从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明.pdf

从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明 程 汉 波 杨 春 波 华中师范大学数学与统计学学院 430079 众所周知 棱锥的体积公式为 V 1 3 Sh 它的 背后隐藏着一段优美的探索历程和深刻的数学思想 方法 古希腊数学家欧几里得在其著作5几何原本6 中研究过它 祖日恒原理的发现为其证明提供了新思 路 近代法国数学家勒让德也曾对它产生兴趣 微积 分工具的逐渐成熟使其证明变得简捷且更具一般 性 本文从数学史的角度出发 首先给出伴随着数学 发展历程所产生的三棱锥体积公式的若干证明 然 后利用其中的思维方法论证棱锥 圆锥和球面棱锥 的体积公式 1 三棱锥体积公式的若干证明 在三棱锥 Ac ABC 中 设底面 vABC 的面积为 S 底面上的高为 h 则三棱锥的体积 V 1 3 Sh 1 1 穷竭法 穷竭法的产生归功于欧多克斯比例理论的推 广 欧几里得首先利用穷竭法的思想推导出了三棱 锥的体积公式 参见5几何原本6卷 命题 3 和命题 4 他把三棱锥剖分成两个小的三棱锥和两个棱柱 具体的作法及证明如下 图 1 证明 如图 1 在三 棱锥 Ac ABC 中 连接各 边相应的中点 将原三棱 锥分为两个小三棱柱与两 个小三棱锥 有 VDEF GIC SvGIC hF 1 4 S 1 2 h 1 8 Sh VDGH EIB 1 2 SGHBIhD 1 2 1 2 S 1 2 h 1 8 Sh 所以两个柱体的体积和为 V1 1 8 Sh 1 8 Sh 1 4 Sh 再对两个小三棱锥进行同样的分割 得到四个 小三棱柱的体积和 V2 2 1 4 SvAHGhD 2 1 4 1 4 S 1 2 h 1 42 Sh 如此对小三棱锥不断地剖分 当分割次数足够 多时 可用所有三棱柱的体积之和近似原三棱锥的 体积 于是 V 1 4 1 42 1 43 1 4n Sh 1 4 1 1 4 Sh 1 3 Sh 证毕 穷竭法原理代表了西方数学对于无穷小的态 度 阿基米德在求球的体积与表面积以及抛物线弓 形面积的过程中 将穷竭法的思想表现得淋漓尽致 并将其发展到了充分成熟的地步 1 2 剖分法 大约在 1800 年 勒让德利用 将三棱柱分割为 三个三棱锥的剖分 其中两两具有相等的底面积和 高0的结果 并结合 祖日恒原理0 幂势既同 则 积不容异0给出了三棱锥的体积等于同底同高三棱 柱体积的 1 3 的另一个证明 在给出剖分法之前 我们 先介绍一个引理 引理 等底面积等高的两个棱锥的体积相等 证明 设有任意两个棱锥 它们的底面积均为 S 高均为 h 体积分别为 V1 V2 把这两个棱锥的 底面放在同一个平面 A上 由于它们的高相等 故 它们的顶点必同在一个与 A平行的平面上 记为 B 则它们夹在两平行平面 A与 B之间 用平行于 A的 59 课外园地 数学通讯 2012 年第 6 期 下半月 任意平面去截这两个锥体 设截面面积分别为 S1 S2 截面和顶点的距离是 h1 则易知 S1 S S2 S h1 h 2 所以 S 1 S2 由祖日恒原理知 V1 V2 证毕 下面给出剖分法证明三棱锥体积公式的过程 证明 如图 2 以 vABC 为底面 A Ac为侧棱作 三棱柱 ABC AcBcCc 连接 AcC BcC 将三棱柱分割 为三个小三棱锥 其体积分别为 V1 V2 V3 对于 三棱锥 C AcAB 和 C AcBBc 有 Sv AcAB SvAcBBc 又由于它们有公共顶点 C 故其高也相等 所以由引 理知 V1 V2 同理可知 V2 V3 则 V1 V2 V3 V V1 1 3 Sh 证毕 图 2 在中国传统数学中 计算几何体体积的 阳马 术0也有剖分法的思想 1 3 微分法 在求球的体积时 我们用平行于球的底面的平 面 把球切成一层层近似于圆柱形状的 薄圆片0 再 用小圆柱体的体积近似代替 薄圆片0的体积 它们 的和就是球的体积的近似值 对于棱锥的体积 是否 可以使用同样的方法呢 于是便有了微分法 过程 如下 证明 把三棱锥 Ac ABC 的高 n 等分 在三棱 锥中作出 n 1 个内接三棱柱 设由下往上第 k 个 棱柱的底面积为 Sk 体积为 Vk 则 Sk S h k n h h 2 故 Sk n k n 2S 所以 V k Sk h n n k 2 n3 Sh 这些三棱柱的体积和为 V n 6 n 1 k 1 Vk 6 n 1 k 1 n k 2 n3 Sh n n 1 2n 1 6n3 Sh 于是 V lim n y V n lim n y n n 1 2n 1 6n3 Sh 1 3 Sh 证毕 微分法的基本思想概括说来就是 分割 近似求 和 取极限0 在科学技术中还有许多类似的问题 这 也是定积分概念产生的实际背景 1 4 积分法 微积分问世于十七世纪 它能以快捷方式得到 使用穷竭法得到的结果 还给出了去发现这些结果 的一般方法 它的诞生为三棱锥体积公式的证明提 供了新的强有力的工具 证明 用平行于三棱锥底面的平面去截三棱 锥 设其与三棱锥顶点的距离为 x 所得截面面积显 然为 x 的函数 记为 S x x I 0 h 易知S x S x h 2 则 S x x 2 h2 S 于是 V Q h 0 S x dx Q h 0 x 2 h2 Sdx 1 3 Sh 证毕 积分法的关键是要建立截面面积函数 是求立 体图形体积的一般方法 2 证法的启示 三棱锥体积公式的若干证法中蕴含着丰富深刻 的数学思想 利用这些思想和方法除了可以解决上 面提到的问题外 还可以发现与证明下面棱锥 圆锥 和球面棱锥的体积公式 2 1 n 棱锥和圆锥的体积公式 对于一个底面积为 S 高为 h 的 n n 3 棱 锥 可将其底面分为 n 2 个三角形 则得到 n 2 个三棱锥 设它们的底面积分别为 S1 S2 S3 Sn 2 则这个 n 棱锥的体积为 V 6 n 2 k 1 Vk 6 n 2 k 1 1 3 Skh 1 3 h 6 n 2 k 1 Sk 1 3 Sh 对于一个底面积为 S 高为 h 的圆锥 我们可 以用底面圆的内接 n 边形去逼近底面 也即用 n 棱 锥去逼近圆锥 则其体积公式同样具有上述形式 V 1 3 Sh 2 2 球面棱锥的体积公式 在半径为 R 的球面上 球面凸 n 边形 A1A2 An n 3 的内角 弧度数 分别为 NA1 NA2 60 数学通讯 2012 年第 6 期 下半月 课外园地 NAn 记其面积为 Sn 连接球心 O 与 A1 A2 An得到球面n 棱锥O A1A2 An 现将球面凸 n 边 形进行充分地分割 则每个球面棱锥可以近似地看 作一般的棱锥 于是球面 n 棱锥 O A1A2 An的体 积为 V 6 1 3 SiR 1 3 R6Si 1 3 SnR 1 3 R 3 NA1 NA2 NAn n 2 P 3 结语 法国数学家庞加莱曾说过 如果我们想要预见 数学的未来 适当的途径就是研究这门科学的历史 和现状0 从三棱锥体积公式的历史中 我们看到了 最纯粹的逻辑思维活动以及最高级的智能活动的美 学表现 我们看到了简单的数学公式背后往往蕴含 了深刻的数学思想与曲折的数学发展历程 这启示 教师在日常的教学中不妨从数学史的角度审视一下 所教授的内容 学生在平时的学习中要勇于追本溯 源 善于从历史的角度分析问题 因为从中发掘出的 质朴的数学思维方法可以把我们带回到自然的 生 动的 活泼的思考之中 参考文献 1 欧几里得 燕晓东编译 几何原本 M 北京 人民日 报出版社 2009 2 John Stillwell 袁向东 冯绪宁译 数学及其历史 M 北京 高等教育出版社 2011 3 华东师范大学数学系 数学分析上册 第三版 M 北 京 高等教育出版社 2009 4 徐学文 郭思培 基础教育选修课程选讲 M 北京 科 学出版社 2011 收稿日期 2012 03 22 测 字 与 数 学 陈 荣 杨 飞 重庆南开中学 400030 重庆市教育科学 十 二五0规划课题 数学与生活0校本课程的开发与运用研究 2011 KG 046 测字又称破字 相字或拆字 人们普遍认为它与 看相 算命 占梦一样 都是骗人的迷信 我们坚信测 字绝对不是科学 它不是以实验为基础 也不是以公 理 定理为基础 不具备科学的前提和特点 严格说 测字是一种方术 是汉文化所特有的一种社会风俗 文化现象 中国古人对测字颇有研究 清朝周亮工的 5字触6和程省的5测字秘牒6都是测字研究中的名 著 5四库全数总目提要6中还提到一些没有流传下 来的测字著作 可见测字在古代是一种盛行的文化 现象 我们在此不探讨它的缺陷和欺骗性 仅从数学 角度认识古人测字的思维模式 用数学眼光探究测 字的方法和技巧 1 测字中的加法求和原理 数学运算中最常见的是求和运算 如数的求和 代数式求和等 即 A1 A2 A3 An M 在 古代的测字中常使