数学奥林匹克高中训练题(72).pdf

中 等 数 学 数学奥林匹克高中训练题 7 2 第 一 试 一 选择题 每小题6 分 共3 6 分 1 已知集合M I 9 y 9 y E R N I Y 一 2 a x 0 Y R 1 0 I 1 且 0 为常数 则 n N A I I 1 B I I 1 0 I c 1 0 一1 0 I 0 1 0 I D l I 2 2 方程 0 1 s i n 2 x c 0 s 0 1 s i n 一 C O S 2 x 0 参数 0 0 则 1 一 为纯虚 Z 1 U 数的充要条件是 A I z I 0 B I z I 0 且z 一0 C I z I 0或z 0 D I z I 0 且z 0 2瞄 6 整数 M 2 0 0 3 被 8 o 除所得 的余数是 A 1 B 1 1 C 3 1 D 7 9 二 填空题 每小题9 分 共5 4 分 1 已知点 A 1 1 B 3 2 C 2 3 和直 线 Z Y k x k R 则 C三点到直线 z 的距离平方和的最大值是 2 将二项式系数 c 看成一 个数列 当 2 0 0 4 N 时 其中各项 均为奇数的数列共有 组 3 将 7 条花色不同的金鱼放到编号为 1 2 3 的 3 个玻璃鱼缸内 若要求各鱼缸的 鱼数不小于其编号数 则不同的放法有 种 4 设方程 1 为奇数 的n 个根为 n 1 1 1 一则 i l 5 已知三棱锥 S A B C的底面是正三角 形 点A在侧面S B C上的射影日是AS B C的 垂心 S A tl 则此三棱锥的体积的最大值是 6 已知 y z 为正实数 且 Y z 1 若 旦 一 2 则实数 0的取值 x y z Y 范围是 三 2 o 分 设实数 0 b 满足0 b 试 判 定 关于 的 方 程 O X O X J 1 0 是否有实数解 四 2 0 分 如果不等式 一口 I b O b 为常数 对E o 1 中的任何 的值恒成立 求实数 0的取值范围 维普资讯 2 O O 5 年第1 期 4 1 五 2 o 分 已知函数 C O S 眦 c o s m x s in 眦 s in m x C O S 2 x 的值与实数 无关 过其图像上任意一点 P 作圆 Y 一 2 1 的切线 胎 切点分 别为A 曰 1 求正整数 m的值 2 求 P A B面积的最小值 第 二 试 一 5 O分 如图 1 已知梯形 A B C D内 接于o0 A B C D 过 点 D作圆的切线交 c A的延长线于点 F 且 D F B C 如果 c A 5 B C 4 求线段 A F的长 图 1 C 二 5 o 分 设正数列 的前 凡 项的和 为S 且2 S 1 1 求数列 口 的通项公式 2 设 b 口 2 2 口 3 N 试求 M 口 2 m 6 m 一 2 a m b n n m EN 的最小值 三 5 O 分 平面上有 1 2 个点 且任意三 点不共线 以其中任意一点为始点 另一点为 终点作向量 且作出所有的向量 其中3 边向 量的和为零向量的三角形称为 零三角形 求以这些点为顶点的 零三角形 个数的最大 值 参 考 答 案 第 一 试 一 1 C 易得 I 一 3 x 3 N I 口 一I 口 I a I 口 I 又I 口 I l 贝 4 N C M 故肘n N 2 C 原方程可变为 面 号 嘲 导 一 a l 孚 一 1 方 程 sin 专 号 o 在 一 中 的 解 为 北 一 2 对于方程 cos 萼 一 号 詈 s i n 萼 一 号 o 啷 I 一 J 锄 I 一 J o 当 a 一 l 时 变 为 c o s 萼 一 号 o 得 5 丌 丌 一 百 一百 一 2 当口 一 l 时 可变为 咖 萼 一 号 又当 口 0 且 口 一1 时 詈 一 一 1 U 1 而 ta rI 萼 一 号 在 一 上 有 3 个 周 期 由图像可知 此时方程 恒有3 个解 且任 1 个不为 一 2 故当口 0 又 y 2 1 2 二 面 而 O 2 0 0 4 一x 一 2 0 0 8 生 故 l y 2 2 l S n 1 一 三 二 a a 如 图 2 设 A 一口 0 B 口 0 复数 对应 的点为P 则A P 口 B P 一d 为 纯虚数 2 口 e a r g 9 0 p I A B 一 口 0 图2 维普资讯 4 2 中 等 数 学 甘 A 船 9 0 o 甘动点 P的轨迹是以 A B为直径的圆 点 A 曰 除外 车 I I 口 且 口 6 A 记 m 2 0 o 4 础 姗 口 2 0 0 5 2 嘶2 0 0 7 2 瞄 记 m 0 o 4 础 p 时 贝 0 m 2 0 0 4 p 4 p 5 0 1 p 4 n n 4 p 一 5 0 1 p 于是 由二项式定理得 M 2 0 0 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 m c 2 0 0 0 m 一 3 C 2 0 0 0 3 一 3 从而 知 被8 O 除所得的余数就是3 被8 o 除 所得的余数 又 3 3 4 8 1 8 o 1 8 0 c 8 0 一 c 一 8 0 1 故 被8 o 除所得的余数为 1 二 1 2 7 设 A B C 三点到直线 Y 0 的距离的平方 和为 d 则 d 1 4 k 一2 6 k 1 4 广一 所以 d一1 4 2 6 k d 一1 4 0 1 当 d 1 4时 0 2 当 d 1 4时 因为 R 所以 2 一 4 d 一1 4 O 解得1 d 2 7 故 d 一 2 7 2 1 O 由 c c 一 l 知 可将 n 1 2 2 O 0 4 这 2 O 0 4 个数排列成杨辉三角形的形状 且可分别用0 1 代表偶数与奇数 如图3 图 3 其中各项奇偶的变化规律是 2 一1 当 且仅当 n 2 一1 N 时 各项均为奇 数 解2 一 1 2 17 0 4 可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 故各项均为奇数的数列共有1 O 组 3 4 5 5 1 1 2 3 号缸里放的金鱼数分别为2 2 3 则 有不同放法C 2 1 0 种 2 1 2 3 号缸里放的金鱼数分别为 1 3 3 则 有不同放法 1 4 0种 3 1 2 3 号缸里放的金鱼数分别为 1 2 4 则 有不同放法a 1 0 5 种 故共有2 1 0 1 4 0 1 0 5 4 5 5 种不同放法 4 由 1 知 1 即 1 的根的共轭复数也 是它的根 从而 1 贾 一 也是 矿 1 的 n 个根 且 l 1 所以 f 露 1 i 1 2 n一1 故 焘 一 1 一 1 所以 o 5 O 3 由题设知 M 上面 S B C 设 B H上s c于E 由三 垂线定理知 s c 上 s c 上A B 故 s c 上面 A B E 作 s D 上面A B C 于0 知 O C为 s c 在面A B C内的射影 故 C O 上A B 垂足为 F 同理 B O j A C 故点 0 为 x A B C 的垂心 又 C为正 三角形 所以 点 0也 是它的中心 从而 船 s c 0 如图4 A 设 A B 则 s s 5 2 O C 2 F C 图4 n 6 0 譬 S O 再 所 以 C 维普资讯 2 O O 5 年第 1 期 4 3 一埘 s 岫 S O r 吉 当且仅当 4 2 a 时 等号成立 故 此 三 棱 锥 体 积 的 最 大 值 是 吉 n 6 0 易知 Y z E 0 1 1 一 1 一y 1 一z E 0 1 一 方面 易得 a x y y z Z X 一 2 x y z x y 0 当 Y z 一1 时 口 另一方面 易得 a 1 一 1 2 x y z 1 当 0 丢 时 1 2 0 因 为 工 所 以 口 1 一 1 2 1 一 1 专 垒 7 2 当 1 1 时 1 2 0 所 以 n 1 一 丢 综上所述 有 a E o 三 若方程有一实根 0 代入方程 可 得 1 n 2o 1 0 视 a b 为变量 问 题转化为 直 线 1 n 6 1 0 与 圆 面 a2 b 是否有公共点 由点到直线的 距离公式得 圆心 0 0 到直线的 距离 2 1 1 3一 7 毒 又 一 2o 1 f 厢 一 志 t在 0 j 2 上是增函数 所以 d 一 从而 当且仅当 d 时 方程有实根 此时 1 2 1 代入方程得 2 a b 2詈 0 1 b 2a 2詈 0 解 得 n 一 詈 一 詈 或 n 詈 一 詈 原方程的实数根分别为1 一 1 此外 方程无实数解 四 显然 b 0 当 0 时 a 取任意实数不等 式恒成立 故只考虑 0 1 此时原不等式变为 I 一口 I b 即 口 一 故 一 n 一 x G 0 1 1 当 6 0 时 在 0 1 上 为 增 函数 所以 一 2 当一 1 b 0 时 在 0 1 上 一 2 当 厂 时 f 2 ra in 2 厂 此时 要使 a 存在 必须有 f 1 b 2 v L一1 b 0 即一1 b 一3 2 当 6 综上所述 当一 1 b 2 一 3 时 a的取值范 围是 1 6 2 当b 2 n N 时 有 4 S 一S 一 1 0 1 一 0 一 l 1 从而 o o 一 o 一o 一 一 2 0 因为 0 0 一 l 0 所以 0 n 一0 n l 2 易得 o l 1 o 3 故 o 是公差为2 的等差数 列 所以 1 2 t 一1 2 n一1 2 因为 o 2 n 一1 所以 b 2 n 一1 2 2 n一1 3 4 n 2 抛物线 Y 4 x 2 上一点 0 4 2 0 1 到直线 Y 2 x 一 1 的距离为 1 2 0 4 2 2 1 l 2 万 一 4 一 5 5 二 5 当 0 1 时 d 5 易知M o 一b m n 表示抛物线 Y 4 x 2 上的点 n b 与直线 Y 2 x 一1 上的点 m o m 距离的平方 显然 d 2 5 考虑到当 1 时 Y 4 x 2 6 点 1 6 在 抛物线上 它也是数列 b 的第 1 项对应的点 从点 1 6 作直线 Y 2 x 一1 的垂线 设垂足为 2 x 一 1 令 一1 2 x一1 6 d 5 解得 3 故垂足为 3 5 相对数列 o 而言 即 5 因此 当 m 3 n 5 n 1 b 6时 m in d 5 三 设这 2 个点分别为 P P 2 P I 2 这 1 2 个 维普资讯 2 0 0 5 年第 1 期 4 5 点 确定的 三角 形共有a 个 设以P i 1 2 1 2 为始点的向量数为 O 1 1 若以某 3 点为顶 点的三角形为 非零三角形 则有且仅有 1 点是此 三角形两边向量的始点 所以 以 P i 为顶点之一且 为两边始点的 非零三角形 有E 个 规定四 0 从而 以这些点为顶点的三角形中 非零三角 形 的 总 数 为 因 此 零 三 角 形 的 个 数 为 一 先 求 的 最 小 值 因 为 X i G 6 6 所 以 12 一 1 i 1 12 1 冀 33 一 因 非 负 整 数 不 超 过1 1 故 有 最 小 值 若存在1 1 2 i 使得 一 x j i 2 可记 一1 1 显然 X i x j 则 一 一 一1 一 1 2 一 一1 0 又 N 则对于所有的 1 i 1 2 只有当 一 x j I 0 或l 时 2 才 取 最 小 值 即 当 l 2 l2 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 时 取 最 小 值5 6 6 2 6 3 6 6 了 1 2 所 以 的 最 小 值 为 专 3 6 6 3 3 15 0 因此 零三角形 个数的最大值为 一 1 5 0 7 0 注 此题中 因为 N 所以 不能用均值不等 式 求 12 的 最 小 值 故 此 最 小 值 不 为 3 6 3 邓集春湖南省武冈市第十学中学 4 2 2 4 0 0 上接第 3 6页 六边形 删的各组对边相互平行 此因它 们分别是 1 个平面与3 组平行平面的交线 平行直 线 Q K与 M N之间的距离不小于面 A D D A 与面 B C C B 之间的距离 即不小于 a 同理 平行边 z 与N P L M与 之间的距离分别不小于长方体的 一 条边 因而都不小于 o 我们来证明 六边形 删 尸 0在它所在的平面 上的任 何 1 条直线上的投影都不小于 o 由于六边 形 皿 I 的3 组对边分别相互平行 所以 它在任 何 1 条直线 2 上的投影均重合于线段K N L P 之一的投影 为确定起见 设其在直线 f 上的投影重 合于线段 其中 和 分别是点K和点 的 投影 可认为 P Q位于K N的同一 侧 这可以通过平移直 线 2 来实现 此时 K N与 N K 中 有一个不是钝角 不妨 设 K K N 不 是钝角 如图9 从而 图9 l N K N s i n 1 K N K N s i n Q 而 K N s i n O 就是直线Q t 与M N之间的距 离 所以 KN K N s i n Q 0 设六边形 r tN e Q可以放在矩形 中 矩形的 两条