 9 8 4 还给出了 学生的一些错误类型 将M I 与归纳法混为一 谈 将M I 理解为 假设要证明的结论成立 然 后再去证明它 不理解逻辑量词 认为M I 的基础步是不必要的 认为M 1 只是解决有限 项数列求和问题 4 B r o w n 2 0 0 3 在对6 名学生 进行2 0 次教学之后 发现学生有六类困难 理 解基础步骤的作用 识别递推步骤 解释归纳 假设的作用 调整基础步骤和归纳假设 确定 M I 需要表述的内容 确定M I 的适用范围 1 1 B a k e r 1 9 9 6 的研究则总结了学生学习M I 的困 难的九种特征 数学知识的储备 概念理解 令人信服的证据 日常生活中的推理 元认 知监控 启发式 对材料本身的理解 程序 性知识 情感因素 8 3 5 学习困难与错误的原因分析 很多文献都对学生学习M I 的困难和出现错 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期数学通报 5 误的原因作了分析 如A v i t a l L i b e s k i n d 1 9 7 8 C h o wM i n gK o n g 2 0 0 3 D u b i n s k y 1 9 8 9 D i c k e r s o n 2 0 0 6 和F i s c h b e i n E n g e l 1 9 8 9 这些原因大致可分成四类 无论是在概 念上 程序上或技术上的困难都是由于缺乏数学 知识造成的 6 1 叩 不完全形式化的数学问题背 景和不完备的数学知识是导致学生不能建构有意 义的M I 证明的最基本因素 而忽视对M I 概念的 理解也是一个原因 7 1 教师的教学设计也可能 导致学生学习M I 的困难 如在教学中 教师直接 让学生证明问题 而不是让学生先探索 再猜想 最后用M I 去证明 6 M I 证明的第二个步骤本 身就是理解的难点 即归纳假设不是作为被证明 的事实 而是作为假设 是推理过程的初始状态 这常常会导致学生产生以下误解 归纳假设的成 立是有保证的 归纳假设的成立是不能证明的 归 纳假设的理由不充分 在某些情况下可能不成 立 1 引 以往学习中的负面经验 使他们误以为 M I 证明的基础步骤总是正确的 所以只需关注 递推步骤的正确性即可 9 4 学生证明图式的演化 D u b i n s k y 1 9 8 9 曾提出M I 发生式分解 图 7 即描述学生在学习M I 过程中所建构的一 个特殊的图式 如图1 所示 学生需要在教师的刺 激与引导下沿分解图线路进行建构 证明方法函数逻辑必要 应用M l l 解决问题 圈1M I 发生式分解图 H a r e l 2 0 0 1 给出M I 证明图式的演化图 从 起始的经验推理证明模式 结果模式一般化 如 权威证明图式 非定量符号化证明图式 到转移推 理证明模式 过程模式一般化 5 I B r o w n 2 0 0 3 提出了学生应用M I 时的理解 方式和思维方式的演化模型 学生对M I 的理解 过程分成三步 在前转移阶段 P r e t r a n s f o r m a t i o n a ls t a g e 学生采用重复性的行动获得数据 在局部转移阶段 R e s t r i c t i v et r a n s f o r m a t i o n a l s t a g e 学生吸收了经验归纳证明图式以及一般 化的证明图式 在转移阶段 T r a n s f o r m a t i o n a l s t a g e 引入M I 作为证明涉及无穷项命题的一种 方法 1 5 教学策略 为了更好地实施M I 教学 国外研究者做了 大量的实证研究 目的是为教师提供具体的教学 策略 第一 教学准备 M a r g i t a 1 9 9 8 的研究表明 为使学生理解和应用M I 课前准备很重要 教师 一方面要在M I 教学之前 培养学生观察 对比 概括 归纳 猜想的能力 另一方面 要尽早通过例 题来说明不完全归纳所得结果可能是不正确的 需告知学生 有必要去证明归纳的结果 1 3 第二 教学活动设计 首先 A v i t a l H a n s e n 1 9 7 6 建议教学设计考虑以下方面 一个包含 M I 概念的有趣实验 培养猜想的能力 验证 猜想 应用M I 证明之 14 其次 D u b i n s k y 1 9 8 6 1 9 8 9 建议教学设计中应包含激发学生学 习兴趣的活动 15 认为有活动的教学可以更直接 地帮助学生理解证明图式的演化 7 再次 R o n D r e y f u s 2 0 0 4 建议教学设计过程为 通过解题 练习找出递推规律 举例说明归纳的结果有时 是错的 每一种猜想都必须加以证明 由此引出 M I 证明步骤 1 引 最后 A l l e n 2 0 0 1 建议避开传 统教学模式 并给出新的教学设计 其主要步骤 为 给定两个列表 让学生找出函数解析式 从表中找出递推公式 归纳证明两个函数解析 式 让学生解释两个归纳证明步骤 1 川 第三 问题顺序设计 首先 H a r e l 2 0 0 1 采 用D N R 系统 由二元性 必要性和反复推理三个 原理组成 通过设置不同问题 让学生在解决问 题过程中形成M I 的思想 5 其次 B r o w n 2 0 0 3 根据三个不同的建构阶段 前转移阶段 局部转移 阶段和转移阶段 来设置不同的问题情境口 第四 反例教学 首先 C h o w 2 0 0 3 的研究表 明 一种错误的解释或证明可能会帮助学生更好 万方数据 6 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期 地理解主题 同时也可以提醒学生避免犯类似的 错误 1 引 其次 A v i t a l L i b e s k i n d 1 9 7 8 的研 究提到 教学中使用反例可帮助学生学习M I 并 避免形成对M I 的误解 如所有女性的眼睛都同 色 所有自然数都是偶数等等 这些反例都可以说 明基础步骤的重要性 6 第五 类比教学 E r n e s t 1 9 8 4 的研究表明 在M I 教学中 原理解释常用类比有 传染病的 传播 登直升机求生梯 一步步地爬阶梯 一排传递信息的士兵 一列刚出发的火车 一 个公主进入一座所有房问都被锁住的皇宫 她只 有第一个房间的钥匙 而每个房间内有下一个房 间的钥匙 多米诺骨牌 4 然而R o n D r e y f u s 2 0 0 4 的研究表明 在基础步骤所使用的类比中 也存在一些错误 如 买电器时 先试用一下 下湖游泳时 先试一下水温 这些类比并不含自然 数的变量 同样 在推理步骤所使用的类比中 也 有一些错误 如 类比电动工具的工作 1 川 因此 教师在应用类比教学时 应详细解释用作类比的 情境和M I 之间的关系 6 结语 综上所述 国外关于M I 教学研究的主要特 点是 第一 研究范围广 涉及M I 本质分析 教材 的选取 错误归类及原因分析 学习M I 的思维过 程分析 教学策略分析 但是 基于数学史融人数 学教学 简称H P M 的研究还比较缺乏 H a r e l 2 0 0 1 的研究中提到基于D N R 系统的教学过程 中学生的M I 概念理解过程与M I 历史发展相似 但这项研究并没有继续下去 第二 以实证研究为 主 研究对象包括中学生 大学生 师范生 优点是 研究方法丰富 研究周期长 研究工作做得细致 不足之处是研究的样本空间往往很小 如D u b i n s k y 1 9 8 9 研究对象是8 名大学二年级学生 B r o w n 2 0 0 3 只有4 名研究对象 理论研究较多 即从实证研究中提升或抽象出理论 不注重教学 实践 缺乏把相应的教学研究成果应用到教学实 践中 第三 研究分析中重过程轻结果 如A v i t a L i b e s k i n d 9 7 8 关于学生学习M I 的错误分 类 是基于学生思维过程方面 即以过程导向分 类 把困难分为概念上的困难 数学上的困难和技 术上的困难 相反 国内研究者的错误分类是结果 导向的 常依据错误的表象来分类 如将错误分为 基础步骤错误和递推步骤错误两类 鉴于上述分析 未来国内M I 教学研究可从 以下几个方面进行 首先 吸收国外的研究结果进 行M I 教学实践研究 其次 以改进教材为目标 进行M I 国际教材比较研究 再次 揭示国内学生 心理发展 思维和理解方式演化的研究 第四 基 于H P M 视角下的M I 教学研究 第五 从教学实 践中提升或抽象出理论层次的研究 相应地 国外M I 教学的实证研究对我们国 内M I 的教学也有所启示 首先 关于M I 教学内 容的分析 教师可以根据学生的学情和心理发展 状况合理地编排M I 教材内容顺序 对教材内容 进行 再创造 了解学生在学习M I 过程中的思 维和理解方式 实施更加有效的M I 教学 其次 关于学生学习M I 的困难和错误的分析 教师可 以对比国内外教学实践中学生所遇到的困难和错 误问题 并在教学过程中 通过采用不同的教学策 略 有针对性地解决这些问题 更好地帮助学生学 习和理解M I 参考文献 1 中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准 实验 S 北京 人民教育出版社 2 0 0 3 4 0 2 N C T M P r i n c i p l e sa n dS t a n d a r d sf o rS C h o o lM a t h e m a t i c s s R e s t o n N a t i o n a lC o u n c i lo fT e a c h e r so fM a t h e m a t i c s 2 0 0 0 3 4 5 3P o i n c a r e H S c i e n c ea n dH y p o t h e s i s M N e wY o r k L o n d o na n dN e w c a s t l e o n T y n e T h eW a l t e rS c o t tP u b l i s h i n g C O L T D 1 9 0 5 1 4 4E r n e s t P M a t h e m a t i c a li n d u c t i o n AP e d a g o g i c a lD i s c u s s i o n J E d u c a t i o n a lS t u d i e si nM a t h e m a t i c s 1 9 8 4 1 5 1 7 3 1 8 9 5H a r e l G D e v e l o p m e n to fM a t h e m a t i c a lI n d u c t i o na saP r o o f S c h e m e AM o d e lf o rD N R b a s e dI n s t r u c t i o n J I nS C a m p b e l l R Z a s k i s E d s L e a r n i n ga n dT e a c h i n gN u m b e rT h e o r y J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lB e h a v i o r N e wJ e r s e y A b l e xP u b l i s h i n gC o r p o r a t i o n 2 0 0 1 1 8 5 2 1 2 6A v i t a l S L i b e s k i n d S M a t h e m a t i c a li n d u c t i o ni nt h e c l a s s r o o m D i d a c t i c a la n dm a t h e m a t i c a li s s u e s J E d u c a t i o n a lS t u d i e si nM a t h e m a t i c s 1 9 7 8 9 4 2 9 4 3 8 7 D u b i n s k y E T e a c h i n gM a t h e m a t i c a lI n d u c t i o nI I 口 J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lB e h a v i o r 1 9 8 9 8 2 8 5 3 0 4 8B a k e r J D S t u d e n t s D i f f i c u l t i e sw i t hP r o o fb yM a t h e m a t i c a li n d u c t i o n A P a p e rp r e s e n t e da tt h eA n n u a lM e e t i n go f t h eA m e r i c a nE d u c a t i o n a lR e s e a r c hA s s o c i a t i o n N e wY o r k N Y A p r i l8 1 2 1 9 9 6 9D i c k e r s o nD S A s p e c t so fP r e s e r v i c eT e a c h e r s U n d e r 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 期 数学通报 7 上接第2 页 前人关于相邻素数差的结果